Pythagoras

Pythagoras, Romeinse kopie naar een Grieks origineel, Musei Capitolini

Pythagoras (Grieks: Πυθαγόρας) (Samos, ca. 572 v.Chr. – Metapontum, ca. 500 v.Chr.) was een Grieks wiskundige, wijsgeer, filosoof en hervormer. Hij werd door sommigen als een van de Zeven Wijzen beschouwd.

Biografie

Pythagoras werd geboren op Samos, een van de toen welvarende Griekse eilanden in de Egeïsche Zee. Hij kreeg er van jongs af aan een goede opvoeding en opleiding. Volgens de overlevering heeft hij veel reizen gemaakt naar Egypte en het Oosten. Hij streefde harmonie en reinheid van de ziel na, wat volgens hem bevorderd kon worden door onder andere de kennis van getalverhoudingen. Deze verhoudingen beheersen volgens zijn leer het heelal, zoals ze bijvoorbeeld ook terug te vinden zijn in de muziek. Pythagoras ontdekte ook de muzikale boventonenreeks met de verhoudingen van diverse intervallen, door een gespannen snaar op verschillende punten af te klemmen. Hij was een zeer geoefend lyra-speler.

Omstreeks 530 v.Chr. stichtte Pythagoras in Croton een school, die ook in andere Zuid-Italiaanse steden afdelingen vestigde. Bij zijn volgelingen gold een volledige gelijkheid tussen mannen en vrouwen, een houding die in de Griekse wereld uitzonderlijk was. Pythagoras en zijn aanhangers hebben een belangrijke invloed uitgeoefend op het openbare en het politieke leven, maar zijn daarbij ook op krachtig verzet gestuit; tegen het eind van zijn leven moest Pythagoras Croton verlaten en enkele decennia later vond een algehele opstand tegen zijn aanhangers plaats.

Filosofie en religie

Zie Pythagorisme (Pythagoras) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Aristoteles vatte de leer van Pythagoras en zijn opvolgers aldus samen:

• de dingen zijn getallen
• de gehele hemel is harmonie en getal

Pythagoras was overtuigd van de onsterfelijkheid van de ziel en onderwees de reïncarnatie. Dat is ook de reden waarom hij geen vlees at; lange tijd werden vegetariërs ook wel pythagoreeërs genoemd.

Pythagoras' religieuze voorstellingen waren waarschijnlijk van Oosterse, Indische oorsprong. Hij geloofde in zielsverhuizing.

"Volgens deze [voorstellingen] maakt de onsterfelijke ziel van de mens een lang louteringsproces door in steeds hernieuwde belichamingen, waarbij zij ook de dierlijke gestalte aan kan nemen. In verband daarmee staat, evenals in India, het gebod geen dier te doden of te offeren, en zich van dierlijk voedsel te onthouden. Daar als doel van het leven wordt aangezien de ziel door reinheid en vroomheid uit de kringloop der wedergeboorten te verlossen, vertoont de Pythagoreïsche ethiek met India verwante trekken: zelftucht, ingetogenheid, onthouding staan in het middelpunt." (Hans Joachim Störig, 1964)

Pythagoras combineerde voor het eerst wiskunde met theologie. Deze combinatie zullen we later tegenkomen bij Plato, maar ook bij de middeleeuwse theologen, bij Baruch Spinoza en bij Leibniz en later tot zelfs bij Kant. Pythagoras heeft steeds een grote invloed op het denken uitgeoefend.

Getallenleer

Befaamd is de getallenleer van de oude Pythagoreeërs: zij namen aan dat de dingen getallen zijn of erop lijken, of ook wel dat de elementen van de dingen ook die van het getal zijn.

Het idee dat "mooie" getalverhoudingen iets harmonisch opleveren kon Pythagoras aantonen met een aangestreken snaar. Wanneer je een snaar aanstrijkt en daarna de snaar halveert hoor je twee tonen die heel goed samen klinken. Wij zeggen nu dat deze tonen een octaaf verschillen. De lengteverhouding 2:3 geeft een kwint, 3:4 geeft een kwart. Ook dan zijn de tonen 'consonant'. Op basis van gehele verhoudingen is de reine stemming voor een toonladder gedefinieerd: de pythagoreaanse stemming.

De toonladder van Pythagoras ziet er als volgt uit:

de tonen	E	D	C	B	A	G	F	E
de constructie	2/3	3/4	27/32	8/9	1	9/8	81/64	4/3
snaarlengtes	1	9/8	81/64	4/3	3/2	27/16	243/128	2
toonafstanden		9/8	9/8	256/243	9/8	9/8	9/8	256/243

Voor de Pythagoreeërs corresponderen getallen niet alleen met muzikale fenomenen, maar ook met begrippen en dergelijke: 4 is gerechtigheid (2 × 2, gelijk maal gelijk), 5 is huwelijk (eerste verbinding van even (d.w.z. vrouwelijk) met oneven (d.w.z. mannelijk)). Het volmaakte getal is 10 (1 + 2 + 3 + 4), tetraktus genoemd: deze is bron en oorsprong van alle dingen en bevat bijvoorbeeld alle getallen nodig om de voornaamste toonverhoudingen te definiëren. De elementen van het getal zijn het 'bepaalde' en het 'onbepaalde', termen die ook met andere gepaarde tegendelen (oneven-even, mannelijk-vrouwelijk, goed-kwaad) op één lijn gesteld werden.

De oorspronkelijke getallenleer van Pythagoras en de zijnen was derhalve geen wetenschappelijke wiskunde, maar eerder een toepassing, een soort metafysica van het getal; op den duur is echter ook in de school van Pythagoras, net als op andere plaatsen in de Griekse wereld, wiskunde op wetenschappelijke wijze beoefend.

Pythagoras stelde zich de getallen voor in bepaalde gedaanten. "Hij sprak van vierkante en kubusvormige getallen, van langwerpige, driehoekige en piramidevormige getallen, enzovoort. Uit de getallenvormen werden dan de bewuste figuren opgebouwd. Blijkbaar vatte hij de wereld op als bestaande uit atomen, terwijl de lichamen dan waren samengesteld uit moleculen, die weer waren opgebouwd uit in verschillende vormen gerangschikte atomen. Op deze wijze trachtte hij de wiskunde te maken tot de grondslag voor zowel de natuurkunde als voor de esthetica." (Russell, 1948)

En ook voor de ethiek, zou je kunnen zeggen. Pythagoras hechtte weinig waarde aan empirisch onderzoek. Wanneer er tussen de verschijnselen eenmaal wiskundige relaties waren ontdekt, trok het denken zich terug in de sfeer van het ideële. Het denken is superieur aan de zintuiglijke waarneming. Het zuivere weten is gericht op het onstoffelijke, en bevrijdt de ziel uit de banden van de zinnelijkheid.

De voornaamste bijdrage van de Pythagoreeërs ligt op het gebied van de getallenleer, terwijl zij de meetkunde in het algemeen op 'aritmetische' wijze beoefenden en daardoor onder meer geen raad wisten met het probleem van de irrationele wortels (zie hieronder bij 'Irrationale getallen').

Kosmologie

Het is typerend voor Pythagoras dat hij deze waarneming heel snel extrapoleerde naar het heelal. De hemellichamen -ook de aarde- bewegen zich in cirkelvormige banen om een centraal vuur. Dat vuur zien wij niet, want aan de kant van de -kennelijk bolvormige- aarde waar je dat vuur wel zou kunnen zien is geen leven mogelijk. De stralen van deze banen verhouden zich als de tonen in het octaaf. Door hun beweging in deze banen brengen de hemellichamen muziek voort, een "hemelse symfonie" of "harmonie der sferen."

Het heelal is dus een geordend geheel, een "kosmos". Dit idee van het heelal als kosmos zou een belangrijke bron van inspiratie worden.

Omdat tien het volmaakte getal was, moest het heelal dus wel uit tien hemellichamen bestaan. Met de vijf toen bekende planeten (Mercurius, Venus, Mars, Jupiter, Saturnus), de zon, de maan, de aarde en het centrale vuur kwam men slechts aan het getal negen. Dan moest er, recht tegenover de aarde, een "tegenaarde" of "antichthon" rond het centrale vuur cirkelen. Aarde en tegenaarde cirkelden in de kleinste baan; daarna kwam de maan, vervolgens de zon, en nog verder de planeten.

Archimedes vertelt dat er een volgeling van Plato was, Aristarchos, die aannam dat de aarde niet om een centraal vuur, maar om de zon cirkelde. Het geschrift waarin Aristarchos dit beschreef is helaas verloren gegaan.

Stelling van Pythagoras

Zie Stelling van Pythagoras voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Bestand:Bewijs stelling van Pythagoras.jpg

De stelling van Pythagoras is waarschijnlijk de bekendste stelling in de wiskunde. 'Zijn' stelling was overigens alleen maar nieuw voor de Grieken. In Babylonië was het resultaat al veel langer bekend. De stelling zegt iets over de relatie tussen de rechthoekszijden en de schuine zijde (hypotenusa) van alle rechthoekige driehoeken.

In de rechthoekige driehoek ABC zijn de zijden a en b de rechthoekszijden. De zijde c noemen we de schuine zijde of hypotenusa.

De stelling van Pythagoras luidt:

"In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lengte van de hypotenusa (schuine zijde) gelijk aan de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekszijden."

Anders geformuleerd:

<math>a^{2} + b^{2} = c^{2}</math>

Irrationale getallen

Nog veel belangrijker dan deze stelling was echter het uitgangspunt van de Pythagoreeërs dat alles bestaat uit verhoudingen van (gehele) getallen. Geleidelijk drong tot hen door dat er met "hun" driehoek iets niet klopte. Wanneer de korte zijden ervan even lang zijn lukt het met geen mogelijkheid de verhouding tussen de lengte van een korte en van de lange zijde in getallen uit te drukken. Na lang denken vonden zij bewijs dat dit onmogelijk is. Een triomf voor het verstand, een debacle voor een doctrine. Met alle macht probeerden zij deze inbreuk geheim te houden. Volgens de overlevering is iemand die dit toch bekendmaakte om het leven gebracht.

Een ander gevolg was dat de Grieken aan de meetkunde de voorkeur gaven boven de rekenkunde. Pas in de zeventiende eeuw, met de komst van René Descartes, zouden getallen weer de overhand krijgen.

Verdere wiskunde

Een andere belangrijke wiskundige stelling waarvan de ontdekking aan Pythagoras wordt toegeschreven is de stelling dat in een driehoek de som van de drie hoeken altijd gelijk is aan 180°.

Zie ook

• Pythagorisme

Externe links

• De wiskunde volgens Pythagoras
• De stelling van Pythagoras
• Informatie over filosofie en wiskunde van Pythagoras
• Pythagoras Het rekenen met de stelling van Pythagoras op je Ti-84/Ti-83
• Pythagoras' Theorem uitgelegd d.m.v. interactief Java-applet

Antieke filosofie

Bronvermelding

Bronnen, noten en/of referenties:

  Vrije mediabestanden over Pythagoras op Wikimedia Commons