Wikisage is op 1 na de grootste internet-encyclopedie in het Nederlands. Iedereen kan de hier verzamelde kennis gratis gebruiken, zonder storende advertenties. De Koninklijke Bibliotheek van Nederland heeft Wikisage in 2018 aangemerkt als digitaal erfgoed.
- Wilt u meehelpen om Wikisage te laten groeien? Maak dan een account aan. U bent van harte welkom. Zie: Portaal:Gebruikers.
- Bent u blij met Wikisage, of wilt u juist meer? Dan stellen we een bescheiden donatie om de kosten te bestrijden zeer op prijs. Zie: Portaal:Donaties.
Wiskunde: verschil tussen versies
Geen bewerkingssamenvatting |
(vervangen <math>) |
||
| Regel 38: | Regel 38: | ||
Bij uitbreiding van het getalsysteem vindt men dat de gehele getallen een [[deelverzameling]] vormen van de [[Rationaal getal|rationale getallen]] ([[breuk (wiskunde)|breuken]]). Deze zijn op hun beurt een deel van de [[Reëel getal|reële getallen]]. Dit kan weer uitgebreid worden naar de [[Complex getal|complexe getallen]]. Verder leidt deze studie naar de [[Transfiniet getal|transfiniete getallen]], waarmee het concept [[oneindigheid]] formeel behandeld wordt. Een ander domein is de studie van de grootte van een verzameling, leidend tot de [[Kardinaal getal|cardinale getallen]] en zo naar een ander begrip van oneindigheid: de [[alef]]getallen. | Bij uitbreiding van het getalsysteem vindt men dat de gehele getallen een [[deelverzameling]] vormen van de [[Rationaal getal|rationale getallen]] ([[breuk (wiskunde)|breuken]]). Deze zijn op hun beurt een deel van de [[Reëel getal|reële getallen]]. Dit kan weer uitgebreid worden naar de [[Complex getal|complexe getallen]]. Verder leidt deze studie naar de [[Transfiniet getal|transfiniete getallen]], waarmee het concept [[oneindigheid]] formeel behandeld wordt. Een ander domein is de studie van de grootte van een verzameling, leidend tot de [[Kardinaal getal|cardinale getallen]] en zo naar een ander begrip van oneindigheid: de [[alef]]getallen. | ||
:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20" | :{| style="font-size:140%; font-family: 'Times New Roman'; border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20" | ||
| | | 1; 2; 3 || −2; −1; 0; 1; 2 || −2, {{breuk|2|3}}; 1,21 || −e; {{sqrt|2}}; 3; π || 2; i; −2+3i; 2e<sup>i<span style="font-size:70%; position:relative; top:-7px;" >4π</span><span style="font-size:70%; position:relative; top:4px; left:-10px; text-decoration: overline" > 3 </span></sup> | ||
|- | |- | ||
| [[Natuurlijk getal|Natuurlijke getallen]]|| [[Geheel getal|Gehele getallen]] || [[Rationaal getal|Rationale getallen]] || [[Reëel getal|Reële getallen]] || [[Complex getal|Complexe getallen]] | | [[Natuurlijk getal|Natuurlijke getallen]]|| [[Geheel getal|Gehele getallen]] || [[Rationaal getal|Rationale getallen]] || [[Reëel getal|Reële getallen]] || [[Complex getal|Complexe getallen]] | ||
| Regel 77: | Regel 77: | ||
:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" | :{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" | ||
| < | | <big>''P'' ⇒ ''Q''</big> || [[Bestand:Venn A intersect B.svg|128px]] || [[Bestand:Commutative diagram for morphism.svg|96px]] | ||
|- | |- | ||
| [[Formele logica|Wiskundige logica]] || [[Verzamelingenleer]] || [[Categorietheorie (wiskunde)|Categorietheorie]] || | | [[Formele logica|Wiskundige logica]] || [[Verzamelingenleer]] || [[Categorietheorie (wiskunde)|Categorietheorie]] || | ||
| Regel 86: | Regel 86: | ||
:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" | :{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" | ||
| | | | ||
{{{!}} | |||
{{!}} | |||
{{{!}} | |||
{{!}}(1,2,3) | |||
{{!}}- | |||
{{!}}(1,3,2) | |||
{{!}}- | |||
{{!}}(2,1,3) | |||
{{!}}} | |||
{{!}} | |||
{{{!}} | |||
{{!}}(2,3,1) | |||
{{!}}- | |||
{{!}}(3,1,2) | |||
{{!}}- | |||
{{!}}(3,2,1) | |||
{{!}}} | |||
{{!}}} | |||
| [[Bestand:DFAexample.svg|96px]] || [[Bestand:Caesar3.svg|96px]] || [[Bestand:6n-graf.svg|96px]] | |||
|- | |- | ||
| [[Combinatoriek]] || [[Berekenbaarheid]]sleer || [[Cryptografie]] || [[Grafentheorie]] | | [[Combinatoriek]] || [[Berekenbaarheid]]sleer || [[Cryptografie]] || [[Grafentheorie]] | ||
| Regel 185: | Regel 204: | ||
[[Categorie:Wiskunde| ]] | [[Categorie:Wiskunde| ]] | ||
[[Categorie:Formele wetenschap]] | [[Categorie:Formele wetenschap]] | ||
{{MATH}} | |||
Versie van 16 apr 2013 10:54
Wiskunde (minder gebruikelijk: mathematiek, mathematica of mathesis) is een formele wetenschap waarvan de gebruikelijke definitie is: het bestuderen van patronen en structuren. Met strikt logische redeneringen doet de wiskunde uitspraken (stellingen) over gedefinieerde objecten en formuleert de verbanden daartussen. De formele redenering die aantoont dat een stelling waar is, noemt men een wiskundig bewijs. Bij het opstellen van een bewijs wordt uitgegaan van een (klein) aantal uitgangspunten (axioma's) en enkele 'axiomatische definities'.
Wanneer de wiskunde wordt gebruikt voor toepassingen in de praktijk, wordt er meestal gerekend op basis van reeds bewezen stellingen. Dat kan eenvoudig zijn, bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras in de meetkunde. Soms is het probleem zo uitgebreid, dat er een (super)computer voor nodig is om binnen een redelijke tijd een oplossing te vinden. Een voorbeeld is het vierkleurenprobleem. Een toegepast voorbeeld is de weersverwachting in de meteorologie: de atmosfeer wordt toegepast wiskundig gemodelleerd met behulp van differentiaalvergelijkingen. Meetwaarden, afkomstig van meetpunten liefst over de hele aardbol op verschillende hoogten, bepalen na bewerking een begintoestand vanwaaruit de toekomstige druk, wind en luchtvochtigheid wordt berekend.
Algemeen
In de meeste talen is het woord voor wiskunde afgeleid van het Griekse woord μάθημα (máthèma), dat wetenschap, kennis of leren betekent. Voorbeelden: Engels: mathematics, Duits: Mathematik, Frans: mathématiques. Het Nederlandse woord wiskunde is door Simon Stevin in de 17e eeuw als wisconst (kunst van het gewisse of zekere) aan deze wetenschap verbonden.
Veel onderwerpen van studie in de wiskunde vinden hun oorsprong in andere exacte wetenschappen zoals de natuurkunde en de astronomie. Dit wordt de toegepaste wiskunde genoemd. Hiernaast doen wiskundigen ook fundamenteel onderzoek naar de opbouw en aard van getallen en andere mathematische structuren, zoals ruimtes, functies en groepen. Dit onderzoek kan een puur theoretische invalshoek hebben, of gericht zijn op een algemene oplossing voor vraagstukken op diverse gebieden. De wiskunde die puur gericht is op het onderzoek naar de theorie van mathematische structuren en samenhangen, wordt de zuivere wiskunde genoemd.
Geschiedenis
 Zie Geschiedenis van de wiskunde voor het hoofdartikel over dit onderwerp. |
De wiskunde, zoals ontstaan uit de rekenkunde, is reeds bekend in de vroegste culturen. Zo is uit Egypte de Rhind-papyrus bekend. De Babyloniërs ontwikkelden een geavanceerd getallensysteem gebaseerd op het getal 60. Ook gebruikten zij algebraïsche formules als ab = ((a + b)2 - (a - b)2)/4 en tafels met machten om berekeningen sneller te kunnen uitvoeren. Bovendien kenden zij reeds de stelling van Pythagoras. De wiskunde als abstracte wetenschap werd het eerst beoefend in het klassieke Griekenland, waar bijvoorbeeld Euclides zijn 5 axioma's formuleerde die meer dan twintig eeuwen stand hielden. Vanuit deze axioma's bouwden hij en zijn volgelingen de meetkunde als zelfstandige tak van de wiskunde op. Met de ondergang van de Griekse cultuur kwam de ontwikkeling van de wiskunde in het Westen tijdelijk tot stilstand.
Pas in de middeleeuwen pakten Arabische wiskundigen de draad weer op. Via hen werd bijvoorbeeld het cijfer 0 vanuit India in Europa geïntroduceerd. Een bloeiperiode begon met het werk van al-Chwarizmi rond 820 en de vertaling van Griekse teksten. Aan al-Chwarizmi wordt het ontstaan van de algebra toegeschreven. Het woord algoritme is van zijn naam afgeleid. Het duurde tot na de Middeleeuwen voor Europa de leidende rol van de Arabische cultuur kon overnemen.
Tegenwoordig is wiskunde niet meer weg te denken uit het dagelijks leven, op allerlei manieren passen wij het immers toe en we worden er reeds op jonge leeftijd, in meerdere of mindere mate, mee geconfronteerd.
Deelgebieden
De hoofdgebieden van de wiskunde ontstonden oorspronkelijk uit de noodzaak zakelijke berekeningen te kunnen maken, de relaties tussen getallen te begrijpen, land te kunnen opmeten en astronomische gebeurtenissen te kunnen voorspellen. Deze vier noden kunnen ruwweg verbonden worden aan de brede onderverdeling van de wiskunde in de studie van
- hoeveelheden (rekenkunde),
- structuren (algebra),
- ruimte (meetkunde) en
- veranderingen (ofwel analyse).
Daarnaast zijn er nog andere deelgebieden die te maken hebben met de verbanden tussen de kern van de wiskunde en andere domeinen, zoals de logica, de verzamelingenleer, en de toegepaste wiskunde.
Hoeveelheid
De leer van hoeveelheden begint met getallen. Eerst komen de door iedereen gekende natuurlijke getallen en gehele getallen en de bewerkingen, samengebracht in de rekenkunde. Meer gevorderde eigenschappen worden bestudeerd in de getaltheorie, met populaire resultaten zoals de laatste stelling van Fermat. In de getaltheorie blijven nog twee bekende onopgeloste problemen: het priemtweelingvermoeden en het vermoeden van Goldbach.
Bij uitbreiding van het getalsysteem vindt men dat de gehele getallen een deelverzameling vormen van de rationale getallen (breuken). Deze zijn op hun beurt een deel van de reële getallen. Dit kan weer uitgebreid worden naar de complexe getallen. Verder leidt deze studie naar de transfiniete getallen, waarmee het concept oneindigheid formeel behandeld wordt. Een ander domein is de studie van de grootte van een verzameling, leidend tot de cardinale getallen en zo naar een ander begrip van oneindigheid: de alefgetallen.
1; 2; 3 −2; −1; 0; 1; 2 −2, 2⁄3; 1,21 −e; √2 ; 3; π 2; i; −2+3i; 2ei4π 3 Natuurlijke getallen Gehele getallen Rationale getallen Reële getallen Complexe getallen
Structuur
Veel wiskundige objecten, zoals de verzameling van de getallen en functies hebben een inwendige structuur. Deze wordt bestudeerd in de leer van de groepen, ringen, velden en andere abstracte systemen. Dit noemt men de abstracte algebra. Een belangrijk concept is hier de vector, en de vectorruimte in het algemeen, onderwerp van de lineaire algebra.
Bestand:Elliptic curve simple.png Bestand:Group diagdram D6.svg Bestand:Lattice of the divisibility of 60.svg Getaltheorie Groepentheorie Ordetheorie
Ruimte
De studie van de ruimte begint met de meetkunde, in het bijzonder de Euclidische meetkunde. Driehoeksmeetkunde gaat over ruimte en getallen en bevat de alombekende stelling van Pythagoras. De moderne studie van de ruimte heeft dit uitgebreid naar meetkunde met meerdere dimensies, de affiene, projectieve en niet-euclidische meetkunde en de topologie. Hoeveelheid en ruimte spelen allebei een rol in de analytische meetkunde, de differentiaalmeetkunde en de algebraïsche meetkunde. Daarnaast bestaat er ook beschrijvende meetkunde of wetenschappelijk tekenen.
Bestand:Pythagorean.svg Bestand:Taylorsine.svg Bestand:Osculating circle.svg Bestand:Torus.png Bestand:Von koch 6 etapes.svg Meetkunde Driehoeksmeetkunde Differentiaalmeetkunde Topologie Fractalen
Verandering
Het begrijpen en beschrijven van verandering is een terugkerend thema in de natuurwetenschappen en de calculus werd ontwikkeld om dit te onderzoeken. Dit leidt tot de studie van de functies en de analyse. Veel problemen leiden naar de relaties tussen een hoeveelheid en de mate van verandering, bestudeerd met differentiaalvergelijkingen.
| Bestand:Integral as region under curve.svg | Bestand:Vectorfield jaredwf.png | Bestand:Limitcycle.jpg | Bestand:Lorenz attractor.svg |
| Calculus | Vectoranalyse | Dynamische systemen | Chaostheorie |
Fundamenten en filosofie
Om de fundamenten van de wiskunde vast te leggen werden de domeinen van de wiskundige logica en de verzamelingenleer ontwikkeld.
De wiskundige logica houdt zich bezig met het opzetten van een sterk axiomatisch raamwerk en het bestuderen van de gevolgtrekkingen daarvan. Hier horen ook de onvolledigheidsstellingen van Gödel thuis. De moderne logica omvat de recursietheorie, de modeltheorie en de bewijstheorie, en is sterk verbonden met de informatica.
P ⇒ Q Bestand:Venn A intersect B.svg Bestand:Commutative diagram for morphism.svg Wiskundige logica Verzamelingenleer Categorietheorie
Discrete wiskunde
De discrete wiskunde is de naam voor het onderdeel van de wiskunde dat vooral nuttig is in de informatica. Dit omvat de berekenbaarheidsleer en de informatietheorie, en leidt tot het model van de Turingmachine. Informatietheorie houdt zich bezig met de hoeveelheid gegevens die kunnen bewaard worden op een bepaald medium en met begrippen zoals compressie en entropie.
(1,2,3) (1,3,2) (2,1,3) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,1) Bestand:DFAexample.svg Bestand:Caesar3.svg Bestand:6n-graf.svg Combinatoriek Berekenbaarheidsleer Cryptografie Grafentheorie Toegepaste wiskunde
De toegepaste wiskunde bestudeert het gebruik van abstracte wiskundige middelen voor het oplossen van concrete problemen in de wetenschap en de zakenwereld, zoals vraagstukken op het gebied van de statistiek en de kansrekening.
-
Optimalisatie
Lijst van deelgebieden
Hieronder volgt een lijst met deelgebieden van de wiskunde zonder rekening te houden met categorieën:
- Abstractie en Deductie
- Algebra
- Algoritmen
- Analyse: Geschiedenis van de analyse
- Asymptoten en Limieten
- Besliskunde
- Booleaanse logica
- Chaostheorie
- Coderingstheorie
- Combinatoriek: Combinatie - Permutatie - Variatie - Magische vierkanten
- Complexe getallen en Complexe functies
- Cryptografie
- Differentiaalmeetkunde
- Differentiaaltopologie
- Differentiaalrekening - Differentiaalvergelijkingen
- Discrete wiskunde
- Elementaire rekenkundige bewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, etc.
- Functies en Functieanalyse
- Speciale functies (bv. de Bètafunctie)
- Functionaalanalyse
- Galoistheorie
- Getaltheorie
- Goniometrie
- Grafentheorie
- Groepen en groepentheorie
- Integraalrekening - Lijnintegraal - Meervoudige integraal
- Speciale integralen: Sinusintegraal - Cosinusintegraal - Exponentiële integraal - Fresnelintegraal - Complexe integralen
- Kansrekening en Maattheorie
- Lineaire algebra
- Logaritmen en exponentiële functies
- Logica
- Meetkunde, Analytische meetkunde en Niet-euclidische meetkunde
- Numerieke wiskunde
- Ongelijkheden
- Polynomen: Chebyshev - Hermite - Laguerre - Lagrange - Wilkinson
- Priemgetallen en Priemfactoren
- Reeksen: Binomiaalreeksen - Machtreeksen - Taylorreeksen - Maclaurinreeksen
- Ruimtemeetkunde
- Rijen
- Speltheorie
- Statistiek
- Talstelsels
- Topologie
- Transformaties: Fourieranalyse - Laplacetransformatie - Z-transformatie
- Vergelijkingen - Oplossen van vergelijkingen
- Verzamelingenleer
Belangrijke wiskundigen
Zie ook een meer volledige lijst van wiskundigen- Wiskunde in de Oudheid: Pythagoras, Eudoxus, Euclides, Archimedes en Thales van Milete
- Wiskunde in de Europese Middeleeuwen: Boëthius, Muhammad al-Khwarizmi, Leonardo Fibonacci, Richard Swineshead
- De grondslagen van de wiskunde: Georg Cantor, Richard Dedekind, Gottlob Frege, Giuseppe Peano, Bertrand Russell, Kurt Gödel, Paul Cohen
- De ontwikkeling van de infinitesimaalrekening: René Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton, Gottfried Leibniz
- De statistiek: Blaise Pascal, Pierre de Fermat, Christiaan Huygens, Jakob Bernoulli, Abraham de Moivre, Thomas Bayes, Pierre-Simon Laplace, Adolphe Quételet, Siméon Poisson, Francis Galton, Karl Pearson
- Achttiende eeuw: Jakob Bernoulli, Jean Le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange, Adrien-Marie Legendre
- Negentiende eeuw: Carl Friedrich Gauss, Augustin Louis Cauchy, Niels Henrik Abel, Évariste Galois, Karl Weierstrass, Ernst Kummer, Johann Dirichlet, Bernhard Riemann, Felix Klein, Sophus Lie, Henri Poincaré
- Twintigste eeuw: David Hilbert, Luitzen Brouwer, Kurt Gödel, Emmy Noether, Hermann Weyl, Émile Borel, Donald Knuth, John von Neumann, Alan Turing, Alexander Grothendieck, Andrew Wiles
Zie ook
- Wiskunde van A tot Z
- schoolvak wiskunde
- Wikibooks:wiskunde
Externe links
Zie ook de categorie met mediabestanden in verband met Mathematics op Wikimedia Commons.
Bronvermelding
Bronnen, noten en/of referenties:
