Gebruiker:Franciscus/kladblok 2

Meetkunde ( Inleiding )

De vlakke meetkunde of planimetrie, is het onderdeel van de geometrie dat zich bezighoudt met het omgaan en meten van lengtes, omtrekken en oppervlakken in het tweedimensionale vlak.
Het oppervlak en de omtrek van eenvoudige vlakken - zoals rechthoeken - is vrij eenvoudig te berekenen met de lengte en breedte. Bij de meer gecompliceerde vlakken - zoals vier- of vijfhoeken - moet de oppervlakte worden berekend door de figuur in driehoeken te verdelen.

Hulpvakken

In het eerste deel van het vak Rekenkunde ( 1 ) wordt een opsomming gegeven van de diverse bewerkingen die bij het rekenen horen.
Bij de wat ingewikkelder berekeningen - die soms lange becijferingen vereisen – wordt niet meer alleen met cijfers gewerkt maar ook met letters. Men noemt deze manier van berekenen : Algebra.
In Algebra ( Algemene regels ) wordt verder op deze manier van berekenen ingegaan.
Zowel de Rekenkunde als de Algebra zijn onmisbaar bij de bestudering van de Meetkunde.

Onderdelen van de Meetkunde

In het vak Meetkunde zullen de volgende onderdelen worden behandeld:

• Driehoeken (Δ):Scherphoekige Δ, rechthoekige Δ, stomphoekige Δ, gelijkbenige Δ en gelijkzijdige Δ
• Vierhoeken:Vierkant, rechthoek, ruit, parallelogram, trapezium en vierhoek
• Veelhoeken en regelmatige veelhoeken
• De cirkel, hoeken in de cirkel en de ellips

Bij al deze onderwerpen zal steeds – waar nodig – met voorbeelden worden gewerkt!

Bronvermelding

Bronnen, noten en/of referenties:

• Meetkunde ( Driehoeken )
• Meetkunde ( Vierhoeken )
• Meetkunde ( Veelhoeken )
• Meetkunde ( De cirkel )

Meetkunde ( Driehoeken )

Driehoeken (Δ) zijn fundamentele figuren in de meetkunde. Zoals onder meer bij de veelhoeken zal blijken, zijn veel meetkundige figuren opgebouwd uit Δ Δ.
In het vak Goniometrie zijn al enkele eigenschappen van de Δ behandeld, onder meer, dat steeds de som van de hoeken van een Δ = 180 ⁰ .

Soorten driehoeken

Er kunnen diverse driehoeken worden onderscheiden, namelijk:

• De scherphoekige Δ → Bij een scherphoekige Δ zijn alle zijden anders van lengte en zijn alle hoeken verschillend, maar < 90 ⁰.
• De rechthoekige Δ → Bij een rechthoekige Δ is één hoek altijd 90 ⁰ en zijn de andere hoeken< 90 ⁰ en kunnen de zijden verschillend van lengte zijn.
• De stomphoekige Δ → Bij een stomphoekige Δ is één hoek altijd > 90sup 0 en zijn de andere hoeken < 90 ⁰ en zal één zijde altijd groter zijn dan de andere zijden.
• De gelijkbenige Δ → Bij een gelijkbenige Δ – als bijzondere scherphoekige Δ – zijn twee zijden gelijk aan elkaar en zijn ook de aanliggende hoeken gelijk aan elkaar.
• De gelijkzijdige Δ → Bij een gelijkzijdige Δ – als bijzondere scherphoekige Δ – zijn alle zijden even groot en zijn alle hoeken = 90 ⁰.

Omtrek en oppervlak van de Δ

Voor elke Δ geldt, dat:

Voor een gelijkzijdige Δ geldt:

Rekenvoorbeeld

In de gegeven Δ is zijde a = 6 cm , b = 5 cm en c = 7 cm. De hoogte h = 6,5 cm.
Gevraagd wordt de omtrek O en het oppervlak A van de Δ te berekenen.

Rekenvoorbeeld als variant op het deze berekening

Gevraagd wordt de omtrek O en het oppervlak A van de Δ, als de gegeven Δ een gelijkzijdige Δ is met zijden a = b = 6 = 6 cm.

Hoeken van de Δ

Rekenvoorbeeld

Zijden van de rechthoekige Δ

In Algebra ( Machtsverheffen en Worteltrekken ) wordt de stelling van Pythagoras behandeld. Deze luidt:
In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde.
De stelling kan met de rechthoekige driehoek en de bijbehorende rechthoekszijden a, b en c in de vorm van een formule worden uitgedrukt, namelijk:

Rekenvoorbeeld

Bronvermelding

Bronnen, noten en/of referenties:

• Meetkunde ( Inleiding )
• Meetkunde ( Vierhoeken )
• Meetkunde ( Veelhoeken )
• Meetkunde ( De cirkel )
• Rondom de cirkel ( 1 )
• Rondom de cirkel ( 2 )

Meetkunde ( Vierhoeken )

Als algemene regel geldt, dat de som van de hoeken van een vierhoek = 360 ⁰.
Er kunnen diverse vierhoeken worden onderscheiden, namelijk:

• Het vierkant → Bij een vierkant zijn alle zijden even groot en zijn alle hoeken 90 ⁰.
• De rechthoek → Bij een rechthoek zijn de twee verticale zijden gelijk aan elkaar. Ook de twee horizontale zijden zijn gelijk aan elkaar. Alle hoeken zijn 90 ⁰ .
• De ruit → Bij een ruit zijn alle zijden even groot en zijn twee hoeken altijd > 90sup> 0 en de andere twee hoeken zijn < 90 ⁰ .
• Het parallelogram → Bij een parallelogram zijn de twee schuine zijden gelijk aan elkaar, even als de aanliggende hoeken. Ook de twee horizontale zijden zijn gelijk aan elkaar. Twee hoeken zijn altijd > 90 ⁰ en de andere twee hoeken zijn < 90 ⁰ .
• Het trapezium → Bij een trapezium kunnen de twee schuine zijden gelijk of ongelijk aan elkaar zijn. De twee horizontale zijden zijn altijd anders van lengte. De basishoeken zijn altijd < 90 ⁰ en de andere twee hoeken zijn > 90 ⁰.
• De vierhoek → Bij een vierhoek kunnen alle zijden ongelijk van lengte zijn en er kunnen maximaal twee hoeken > 90 ⁰ zijn.

Omtrek, oppervlak en hoeken van vierhoeken

Vierkant

Rekenvoorbeeld

Als de omtrek O van een vierkant = 24 cm, hoe lang is dan een diagonaal in dat vierkant?

Rechthoek

Ruit

Rekenvoorbeeld

Van een ruit met zijde a = 5 cm, waarvan de scherpe hoeken = 60 ⁰ zijn, wordt gevraagd het oppervlak A te berekenen.
Dit blijkt op drie manieren mogelijk te zijn:

Parallellogram

Trapezium

Vierhoek

Rekenvoorbeeld

Van de gegeven vierhoek zijn de zijden a en b = 6 cm. De diagonaal e is eveneens 6 cm. Als de zijden d en e = 4 cm zijn, dan is met deze gegevens de omtrek O en het oppervlak A te berekenen.

Regelmatige veelhoek n	Straal R	Oppervlak A	Omtrek O	Hoek β
5	0,851a	1,721a 2	5a	108 0
6	1a	2,598a 2	6a	120 0
8	1,307a	4,828a 2	8a	135 0
10	1,618a	7,694a 2	10a	144 0
12	1,932a	11,196 2	12a	150 0