Breuk (wiskunde)

Een breuk of gebroken getal is de uitkomst van een deling van een geheel getal door een ander geheel getal, het is dus het quotiënt van die twee getallen. Als deel van de breuk wordt het deeltal aangeduid met teller en de deler als noemer. De teller telt het aantal door de noemer genoemde geheeltallige delen. Tussen de teller en de noemer staat een streep: de breukstreep. Zo geeft in de breuk ³⁄₄ de teller 3 aan dat de breuk bestaat uit 3 delen ter grootte van de door de noemer 4 aangegeven delen ¹⁄₄. De combinatie van teller en noemer wordt ook wel breukgetal genoemd.

Men spreekt over een echte breuk wanneer de absolute waarde van de teller kleiner is dan die van de noemer, bijvoorbeeld ¹⁄₅ of ²⁄₃, en over een onechte breuk wanneer dat niet zo is, bijvoorbeeld ¹⁄₁ of ⁶⁄₅. Echte breuken hebben een waarde die absoluut gezien kleiner is dan 1, onechte breuken leveren een waarde op die absoluut gezien groter of gelijk is aan 1. Een breuk met teller 1, bijvoorbeeld ¹⁄₄₀, noemt men een stambreuk.

Een breuk is een rationaal getal en ieder rationaal getal kan als breuk worden geschreven. Met rekenen, bij het onderwijs op de lagere school, is het gebruikelijk om over breuken te spreken. In de wiskunde, wanneer de rationale getallen met andere getallenverzamelingen worden vergeleken, bijvoorbeeld met de reële getallen (<math>\R</math>), wordt over de rationale getallen (<math>\Q</math>) gesproken. Getallen die niet als breuk zijn te schrijven, maar waar wel veel mee wordt gerekend, zoals π en e, zijn irrationaal.

Schrijfwijzen

Een breuk wordt genoteerd met de teller en de noemer gescheiden door een breukstreep, dat is een horizontale ( 1 / 2 ) of een schuine streep (¹⁄₂) (in lopende tekst ook als 1/2). Bij onechte breuken kan de breuk geschreven worden als het geheel aantal keer dat de noemer in de teller gaat en het overblijvende deel (de rest) als echte breuk. Zo wordt  7 /3 geschreven als 2  1 /3. Het gehele deel heet ook het aliquote deel van de breuk.

Een aparte categorie wordt gevormd door de decimale breuken. Dat zijn breuken in het decimale talstelsel met een macht van 10 als noemer, die echter niet als breuk genoteerd worden, maar als decimaal getal. Eerst wordt het 'gehele deel' van de breuk opgeschreven (bij echte breuken is dat 0), dan een komma (in sommige landen wordt in plaats van een komma een punt gebruikt) en daarna de cijfers van de teller, voorafgegaan door zoveel nullen als nodig is om het aantal cijfers na de komma even groot als de macht van 10 (de Briggse logaritme) van de noemer te maken.

Voorbeelden

 1 /10 =  1 /10¹ = 0,1 (met 1 cijfer na de komma)

 1 /100 =  1 /10² = 0,01 (met 2 cijfers na de komma)

 2 /100 =  2 /10² = 0,02

0,0123 =  123 /10⁴ =  123 /10000

3,14159 = 3  14159 /100000

Namen

Enkele breuken hebben een eigen naam:

•  1 / 2  half
•  1 / 4  kwart
•  3 /4 driekwart
• 1  1 /2 anderhalf

De breuk  1 / 3  lijkt een eigen naam te hebben. Het is als breuk echter een gewone combinatie van een telwoord c.q. lidwoord en het rangtelwoord van drie:

•  1 / 3  een derde (dus niet eenderde)
•  2 /3 twee derde

Bewerkingen

Vereenvoudigen

Het is het handigst een breuk zo mogelijk eerst te vereenvoudigen, voordat men gaat optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen. Bij onechte breuken wordt het aliquote deel meestal niet apart geschreven: 2  1 /3 blijft  7 /3 totdat alle berekeningen uitgevoerd zijn.

Van iedere breuk bestaat een eenvoudigste vorm, waarin teller en noemer zo klein mogelijk zijn. De eenvoudigste vorm van  13 /39 =  1 /3: de breuk is niet weer te geven met kleinere gehele getallen dan 1 en 3. Het ’zo klein mogelijk maken’ noemt men vereenvoudigen. De efficiëntste methode is de teller en de noemer te ontbinden in priemgetallen. De gemeenschappelijke getallen boven en onder de breuklijn kan men schrappen om zo tot de verst vereenvoudigde breuk te komen.

<math>\frac{60}{96}=\frac{2 \times 2 \times 3 \times 5}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3} = \frac{(2 \times 2 \times 3)\times 5}{(2 \times 2 \times 3)\times 2 \times 2 \times 2} = \frac{5}{2 \times 2 \times 2} = \frac{5}{8}</math>

Dit onderdeel van het rekenen met breuken wordt als het meest gecompliceerd beschouwd.

Als een breuk zo ver als mogelijk wordt vereenvoudigd, ontstaat een breuk waarvan de teller en de noemer de grootste gemene deler 1 hebben.

Optellen

Voor het optellen van breuken moeten deze eerst gelijknamig, met hetzelfde getal in de noemer, worden gemaakt, men zegt ook ’op één noemer brengen’. Beide breuken moeten dezelfde noemer krijgen. Als gemeenschappelijke noemer komt het product van de afzonderlijke noemers in aanmerking, maar in het algemeen is het kleinste gemene veelvoud (kgv) beter.

Een getal verandert niet als het met 1 vermenigvuldigd wordt, dus mag men de teller en de noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigen (dit is maal 1):  1 / 2  =  1 / 2  × 1 =  1 / 2  ×  3 /3 =  1 × 3 /2 × 3 =  3 /6.

<math>\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = {4 \times 1 \over 4 \times 3} + {3 \times 1 \over 3 \times 4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}</math>

<math>1\frac 14 + 2\frac 25 = 1{5 \times 1 \over 5 \times 4} + 2{4 \times 2 \over 4 \times 5} = 1\frac{5}{20} + 2\frac{8}{20} = 3\frac{13}{20}</math>

Voorbeeld van het gebruik van het kleinste gemene veelvoud. Het kgv van 6 en 8 is 24 = 4 × 6 = 3 × 8, dus

<math>{5 \over 6} + {7 \over 8} = {4 \times 5 \over 4 \times 6} + {3 \times 7 \over 3 \times 8} = \frac{20}{24} + \frac{21}{24} = \frac{41}{24} = 1\frac{17}{24}</math>

Aftrekken

Bij het aftrekken gaat men op dezelfde manier te werk:

<math>\frac 13 - \frac 14 = {4 \times 1 \over 4 \times 3} - {3 \times 1 \over 3 \times 4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}</math>

Vermenigvuldigen

Met gehele getallen

Bij het vermenigvuldigen van een breuk met een geheel getal wordt de teller van de breuk met dat getal vermenigvuldigd. Voorbeelden:

<math>3 \times {1 \over 4} = {3 \over 4}</math>

en

<math>5 \times {3 \over 7} = {15 \over 7} = 2{1 \over 7}</math>

Met breuken

Bij het vermenigvuldigen van een breuk met een andere breuk wordt de teller van de eerste breuk vermenigvuldigd met de teller van de tweede breuk en met de noemers gebeurt hetzelfde.

<math>{2 \over 3} \times {4 \over 7} = {2 \times 4 \over 3 \times 7} = {8 \over 21}</math>

Nog twee voorbeelden:

<math>{1 \over 5} \times {3 \over 7} = {1 \times 3 \over 5 \times 7}= {3 \over 35}</math>

<math>{5 \over 6} \times {7 \over 8} = {5 \times 7 \over 6 \times 8} = {35 \over 48}</math>

Het vermenigvuldigen van breuken met gehele getallen kan op dezelfde manier bekeken worden:

<math>5 = {5 \over 1}</math>

<math>5 \times {3 \over 7} = {5 \over 1}\times {3 \over 7} = {{5 \times 3} \over {1 \times 7}} = {15 \over 7} = 2{1 \over 7}</math>

Delen

Delen is het vermenigvuldigen met het omgekeerde. Dat houdt in dat als men een getal deelt door een breuk, zeg  a /b, men van die breuk de teller en de noemer verwisselt en het getal vervolgens vermenigvuldigt met de omgedraaide breuk  b /a. Dat geldt zowel bij het delen van hele getallen als bij het delen van breuken.

<math>2 : \frac 14 = 2 \times \frac 41 = {{2 \times 4} \over 1} = 8</math>

<math>\frac 12 : \frac 35 = \frac 12 \times \frac 53 ={1 \times 5 \over 2 \times 3} = \frac{5}{6}</math>

De achtergrond van deze berekening is dat men de breuk met 1 mag vermenigvuldigen zonder dat deze daardoor verandert. In het tweede voorbeeld ziet dat er als volgt uit:

<math>

\frac 12 : \frac 35 = \frac{\frac 12}{\frac 35} = \frac{\frac 12}{\frac 35} \times 1 = \frac{\frac 12}{\frac 35} \times \frac{\frac 53}{\frac 53} = \frac{\frac12 \times \frac53}{\frac35 \times \frac53} = \frac{\frac12 \times \frac53}{\frac{3 \times 5}{5 \times 3}} = \frac{\frac 12 \times \frac 53}{1} = {1 \times 5 \over 2 \times 3} = \frac{5}{6} </math>

Het eerste voorbeeld is ook als volgt toe te lichten: als men twee taarten elk in vier even grote stukken snijdt, resulteert dat in acht stukken. Ook het delen van breuken is zo te beschrijven: als men anderhalve (1 ¹⁄₂ = ³⁄₂) euro uitgeeft aan artikelen die een halve euro per stuk kosten, krijgt men drie van die artikelen, want  3 /2 :  1 / 2  =  3 /2 ×  2 /1 =  3 × 2 /2 × 1 = 3.

Algemene algebraïsche rekenregels

Vanaf hier wordt de punt ( · ) als vermenigvuldigingsteken gebruikt.

Optellen en aftrekken

<math>\frac a b+\frac c d=\frac{a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d}</math>

<math>\frac a b-\frac c d=\frac{a\cdot d-b\cdot c}{b\cdot d}</math>

Vermenigvuldigen en delen

<math>\frac a b\cdot \frac c d=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}</math>

<math>\frac a b:\frac c d=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}</math>

Vereenvoudigen

<math>\frac a b=\frac{a : x}{b : x}</math>

Kruislings vermenigvuldigen

Met kruislings vermenigvuldigen kan een vergelijking tussen twee breuken worden vereenvoudigd. Daarbij wordt de noemer van het linkerlid vermenigvuldigd met de teller van het rechterlid en de teller van het linkerlid met de noemer van het rechterlid. Beide producten stelt men dan aan elkaar gelijk. De vergelijking  9 /15 =  12 /x wordt door kruislings vermenigvuldigen vereenvoudigd tot 180 = 9 · x, waaruit weer volgt dat x = 20.

Abstracte definitie van de rationale getallen

Als men de verzameling <math>\mathbb{Z}</math> der gehele getallen als gegeven beschouwt, dan kan de verzameling der breuken als volgt worden opgebouwd.

Beschouw de productverzameling <math>\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_0</math>, dat is de verzameling van alle geordende paren van gehele getallen waarvan het tweede verschillend is van 0. Op deze productverzameling bepaalt men een equivalentierelatie door te zeggen dat het geordend paar (a,b) gelijkwaardig is met (c,d) als a · d = b · c.

Opdat dit een equivalentierelatie zou zijn, moet de transitiviteit nagegaan worden: indien een willekeurig derde geordend paar (e,f) gelijkwaardig is met (c,d), dan ook met (a,b). Dit kan uitgerekend worden:

<math>d\cdot (a\cdot f-b\cdot e)=a\cdot d\cdot f-b\cdot d\cdot e=b\cdot c\cdot f-b\cdot d\cdot e=b\cdot (c\cdot f-d\cdot e)=0</math>

en omdat d verschillend is van 0, moet <math>a \cdot f</math>  =  <math>b \cdot e</math>.

Men noteert de equivalentieklasse van het geordend paar (a,b) als de breuk ^a⁄_b. Men kan nagaan dat de algemene rekenregels voor de optelling en de vermenigvuldiging van breuken compatibel zijn met deze equivalentierelatie (de resultaten zijn onafhankelijk van de gekozen vertegenwoordiger van een equivalentieklasse) en dat ze de structuur van een lichaam (benaming in Nederland) of veld (benaming in België) bepalen. De elementen van dit lichaam/veld noemt men de rationale getallen.

Muziek

De termen half, kwart, achtste en dergelijke worden ook toegepast in de muziek, omdat de relatieve lengte van een muzieknoot hiermee aangeduid wordt. Een hele noot duurt vier tellen, een halve noot twee tellen, een kwartnoot één tel enzovoorts. Er bestaan ook achtste, zestiende en zelfs tweeëndertigste noten.

De maatvoering wordt met een breukgetal aangegeven, bijvoorbeeld de driekwartsmaat (wals) of de zesachtstemaat. Tevens is het ontstaan van de toonladder gebaseerd op series breukgetallen. Ook de reine stemming gaat uit van deze getallen.

Externe link

Mediabestanden

• TD. "[microcursus] rekenen met breuken", op wetenschapsforum.nl.

Bronnen, noten en/of referenties

Bronnen, noten en/of referenties