Logaritmen en exponentiële functies

Machtsverheffen

In Rekenkunde ( 3 ) wordt het onderwerp Machtsverheffen behandeld.
Hierbij wordt het volgende gesteld:

• Bij het machtsverheffen wordt een getal één, twee of meer keren met zichzelf vermenigvuldigd, waarbij de volgende schrijfwijze wordt gehanteerd:

10 1 = 1 • 10 = 10 10 2 = 10 • 10 = 100

Voorbeeld 1

Als het getal 5 een drietal keren met zichzelf wordt vermenigvuldigd, dus: 5 • 5 • 5, dan wordt dit genoteerd als: 5 3 Deze vorm wordt uitgesproken als: 5 tot de derde Het cijfer 3 – de exponent - in de vorm 53 geeft aan hoeveel keer het getal 5 – het grondtal – met zichzelf vermenigvuldigd moet worden. In dit geval is de uitkomst dus: 5 • 5 • 5 = 125

• Als machten moeten worden vermenigvuldigd met andere machten of worden gedeeld door andere machten die hetzelfde grondtal hebben, dan moeten de exponenten van die machten bij elkaar worden opgeteld of worden afgetrokken

10 1 • 10 1 kan worden geschreven als : 10 1+1 = 102 = 10 • 10 = 100 10 1 • 10 2 kan worden geschreven als : 10 1+2 = 10 3 = 10 • 100 = 1000 10 1 • 10 -1 kan worden geschreven als : 10 1-1 = 10 0 = 10 • 0,1 = 1

Exponenten

Het ligt zeer voor de hand te veronderstellen, dat tussen 10 ⁰ en 10 ¹ of bijvoorbeeld tussen 10 ¹ en 10 ² ook machten van 10 liggen die een ander getal dan 1, 10 of 100 zouden kunnen opleveren. Dit blijkt inderdaad het geval te zijn.
In Rekenkunde ( 3 ) wordt het onderwerp Worteltrekken behandeld. De ( vierkants )wortel uit bijvoorbeeld 10 wordt aldus genoteerd:

• √ 10 = 3,1622

Een andere schrijfwijze voor de wortel uit 10 is 10 1/2 = 10 0,5 wat hetzelfde oplevert, namelijk 3,1622 Op dezelfde manier kan elk getal worden uitgedrukt met het getal 10 met een exponent Zo levert de exponent 0,3010 het getal 2 op, aldus 10 0,30101 = 2, of bijvoorbeeld 10 0,6990 = 5

Om elk getal in een exponent uit te kunnen drukken, zijn voor alle getallen tussen 1 en 99 tabellen opgesteld, die deze notering mogelijk maken.
Men noemt hierbij het getal 10 het grondtal, hoewel hiervoor ook een ander getal zou kunnen worden gekozen. De exponent van de macht wordt hier mantisse genoemd. Voor getallen < 10 wordt een 0 vóór de mantisse geplaatst. Voor getallen > 10 komt vóór de mantisse een 1 te staan, en bij getallen tussen 100 ( = 10 ² ) en 999 plaatst men een 2 vóór de mantisse. Men noemt deze getallen de wijzer van een logaritme. Op die manier is het mogelijk de logaritme van elk denkbaar getal met een wijzer en een exponent vast te leggen.

Tabel van mantissen

Getal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	- ∞	0000	3010	4771	6021	6990	7782	8451	9031	9542
1	0000	0414	0792	1139	1461	1761	2041	2304	2553	2788
2	3010	3222	3424	3617	3802	3979	4150	4314	4472	4624
3	4771	4914	5051	5185	5315	5441	5563	5682	5798	5911
4	6021	6128	6232	6335	6435	6532	6628	6721	6812	6902
5	6990	7076	7160	7243	7324	7404	7482	7559	7634	7709
enz → t/m 99

Voorbeeld 2

De mantisse van het getal 6 = 0,7782 → 10 0,7782 = 6 De mantisse van het getal 12 = 1,0792 → 10 1,0792 = 12

Tegenwoordig wordt er niet meer zo uitgebreid gebruik gemaakt van tabellen maar meer van ( wetenschappelijke ) calculators. Ondanks het gemak dat we al lange tijd van deze hulpmiddelen hebben, blijkt het – zeker voor wat de wat ingewikkelde problemen - nog steeds noodzakelijk inzicht te hebben in de basiskennis van de logaritmen, aangezien zonder deze kennis niet wordt begrepen hoe logaritmen werken.

Definitie

Het blijkt dat - met wat hiervoor werd uiteengezet - een definitie is te geven van wat een logaritme van een getal is.

Een logaritme van een getal y is de exponent van de macht x waartoe het grondtal moet worden gebracht om het getal y te krijgen.

Als grondtal wordt – zoals boven werd uitgevoerd - als regel het getal 10 genomen. Hieruit volgt dan:

• y = 10 ^x

waarbij x de exponent ( mantisse ) is. Deze vorm kan ook op een andere manier worden geschreven, namelijk:

• x = ¹⁰ log y

waarbij log de afkorting van de logaritme van het getal y voortelt.
Voorbeeld 3

De logaritme van het getal 8, is te schrijven als: 8 = 10 x , en x = 10 log 8 Uit de genoemde tabel wordt voor de mantisse x gevonden: 0,9031, dus 8 = 10 0,9031

Voor de goede orde zou eigenlijk vóór de logaritme steeds de exponent 10 moeten worden genoteerd,
dus ¹⁰ log a. In de praktijk laat men voor het gemak meestal de aanduiding 10 vóór de logaritme weg.

Briggse en natuurlijke logaritmen

De tot nu toe gehanteerde logaritmen - met als grondtal 10 - worden ook wel Briggse logaritmen genoemd, naar de wiskundige Henry Briggs. Naast deze logaritmen bestaat ook de natuurlijke of Neperse logaritme met als grondtal e, naar de wiskundige John Napier ( Neper ), waarbij e = 2,7182818.......
De notatie voor de Briggse logaritmen is - zoals al uiteengezet - als volgt:

• ¹⁰ log x = log x

De notatie voor de natuurlijke logaritme is als volgt:

• ^e log x = ln x

Om Briggse logaritmen naar de natuurlijke logaritmen te kunnen omrekenen, geldt:

• log x = 0,4343... ln x

en omgekeerd:

• ln x = 2,3026.... log x

Formules

Algemeen gelden de volgende formules:

• log a • b = log a + log b
• log a : b = log a - log b
• log ⁿ√ a = 1/n log a
• log a ⁿ = n log a

Voorbeeld 3

In de vorm: log a • b = log a + log b, wordt voor a en b ingevuld: log 3 • 4 = log 3 + log 4 Uit de tabel van mantissen volgt dan: log 3 = 0,4771 en log 4 = 0,6021 Voor log 3 • 4 = 12 geldt: 1,0792, wat precies overeenkomt met de som van log 3 = 0,4771 en log 4 = 0,6021

Voorbeeld 4

In de vorm: log a : b = log a - log b, wordt voor a en b ingevuld: log 8 : 4 = log 8 - log 4 Uit de tabel van mantissen volgt dan: log 8 = 0,9031 en log 4 = 0,6021 Voor log 8 : 4 = 2 geldt: 0,3010, wat precies overeenkomt met het verschil van log 8 = 0,9031 en log 4 = 0,6021

Voorbeeld 5

In de vorm: log n√ a = 1/n log a wordt voor a en n ingevuld: log √ 9 = 1/2 log 9 *) Uit de tabel van mantissen volgt dan: log 9 = 0,9542, zodat voor log √ 9 = 1/2 log 9 = 0,4771, wat precies overeenkomt met log 3 = 0,4771

---

^*) Voor ⁿ√ a wordt bij een 2^emachtswortel meestal gewoon √ a geschreven, dus met weglating van de 2 boven het wortelteken.

Voorbeeld 6

• Nagegaan wordt in hoeveel jaar een kapitaal x, uitgezet tegen 5%, zal zijn verdubbeld

Na het eerste jaar is het kapitaal gegroeid tot 1,05 x. In het tweede jaar wordt dit dus ( 1,05 • 1,05 ) x Na n jaar blijkt dan, dat het kapitaal x is gestegen tot 2 x Om dit te berekenen, worden in de vorm : log a n = n log a de bijbehorende getallen ingevuld, aldus: log 1,05 n x = n log 1,05 x = log 2 x. Voor de verdere berekening kan x worden weggelaten Uit de tabel van mantissen volgt dan voor log 2 = 0,3010, en na interpolatie : log 1,05 = 0,0212, zodat n = 0,3010/0,0212 = 14,2 jaar = 14 jaar en 2 1/2 maand Dit houdt dus in, dat na 14 jaar en 2 1/2 maand het kapitaal X is verdubbeld

In onderstaande grafiek wordt nog duidelijker hoe deze kapitaalstijging in de tijd verloopt. De y-as van de grafiek heeft een logaritmische schaal, waardoor de stijgende lijn van de grafiek een rechte lijn wordt. Goed te zien is, dat na iets meer dan 14 jaar het uitgezette kapitaal is verdubbeld.

>>>>>>>>>>>>>>> Logaritmische grafiek kapitaalvermeerdering <<<<<<<<<<<<<<<<

Exponentiële functies

Met Voorbeeld 6 over de kapitaalvermeerdering werd met de vorm 1,05 ⁿ x al een overstap gemaakt naar de exponentiéle functies.
Bij het machtsverheffen is het duidelijk geworden, dat getallen genoteerd kunnen worden met een exponent, zoals
4 ³ = 4 • 4 • 4 = 64.
Op dezelfde manier kan een serie getallen worden uitgedrukt in exponenten.

• Voorbeeld 7

De volgende eenvoudige serie getallen begint met 1 en wordt vervolgens vermenigvuldigd met 2, aldus:

• 1 • 2 = 2
• 2 • 2 = 2 ² = 4
• 2 • 4 = 2 ³ = 8
• dus verder als: 2 ⁿ

1 888 2 888 4 888 8 888 16 888 32 888 64 888 128 888 256 888 512 888 ........

Zo’n serie kan ook worden opgezet voor het getal 3, dus verder als: 3 ⁿ aldus:

1 888 3 888 9 888 27 888 81 888 243 888 729 888 2187 888 6561 888 ........

Deze series – met de notatie 2 ⁿ en 3 ⁿ - kunnen worden opgezet met verschillende exponenten, en gelden ook voor alle andere denkbare getallen.
Zo’n reeks wordt een exponentiële functie genoemd.

Schaakbord

Het volgende vraagstuk vormt een mooi sluitstuk van het onderwerp Logaritmen en exponentiële functies.
Op het afgebeelde schaakbord wordt op het 1 ^e veld 1a een eurocent neergelegd en op het veld 1b 2 eurocenten, waarna steeds na elk veld een verdubbeling plaatsvindt. Dit houdt in, dat op veld 1f al 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 eurocenten op het bord liggen. De vraag is nu, hoeveel eurocenten er op het bord komen te liggen als de reeks wordt voortgezet.
Dit wordt een nogal bewerkelijke som, zodat we overgaan op een wat listiger manier,
door namelijk vast te stellen, dat:

x = 2 n - 1 , waarbij n het aantal velden betekent en x de som van alle aanwezige eurocenten. Toegepast op veld 1b dus het 2 e veld, wordt dit: x = 2 2 - 1 = 4 - 1 = 3 eurocent Toegepast op veld 1h dus het 8 e veld, wordt dit: x = 2 8 - 1 = 256 - 1 = 255 eurocent = 2,55 euro Toegepast op veld 2h dus het 16 e veld, wordt dit: x = 2 16 - 1 = 65536 - 1 = 65535 eurocent = 655,35 euro

• Het is duidelijk, dat:

De eurocent die er officieel moet worden afgetrokken, speelt op den duur geen rol meer, en wordt dus verder weggelaten uit de berekening. Het bedrag vermeerdert zich zeer snel, doordat er steeds een verdubbeling plaatsvindt en de som van de voorgaande bedragen er steeds bijkomen.

• Als wordt berekend, hoeveel eurocenten er aanwezig zijn als het middelste veld

- dus veld 4h ofwel het 32 ^e veld, - wordt bereikt, dan wordt dit:

x = 2 32 = 4294967296 eurocent = 42,95 miljoen euro

• Dit resultaat kan ook via logaritmen worden verkregen.

Aldus:

x = 2 32 , dus log x = 32 log 2 = 32 • 0,301029996 = 9,632959862. Dit wordt teruggerekend 42,95 miljoen euro, wat dus overeenkomt met het eerder gevonden resultaat.

Als veld 8h, ofwel het 64 ^e veld wordt bereikt, dan komen we op een bedrag uit, dat gigantisch groot is; een bedrag, dat vermoedelijk heel wat meer dan de gezamenlijke Europese begroting omvat, namelijk 2 ⁶⁴ = 18,45 • 10 ¹⁶ euro =

18,45 • 10 ⁷ miljard euro!

In de grafiek met logaritmische schaal wordt nog sterker benadrukt, hoe gigantisch de stijging van veld 1 ( = 1a )
naar veld 64 = ( 8h ) is.