Complex getal

In de wiskunde zijn complexe getallen een uitbreiding van de reële getallen. Zoals de reële getallen overeenkomen met punten op een rechte lijn, corresponderen complexe getallen met punten op een vlak, het complexe vlak. Een complex getal is zodoende een paar reële getallen a en b, dat gewoonlijk weergegeven wordt als a+bi. Hierin is i (soms wordt ook j gebruikt) een bijzonder complex getal, de imaginaire eenheid, met als eigenschap i²=-1. Met complexe getallen in de vorm a+bi kan gewoon gerekend worden, met de extra rekenregel dat overal i² vervangen wordt door –1.

De schrijfwijze z=a+bi laat zien dat een complex getal de som is van een reëel getal en een imaginair getal.

De extra mogelijkheden die het rekenen met complexe getallen biedt, hebben geleid tot allerlei nuttige toepassingen in vooral alles wat met trillingen en golven te maken heeft, zoals het grootste deel van de natuurkunde, de elektrotechniek, de meet- en regeltechniek en vele andere technische disciplines.

Inleiding

Complexe getallen voorzien in de behoefte oplossingen te hebben van alle (algebraïsche) vergelijkingen, dus bijvoorbeeld ook vergelijkingen van de vorm x²=c voor negatieve getallen c.

Eén benadering is het introduceren van een denkbeeldige, imaginaire oplossing, aangeduid met i, van imaginair, van de vergelijking x²=-1. Men stelt dus dat deze vergelijking per definitie een oplossing heeft. Die oplossing wordt i genoemd. Door de reële getallen uit te breiden met dit denkbeeldige getal i, waarmee verder op de normale manier wordt gerekend, ontstaat de verzameling C van de complexe getallen. Deze uitbreiding bevat met i vanzelf ook alle uitdrukkingen van de vorm a+bi waarin a en b reële getallen zijn. Hiermee is het gewenste resultaat bereikt: binnen de complexe getallen is elke algebraïsche vergelijking oplosbaar.

De andere benadering is het construeren van de verzameling reële getalparen, overeenkomend met coördinaten van punten in het complxe vlak, waardoor het beeld verdwijnt dat de nieuwe getallen niet echt bestaan. De aanduiding imaginair, overgenomen van de eerste benadering, wordt wel gebruikt, maar hoeft niet letterlijk te worden genomen. Dan moet vermenigvuldiging apart gedefinieerd worden. Zie verder onder Voorstelling.

Geschiedenis

De formule van de Italiaanse wiskundigen Scipione del Ferro en Niccolo Fontana Tartaglia voor de oplossingen van de derdegraadsvergelijking plaatste de wiskundigen van de zestiende eeuw voor een enorm nieuw probleem. Wanneer zo'n vergelijking drie verschillende (reële) oplossingen heeft, komen in die formule namelijk wortels voor uit negatieve getallen. En in die tijd waren wortels uit negatieve getallen nog niet gedefinieerd. Het is geen wonder dat de naam 'imaginaire getallen' snel gevonden was, en de gewone getallen heetten vanaf toen 'reëel'. Aan het einde van de 18e eeuw legden de grote wiskundigen Leonhard Euler en Carl Friedrich Gauss de basis voor de getallenleer en de functietheorie waarmee dit probleem en vele andere zouden worden opgelost.

Definitie door introductie van een nieuw getal i

Een complex getal is een uitdrukking van de vorm a+bi, waarin a en b beide reële getallen zijn en i een nieuw getal voorstelt, de imaginaire eenheid, met de eigenschap (rekenregel):

i² = -1.

Rafael Bombelli, de bedenker van de imaginaire getallen, stelde de rekenregels op voor complexe getallen. Hierbij stelde hij als axioma de genoemde eigenschap van het complexe getal i.

Het getal a noemt men het reële deel en het getal b het imaginaire deel van het complexe getal a+bi, en noteert

a=Re(a+bi)

b=Im(a+bi)

De verzameling van de complexe getallen wordt genoteerd als C.

De reële getallen vormen een deel van de complexe getallen; het zijn de complexe getallen met imaginair deel gelijk aan 0. Getallen waarvan het reële deel 0 is noemt men zuiver imaginair.

Voorstelling

Bestand:Complexe eenheidscirkel.svg

Complexe getallen zijn voor te stellen als punten in het platte vlak. Er worden een tweetal notaties voor complexe getallen gebruikt afhankelijk van het coördinatenstelsel in het vlak.

Cartesische of algebraïsche notatie

Een complex getal z kan geschreven worden als z=a+bi. Dit heet Cartesische notatie, naar de wiskundige en filosoof René Descartes, die het Cartesisch coördinatenstelsel introduceerde, waarbij een punt in een vlak wordt voorgesteld door een getallenpaar. Daarin is a het reële deel en b het imaginaire deel van z, genoteerd als:

a=Re(z), b=Im(z)

Notatie met poolcoördinaten

Een complex getal z is ook weer te geven in poolcoördinaten, door de afstand r van het punt z tot de oorsprong, en de hoek θ tussen de lijn van z tot de oorsprong en het positieve deel van de reële as.

De bovengenoemde afstand r wordt de voerstraal, modulus of absolute waarde van het complexe getal z genoemd (zie ook onder) en de hoek θ de poolhoek of het argument van z.

De polaire en Cartesische notatie zijn in elkaar om te zetten:

a + bi = r(cos(θ) + i sin(θ)) = r exp(iθ)

of specifieker:

a = r cos(θ)

b = r sin(θ)

In de andere richting (van Cartesisch naar polair) geldt dan weer dat:

r = √(a²+b²)

θ = arctan(b/a)

Als θ niet in het juiste kwadrant gelegen is dient het met π vermeerderd of verminderd te worden.

Argumenten van complexe getallen zijn niet eenduidig gedefinieerd, maar slechts op een veelvoud van 2π na. Daarom wordt de hoofdwaarde de waarde van het argument genoemd, die tussen -π en π ligt.

Gerelateerde waarden

Complex geconjugeerde

De complex geconjugeerde of de complex toegevoegde van het complexe getal z=a+bi, met a en b reëel, is gedefinieerd als:

z* = a - bi.

Uit de definitie volgt onmiddellijk dat

z** = z.

Modulus

De modulus of absolute waarde van een complex getal z=a+bi wordt op dezelfde manier aangegeven als bij reële getallen.

|z| = √(a² + b²).

Uit de definitie van de complex geconjugeerde en de modulus volgt:

|z| = √(zz*).

Ordening

Op de complexe getallen bestaat geen standaardordening zoals op de reële getallen. Een uitspraak als a+bi>c+di is betekenisloos.

Rekenen met complexe getallen

Optellen en aftrekken

Het optellen en aftrekken van complexe getallen gaat het makkelijkst in Cartesische vorm: het reële deel en het imaginaire deel worden apart opgeteld. Dit komt overeen met optelling van vectoren.

Twee complexe getallen z₁=a+bi en z₂=c+di worden als volgt opgeteld:

z₁ + z₂ = (a+bi)+(c+di)= (a+c) + (b+d)i.

Uiteraard is aftrekken hetzelfde als het optellen van het tegengestelde.

Merk ook op dat (het nemen van) de complex geconjugeerde distributief is over optellen:

(z₁ + z₂)* = z₁* + z₂*

Vermenigvuldigen en delen

Vermenigvuldigen en delen van complexe getallen gaat het makkelijkst in polaire vorm. Hierbij worden de moduli met elkaar vermenigvuldigd en de argumenten bij elkaar opgeteld.

Voor getallen in Cartesische vorm geldt voor het product:

(a+bi)(c+di) = ac + (ad+bc)i + bdi² = ac - bd + (ad+bc)i

Dit is feitelijk hetzelfde als het vermenigvuldigen bij de reële getallen, met inachtneming van de definitie i²=-1.

Verder geldt voor z=a+bi met arg(z)=α en w=c+di met arg(w)=β:

|z w| = √{(ac - bd)² + (ad + cb)²} = √{a²c² -2abcd + b²d² + a²d² + 2abcd + c²b²}

= √{a²(c² + d²) + b²(c² + d²)} = √{a² + b²} √{c² + d²} =|z||w|.

en

zw = |z|(cos(α) + i sin(α)) . |w|(cos(β) + i sin(β))

= |z||w|{(cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β))} + i {(cos(α)sin(β) + sin(α)cos(β))}

= |z||w|(cos(α + β) + i sin(α + β)),

dus

arg(zw) = arg(z)+arg(w).

We zien dat bij het vermenigvuldigen van twee complexe getallen de moduli met elkaar worden vermenigvuldigd en de argumenten bij elkaar opgeteld.

In het bijzonder volgt dat vermenigvuldiging met i hetzelfde is als draaiing over π/2 radialen, dus een toename van het argument met π/2. Daaruit zien we weer overeenstemming met de definitie: i² = -1.

Merk op dat het nemen van het complex geconjugeerde distributief is ten opzichte van het vermenigvuldigen:

(z₁ z₂)* = z₁*z₂*

Merk verder op dat het bovenstaande gegeneraliseerd kan worden:

|z₁ z₂ ... z_n| = |z₁| |z₂| ... |z_n|

arg(z₁ z₂ ... z_n) = arg(z₁) + arg(z₂) + ... + \arg(z_n)

In het bijzonder:

|zⁿ| = |z|ⁿ

arg(zⁿ) = n arg(z)

Voor het quotiënt geldt:

 a + bi /c + di =  a + bi /c + di  c - di /c - di =  ac + bd + (bc - ad)i /c² + d².

Logaritme en e-macht

De e-macht is een bekende standaardfunctie die uitgebreid kan worden naar de complexe getallen.

Voor een complex getal z=x+yi is de e-macht van z gedefinieerd als

e^z = e^{x + yi} = e^x(cos(y) + i sin(y))

Uit deze definitie volgt onmiddellijk

|e^z| = e^x

arg(e^z) = y

Merk op dat de complexe e-macht zo gedefinieerd is dat deze voor reële waarden van z (dat wil zeggen met een imaginair deel 0) overeenkomt met de definitie van de e-macht voor reële getallen.

Door deze definitie behoudt de complexe e-macht een groot aantal "bekende" eigenschappen. Bijvoorbeeld:

|e^z₁||e^z₂| = e^x₁ e^x₂ = e^x₁+x₂

arg(e^z₁) + arg(e^{z₂}) = y₁ + y₂

Oftewel

e^z₁e^z₂ = e^{z₁ + z₂}.

Verder volgt uit deze definitie, dat voor alle reële x:

e^ix = cos(x) + i sin(x)

|e^ix| = e⁰ = 1

en dat

e^2πi = 1

e^πi = -1

e^iπ/2 = i

e^z is periodiek met periode 2πi (dus bij constante x en variërende y.

Uit de eerste van de bovenstaande eigenschappen, |e^z| = e^x, en de polaire notatie volgt nog dat we elk complex getal w kunnen voorstellen als:

w = |w| e^{i arg(w)}.

Met deze vaststelling in de hand, kunnen we ook de natuurlijke logaritme van complexe getallen definiëren. Een eigenschap van de natuurlijke logaritme is namelijk dat

ln(ab) = ln(a) + ln(b).

Voor een complex getal z definiëren we nu op basis van het bovenstaande

ln(z) = ln(|z| e^{i arg(z)}) = ln(|z|) + i arg(z),

met voor ln(|z|) de "normale" definitie van de natuurlijke logaritme voor reële getallen. Aangezien de logaritme zo slechts op veelvouden van 2π na bepaald is, spreken we af voor arg(z) altijd de hoofdwaarde te nemen. Daarmee geldt dus dat -π < Im(ln(z)) ≤ π.

Machtsverheffen

Met de definitie van de e-macht en de logaritme hebben we ook het gereedschap in handen om het machtsverheffen voor complexe getallen geheel te definiëren. En wel definiëren we voor complexe getallen z en w:

z^w = e^{w ln(z)}.

Sinus en cosinus

Met de formule van Euler

e^iz = cos(z) + i sin(z)

uit de voorgaande sectie kunnen we een verband leggen tussen de complexe e-macht en de sinus en cosinus.

Voor -z geldt:

e^-iz = cos(-z) + i sin(-z) = cos(z) - i sin(z).

Zodat uit de som en het verschil van beide relaties volgt dat:

cos(z) =  e^iz + e^-iz /2, sin(z) =  e^iz - e^-iz /2i

Deze twee resultaten hebben drie voordelen:

• door de afleiding zoals hierboven zijn ze zeker intern consistent met de rekenkunde zoals we die tot nog toe bedacht hebben voor complexe getallen
• deze formules voor de sinus en cosinus komen overeen met de definities voor reëelwaardige argumenten
• door deze identiteiten blijven bewijsbaar de bekende rekenregels voor sinus en cosinus overeind

Merk op dat, overeenkomstig het geval is voor de reële functies, de complexe sinus en cosinus periodieke functies zijn met periode 2π.

Stelling van De Moivre

De eerder uitgewerkte omschrijvingen van goniometrische formules naar e-machten wordt vaak gebruikt om goniometrische functies te reduceren tot meer overzichtelijke polynomen op basis van e-machten en vandaar mogelijk weer tot makkelijkere, goniometrische uitspraken.

Een bekend voorbeeld hiervan is een zeer bekende stelling uit de goniometrie, de stelling van De Moivre. Gegeven het voorgaande is deze stelling overigens triviaal:

Stelling van De Moivre: (cos(x) + i sin(x))ⁿ = cos(nx) + i sin(nx)

Bewijs: (cos(x) + i sin(x))ⁿ = (e^ix)ⁿ = e^inx = cos(nx) + i sin(nx)

Sinus hyperbolicus en cosinus hyperbolicus

Met de complexe e-macht kunnen de definities van de sinus hyperbolicus en de cosinus hyperbolicus uitgebreid worden naar complexe getallen. Voor z geldt:

cosh(z) =  e^z + e^-z /2 = cos(iz), sinh(z) =  e^z - e^-z /2 = -i sin(iz)

Complexe wortelfuncties

Eerder hebben we vastgesteld dat voor complexe getallen z en w geldt:

|zw| = |z||w|

en

arg(zw) = arg(z) + arg(w).

Hieruit kunnen we meteen afleiden wat de n-de-machtswortels van een complex getal z zijn. Per definitie zijn dit alle oplossingen w van de vergelijking wⁿ = z.

Het complexe getal w dat het meest voor de hand ligt is de w waarvoor geldt dat

|w| = |z|^1/n

en

arg(w) =  arg(z) /n.

De periodiciteit van de goniometrie leert ons dat daarnaast ook die complexe getallen w een oplossing zijn waarvoor geldt dat:

arg(w) =  arg(z) + k2π /n, k = 1 ... n-1.

De n-de-machtswortels van een complex getal zijn in het complexe vlak dus precies n punten, regelmatig verdeeld over een cirkel om de oorsprong, met straal |z|^1/n.

Voorbeeld

In het reële domein is de derdemachtswortel uit −1 gelijk aan −1. Maar met bovenstaande rekenregel vinden we dat ook

 1+i√3 /2 en  1-i√3 /2

derdemachtswortels van –1 zijn.

Hoofdwaarde

Zijn we geïnteresseerd in een unieke oplossing voor de wortelfunctie, dan kunnen we die waarde kiezen die gebaseerd is op de hoofdwaarde van arg(z) en daar weer de hoofdwaarde van nemen. In het bijzonder vinden we zo als 'unieke' wortel voor −1 de waarde i.

Merk op dat de bekende rekenregels niet gelden voor complexe wortels. Zo geldt niet algemeen √(ab) = √a√b.

Eenheidswortels

Een speciale rol is weggelegd voor de zgn. eenheidswortels. Dat zijn de oplossingen van de vergelijking

zⁿ=1,

waarin n een natuurlijk getal is. De oplossingen zijn de punten op de eenheidscirkel (cirkel met straal 1 om de oorsprong) die in polaire notatie gegeven worden door:

z_k=e^2πik/n

Websites

• (en) MathWorld. Complex Numbers. overzicht van begrippen
• (en) PlanetMath. complex. gearchiveerd