Pythagoras

Zie Pythagoras (doorverwijspagina) voor andere betekenissen van Pythagoras.

Pythagoras (Grieks: Πυθαγόρας) (Samos, ca. 572 v.Chr. – Metapontum, ca. 500 v.Chr.)^[1] was een Grieks voorsocratisch filosoof en stichter van een invloedrijke religieus-filosofische groepering. Hij werd door sommigen als een van de Zeven Wijzen beschouwd. Tegenwoordig is hij meestal in herinnering als een wiskundige.

Leven

Door het gebrek aan betrouwbare bronnen, de vroege legendevorming over zijn leven en tegenstrijdigheden tussen de overgeleverde verslagen, worden veel details over het leven van Pythagoras in de wetenschappelijke literatuur betwist. De huidige stand van het onderzoek geeft het volgende beeld: Pythagoras werd waarschijnlijk omstreeks 570 v. Chr. geboren als zoon van Mnesarchos, die op het eiland Samos, een van de toen welvarende Griekse eilanden in de Egeïsche Zee. Mnesarchos stamde waarschijnlijk niet uit een adellijke Samische familie (zoals wel wordt beweerd), maar was een succesvolle geïmmigreerde koopman (volgens andere overleveringen een steenhouwer). De filosoof Pherekydes van Syros wordt het vaakst genoemd als de leermeester van Pythagoras.

Pythagoras kreeg er van jongs af aan een goede opvoeding en opleiding. Naar verluidt zou hij in zijn jeugd voor studiedoeleinden in Egypte en Babylonië hebben vertoefd, waar hij zich volgens verschillende berichten vertrouwd zou hebben gemaakt met godsdienstige opvattingen en wetenschappelijke kennis voor hij terugkeerde naar Samos. Daar greep Polycrates omstreeks 538 v. Chr. samen met zijn broers de macht gegrepen en vestigde later zijn alleenheerschappij. Pythagoras verzette zich tegen deze tiran en verliet het eiland. Volgens de datering van de kroniekschrijver Apollodorus vertrok hij in 532/531 v. Chr.

Ten vroegste in 532 v. Chr., op zijn laatst in 529 v. Chr., verscheen Pythagoras in het door Grieken bevolkte Neder-Italië en stichtte een school in Kroton (het huidige Crotone in Calabrië). De school vestigde ook afdelingen in in andere Zuid-Italiaanse steden. Een kern van leden van de school vormde een hechte gemeenschap. Zij verplichtten zich tot een gedisciplineerde, bescheiden levenswijze (’pythagorische levenswijze’) en zwoeren trouw aan elkaar. Er gold onder hen een volledige gelijkheid tussen mannen en vrouwen, een houding die in de Griekse wereld uitzonderlijk was. Pythagoras, die een uitstekend redenaar was, verwierf grote invloed onder de burgers, en gebruikte die invloed ook op politiek vlak. Hij verwierf aanhangers in andere delen van de regio, zelfs onder de niet-Griekse bevolking. In het conflict van Kroton met de stad Sybaris, dat kennelijk door de Sybarieten was uitgelokt, hield hij stand. Omdat Kroton, op instigatie van Pythagoras, weigerde voortvluchtige Sybaritische oppositieleden uit te leveren, brak in 510 v. Chr. een oorlog uit, die eindigde met de verwoesting van Sybaris.

Na de overwinning ontstonden er interne spanningen in Kroton, onder andere over de verdeling van het veroverde land; de wrok van de burgers richtte zich tegen de pythagoreeërs. Pythagoras verhuisde vervolgens naar Metapontion (het huidige Metaponto in Basilicata), waar hij de rest van zijn leven doorbracht. Pas na zijn enkele decennia na zijn vertrek uit Kroton brak het conflict daar openlijk uit, en werden de pythagoreeërs verslagen. Informatie volgens welke velen van hen toen werden gedood, is mogelijk gebaseerd op verwarring met latere onlusten. Een andere overlevering, volgens welke Pythagoras in Kroton bleef en daar ten prooi viel aan de onlusten, is niet geloofwaardig. Er is geen bewijs voor een datering van zijn dood. De Metapontiërs, onder wie Pythagoras in hoog aanzien stond, bouwden zijn huis na zijn dood om tot een Demeter-heiligdom.

Pythagoras was gehuwd. Volgens sommige bronnen heette zijn vrouw Theano. Volgens nog andere bronnen was zij de dochter van de filosoof. Hij had kinderen, onder wie – indien de overlevering geloofwaardig is – een dochter met de naam Myia. Sommige bronnen maken melding van nog meer vermeende namen van kinderen van Pythagoras, maar geleerden vinden de de geloofwaardigheid van deze beweringen wordt zeer twijfelachtig.

Leer

Pythagoras streefde harmonie en reinheid van de ziel na, wat volgens hem bevorderd kon worden door onder andere de kennis van getalverhoudingen. Deze verhoudingen beheersen volgens zijn leer het heelal, zoals ze bijvoorbeeld ook terug te vinden zijn in de muziek. Pythagoras ontdekte ook de muzikale boventonenreeks met de verhoudingen van diverse intervallen, door een gespannen snaar op verschillende punten af te klemmen. Hij was een zeer geoefend lyra-speler.

Filosofie en religie

Zie Pythagorisme (Pythagoras) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Aristoteles vatte de leer van Pythagoras en zijn opvolgers aldus samen:

de dingen zijn getallen
de gehele hemel is harmonie en getal

Pythagoras’ religieuze voorstellingen waren mogelijk van Oosterse, Indische oorsprong.

Pythagoras was overtuigd van de onsterfelijkheid van de ziel en onderwees de zielsverhuizing (metempsychose) of reïncarnatie.

„Volgens deze [voorstellingen] maakt de onsterfelijke ziel van de mens een lang louteringsproces door in steeds hernieuwde belichamingen, waarbij zij ook de dierlijke gestalte aan kan nemen. In verband daarmee staat, evenals in India, het gebod geen dier te doden of te offeren, en zich van dierlijk voedsel te onthouden. Daar als doel van het leven wordt aangezien de ziel door reinheid en vroomheid uit de kringloop der wedergeboorten te verlossen, vertoont de pythagorische ethiek met India verwante trekken: zelftucht, ingetogenheid, onthouding staan in het middelpunt.” (Hans Joachim Störig, 1964)

Wegens het idee van de zielsverhuizing of reïncarnatie at Pythagoras ook geen vlees. Lange tijd werden vegetariërs ’pythagoreeërs’ genoemd, tot op 29 september 1847 in Ramsgate, Engeland, de eerste Vegetarian Society werd gevormd en het nieuwe woord, ’vegetariër’ in gebruik kwam.^[2]

Pythagoras combineerde voor het eerst wiskunde met theologie. Deze combinatie zullen we later tegenkomen bij Plato, maar ook bij de middeleeuwse theologen, bij Baruch Spinoza en bij Leibniz en later tot zelfs bij Kant. Pythagoras heeft steeds een grote invloed op het denken uitgeoefend.

Getallenleer

Befaamd is de getallenleer van de oude pythagoreeërs: zij namen aan dat de dingen getallen zijn of erop lijken, of ook wel dat de elementen van de dingen ook die van het getal zijn.

Het idee dat ’mooie’ getalverhoudingen iets harmonisch opleveren kon Pythagoras aantonen met een aangestreken snaar. Wanneer je een snaar aanstrijkt en daarna de snaar halveert hoor je twee tonen die heel goed samen klinken. Wij zeggen nu dat deze tonen een octaaf verschillen. De lengteverhouding 2:3 geeft een kwint, 3:4 geeft een kwart. Ook dan zijn de tonen ’consonant’. Op basis van gehele verhoudingen is de reine stemming voor een toonladder gedefinieerd: de pythagoreaanse stemming.

De toonladder van Pythagoras ziet er als volgt uit:

tonen	E	D	C	B	A	G	F	E
de constructie	2/3	3/4	27/32	8/9	1	9/8	81/64	4/3
snaarlengtes	1	9/8	81/64	4/3	3/2	27/16	243/128	2
toonafstanden		9/8	9/8	256/243	9/8	9/8	9/8	256/243

Voor de pythagoreeërs corresponderen getallen niet alleen met muzikale fenomenen, maar ook met begrippen en dergelijke: 4 is gerechtigheid (2 × 2, gelijk maal gelijk), 5 is huwelijk (eerste verbinding van even (d.w.z. vrouwelijk) met oneven (d.w.z. mannelijk)). Het volmaakte getal is 10 (1 + 2 + 3 + 4), tetraktus genoemd: deze is bron en oorsprong van alle dingen en bevat bijvoorbeeld alle getallen nodig om de voornaamste toonverhoudingen te definiëren. De elementen van het getal zijn het ’bepaalde’ en het ’onbepaalde’, termen die ook met andere gepaarde tegendelen (oneven-even, mannelijk-vrouwelijk, goed-kwaad) op één lijn gesteld werden.

De oorspronkelijke getallenleer van Pythagoras en de zijnen was derhalve geen wetenschappelijke wiskunde, maar eerder een toepassing, een soort metafysica van het getal; op den duur is echter ook in de school van Pythagoras, net als op andere plaatsen in de Griekse wereld, wiskunde op wetenschappelijke wijze beoefend.

Pythagoras stelde zich de getallen voor in bepaalde gedaanten. „Hij sprak van vierkante en kubusvormige getallen, van langwerpige, driehoekige en piramidevormige getallen, enzovoort. Uit de getallenvormen werden dan de bewuste figuren opgebouwd. Blijkbaar vatte hij de wereld op als bestaande uit atomen, terwijl de lichamen dan waren samengesteld uit moleculen, die weer waren opgebouwd uit in verschillende vormen gerangschikte atomen. Op deze wijze trachtte hij de wiskunde te maken tot de grondslag voor zowel de natuurkunde als voor de esthetica.” (Bertrand Russell, 1948)

Pythagoras hechtte weinig waarde aan empirisch onderzoek. Wanneer er tussen de verschijnselen eenmaal wiskundige relaties waren ontdekt, trok het denken zich terug in de sfeer van het ideële. Het denken is superieur aan de zintuiglijke waarneming. Het zuivere weten is gericht op het onstoffelijke, en bevrijdt de ziel uit de banden van de zinnelijkheid.

De voornaamste bijdrage van de pythagoreeërs ligt op het gebied van de getallenleer, terwijl zij de meetkunde in het algemeen op ’aritmetische’ wijze beoefenden en daardoor onder meer geen raad wisten met het probleem van de irrationele wortels (zie hieronder bij ’Irrationale getallen’).

Kosmologie

Het is typerend voor Pythagoras dat hij deze waarneming heel snel extrapoleerde naar het heelal. De hemellichamen – ook de Aarde – bewegen zich in cirkelvormige banen om een centraal vuur. Dat vuur zien wij niet, want aan de kant van de kennelijk bolvormige Aarde, waar men dat vuur wel zou kunnen zien, is geen leven mogelijk. De stralen van deze banen verhouden zich als de tonen in het octaaf. Door hun beweging in deze banen brengen de hemellichamen muziek voort, een ’hemelse symfonie’ of ’harmonie der sferen’.

Het heelal is dus een geordend geheel, een ’kosmos’. Dit idee van het heelal als kosmos zou een belangrijke bron van inspiratie worden.

Omdat tien het volmaakte getal was, moest het heelal dus wel uit tien hemellichamen bestaan. Met de vijf toen bekende planeten (Mercurius, Venus, Mars, Jupiter, Saturnus), de Zon, de Maan, de Aarde en het centrale vuur kwam men slechts aan het getal negen. Dan moest er, recht tegenover de Aarde, een ’Tegenaarde’ of ’Antichthon’ rond het centrale vuur cirkelen. Aarde en Tegenaarde cirkelden in de kleinste baan; daarna kwam de Maan, vervolgens de Zon, en nog verder de planeten.

Archimedes vertelt dat er een volgeling van Plato was, Aristarchos, die aannam dat de Aarde niet om een centraal vuur, maar om de Zon cirkelde. Het geschrift waarin Aristarchos dit beschreef is helaas verloren gegaan.

Stelling van Pythagoras

Zie Stelling van Pythagoras voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De stelling van Pythagoras is waarschijnlijk de bekendste stelling in de wiskunde. Deze stelling was alleen maar ’nieuw’ voor de Grieken. In Babylonië was het resultaat al veel langer bekend. De stelling zegt iets over de relatie tussen de rechthoekszijden en de schuine zijde (hypotenusa) van alle rechthoekige driehoeken.

In de rechthoekige driehoek ABC zijn de zijden a en b de rechthoekszijden. De zijde c noemen we de schuine zijde of hypotenusa.

De stelling van Pythagoras luidt:

„In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lengte van de hypotenusa (schuine zijde) gelijk aan de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekszijden.”

In een formule:

a² + b² = c²

Irrationale getallen

Nog veel belangrijker dan deze stelling was echter het uitgangspunt van de pythagoreeërs dat alles bestaat uit verhoudingen van (gehele) getallen. Geleidelijk drong tot hen door dat er met ’hun’ driehoek iets niet klopte. Wanneer de korte zijden ervan even lang zijn lukt het met geen mogelijkheid de verhouding tussen de lengte van een korte en van de lange zijde in getallen uit te drukken. Na lang denken vonden zij bewijs dat dit onmogelijk is. Een triomf voor het verstand, een debacle voor een doctrine. Met alle macht probeerden zij deze inbreuk geheim te houden. Volgens de overlevering is iemand die dit toch bekendmaakte om het leven gebracht.

Een ander gevolg was dat de Grieken aan de meetkunde de voorkeur gaven boven de rekenkunde. Pas in de zeventiende eeuw, met de komst van René Descartes, zouden getallen weer de overhand krijgen.

Verdere wiskunde

Een andere belangrijke wiskundige stelling waarvan de ontdekking aan Pythagoras wordt toegeschreven is de stelling dat in een driehoek de som van de drie hoeken altijd gelijk is aan 180°.