Hoek (meetkunde)

Een hoek in de meetkunde is een figuur in een vlak gevormd door twee halfrechten, benen van de hoek geheten, met een gemeenschappelijk beginpunt. Draait men een van de benen om dit hoekpunt tot hij met de andere samenvalt, dan doorloopt de halfrechte de hoek tussen beide. Duidelijk is dat deze beweging op twee manieren kan plaatsvinden, zodat door de halfrechten ook twee hoeken gevormd worden; deze hoeken vormen samen een cirkel. Zonder nadere bepaling rekent men meestal de kleinere van beide hoeken als de hoek gevormd door de halfrechten.

Het snijpunt van de twee lijnen wordt wel hoekpunt genoemd.

Soorten hoeken.

Inleiding

Een hoek is een dimensieloze grootheid, waarvan de grootte traditioneel wordt uitgedrukt in (boog)graden (°). Een hoek ter grootte van een gehele cirkel telt voor 360°. Twee halfrechten in elkaars verlengde vormen een hoek van een halve cirkel, dus van 180°. Staan de halfrechten loodrecht op elkaar, dan is de (kleinere) hoek tussen beide 90°. Een graad is onderverdeeld in 60 (boog)minuten (') en een minuut weer in 60 (boog)seconden ("). Een hoek van 34 graden, 25 minuten en 16 seconden wordt genoteerd als: 34°25'16". In het SI-selsel wordt een hoek gemeten in radialen. Bij het meten van hoeken in radialen zal vaak het getal π (pi) een rol spelen. Zo is een cirkel gelijk aan 2π radialen.

In de landmeetkunde gebruikt men als eenheid de gon. Hierbij is de hoek van een volledige cirkel 400 gon.

Wanneer twee lijnen in een vlak elkaar snijden, worden door deze lijnen 4 hoeken gevormd. De overstaande hoeken zijn daarbij in grootte aan elkaar gelijk. Twee aangrenzende hoeken zijn samen 180°. Zoals blijkt uit bijgaande figuur kan de hoek tussen twee lijnen op twee manieren worden gemeten. Meestal, maar niet noodzakelijk, wordt onder „de hoek” de kleinste hoek verstaan, in dit geval hoek α.

Wanneer twee vlakken elkaar snijden en dus een lijn gemeen hebben, wordt de mate waarin het ene vlak moet roteren om die lijn, om samen te vallen met het andere, de hoek tussen deze vlakken genoemd.

Geschiedenis

Hoeken werden reeds bij de Babyloniërs (4000 à 300 v.Chr.) bestudeerd in de astronomie en de bouwkunde. De Babyloniërs gebruikten een talstelsel gebaseerd op het getal 60. Toenmalige wiskundigen verdeelden de (3 gelijke) hoeken van een gelijkzijdige driehoek in 60 eenheden, nu graden geheten. De graad werd verder opgesplitst in 60 minuten (ook wel boogminuten genoemd ter onderscheid van de minuut in tijd), en de minuut in 60 seconden (ook wel boogseconden genoemd).

De Oude Grieken konden aan de hand van een hoek de omtrek van de Aarde bepalen, en de afstand tot de Maan. Pythagoras toonde aan dat de som van de hoeken in een driehoek 180° is.

Tekenen van een hoek

Een van de drie klassieke problemen van de Grieken was de trisectie van een willekeurige hoek, enkel met passer en liniaal. Het was hen wel al gelukt een hoek in tweeën te delen en te verdubbelen, hoeken op te tellen en af te trekken, en bepaalde standaardhoeken (die van 90°, 60°, 72° 54°) te tekenen (de laatste drie uit een regelmatige drie- en vijfhoek). Daaruit kon een groot arsenaal afgeleide hoeken worden bepaald, maar niet alle hoeken! Pas veel later werd aangetoond dat de trisectie niet mogelijk is (Pierre Wantzel, 1837).

Eenheden

• De SI-eenheid waarin een hoek wordt gemeten is de radiaal (rad).

Een rechte hoek  π /2 rad. Een cirkel omvat 2π rad.

• Veel vaker gebruikt in het dagelijks leven is de meeteenheid graad (°).

Een rechte hoek = 90°. Een cirkel omvat 360°.

• In de geodesie wordt gon gebruikt.

Een rechte hoek = 100 gon. Een cirkel omvat 400 gon.

• De hoek van een helling wordt (op verkeersborden) vaak aangegeven in procenten. Deze is doorgaans gelijk aan de tangens van de hoek, soms de sinus, en vermenigvuldigd met 100%. Voor kleine hoeken zijn zowel de tangens als de sinus in goede benadering gelijk aan de hoek zelf, uitgedrukt in radialen.

• In het leger wordt de volledige cirkel opgedeeld in 6300 of 6400 eenheden, mil genaamd. Deze van de radiaal afgeleide eenheid is eenvoudig te gebruiken bij het inschieten van artillerie, als een schot een doel op 1000 meter met 5 meter mist kan het stuk 5 mil gedraaid worden.

Conversies tussen de verschillende eenheden

2π rad = 360° = 400 gon

1 rad = 57° 17' 45" = 63,6620 gon

1° = 0,0175 rad = 1,1111 gon

1 gon = 0,0157 rad = 0° 54"

Conventies

• Een hoek is positief indien deze tegen de wijzers van de klok in wordt gelezen. Een hoek is negatief indien deze met de wijzers van de klok mee wordt afgelezen.

In volgende figuur is ∠CAB = −∠BAC, enkel de rotatiezin verschilt. Hoek ∠BAC is dus positief, hoek ∠CAB is negatief. Men spreekt van gerichte hoeken

• De hoek tussen twee lijnen wordt gegeven als gerichte hoek, en is dan goed gedefinieerd modulo π.

• Een hoek van 90° of  π /2 (m.a.w.: ¼ van een cirkel, 100 gon) wordt recht genoemd, een hoek die kleiner is, is een scherpe hoek, een hoek die groter is, is stomp. Een rechte hoek wordt ook wel haaks genoemd. Een hoek van 180° of π wordt ook wel een gestrekte hoek genoemd.

• complementaire en supplementaire hoeken

α en β zijn supplementaire hoeken als de som van de twee hoeken een gestrekte hoek is, wiskundig: α + β = π (180°);

α en β zijn complementaire hoeken als de som van de twee hoeken een rechte hoek is, wiskundig: α + β =  π /2 (90°)

• 1/60 van een graad (°) is een minuut (1'), 1/60 van een minuut is een seconde (1")

• Hoeken blijven gelijk wanneer er een geheel keer 2π (hoek in radialen) of 360° (graden) wordt opgeteld; de hoofdwaarde van een hoek is de grootte van de hoek θ, zodat 0 ≤ θ < 2π (wanneer θ in radialen is) of zodat 0 ≤ θ < 360° (in graden)

Eigenschappen

Hoeken in regelmatige veelhoeken

In het euclidische vlak geldt dat de som van de hoeken van een driehoek 180° (π rad) is, bij een vierhoek is de som 360° (2π rad).

Algemeen geldt voor een veelhoek met n zijden, dat de som van de inwendige hoeken (n − 2) π of (n − 2) × 180° is.

Op die manier kan eenvoudig afgeleid worden, dat de hoeken in een regelmatige driehoek (gelijkzijdige driehoek) 60° ( π /3 rad) zijn, in een regelmatige vierhoek (vierkant) 90° ( π /2 rad).

Meer algemeen: de hoeken van een regelmatige n-hoek zijn elk  n − 2 /n × 180° oftewel  n − 2 /n × π rad.

Bepalen van een hoek

Meten

• met behulp van een goniometer (aanwezig op een goniodriehoek). Vroeger werd een dergelijk apparaat gebruikt in de scheepvaart, om de positie van het schip te bepalen;

• met behulp van een theodoliet (onder andere gebruikt door landmeters);

• op schepen gebruikt men een sextant;

• vroeger werd een Jacobsstaf gebruikt.

Berekenen

Alle gevallen worden omgezet in het eerste geval, een hoek tussen twee vectoren.

• De hoek tussen twee vectoren u en v kan bepaald worden uit cos(θ) =   u ∙ v  / ‖ u ‖ ‖ v ‖ waarbij men gebruik maakt van het inwendig product.
• Evenzo sin(θ) =   u × v  / ‖ u ‖ ‖ v ‖ waarbij de definitie van uitproduct wordt toegepast.

• De hoek tussen twee rechten r en l kan bepaald worden uit de hoek tussen de richtingsvectoren van de resp. rechten (zodat men in bovenstaand geval terecht komt).

• De hoek tussen twee vlakken wordt berekend uit de hoek tussen de twee normaalvectoren van de vlakken.

• De hoek tussen een vlak en een rechte wordt berekend uit het complement van de hoek tussen de normaalvector op het vlak, en een richtingsvector van de rechte: stel α de hoek tussen de twee vectoren, dan is de hoek tussen de rechte en het vlak  π /2 − α.

60-80-100-methode

Vooral door bouwvakkers, en bij het haaks moeten aftekenen / bepalen van grotere hoeken, wordt vaak de 60-80-100-methode gebruikt, die als goed gemeten precies een haakse hoek aangeeft. Vanaf de hoek wordt naar de ene zijde 60 cm. afgemeten, en naar de andere zijde 80 cm. Een hoek die haaks is heeft dan een schuine lijn (tussen uiteinden vanaf de hoek) van precies 100 cm. Als dit niet het geval is moeten de uiteinden dichter naar elkaar toe of verder van elkaar af, met behoud van de schuine 100 cm.

Riemann-meetkunde

In de niet-Euclidische elliptische meetkunde van Bernhard Riemann die onder meer wordt toegepast in de algemene relativiteitstheorie wordt de metrische tensor gebruikt om de hoek tussen twee raaklijnen te bepalen. Met U en V raakvectoren en g_ij de componenten van de metrische tensor G krijgen we voor de onderlinge hoek

cos θ =
	g i j U i V j
	√
	| gi jU iU j | | gi jV iV j |

Gebruik

Een greep uit de talloze toepassingen:

• in de wiskunde (meetkunde):
  • cordinaatstelsels zoals poolcoordinaten en bolcoördinaten
  • hoeken van Euler
• in de geodesie (aardrijkskunde):
  • azimut
  • lengte-en breedtegraad
• in de sterrenkunde
  • de definitie van de parsec: De parsec is de afstand die men vanaf de Aarde de ruimte moet ingaan, opdat men van die afstand de gemiddelde afstand Aarde -zon onder een hoek van één boogseconde ziet (zie figuur).
  • de afbuiging van licht bij een zware massa: zie zwaartekrachtlens
• in de optica (natuurkunde)
  • invalshoek: hoek tussen de invallende stralen en de normaal op het scheidingsvlak tussen twee middenstoffen
  • parallax
  • hoek van diffractie bij een (reflectie)tralie.
• in de aerodynamica: de invalshoek is de hoek waarlangs het fluïdum het vleugelprofiel treft
• bij schepen en vliegtuigen: de rol-, gier- en stamphoeken

„Hoek” in het dagelijks taalgebruik

Het woord hoek wordt veel gebruikt in de Nederlandse taal:

• Hij komt grappig uit de hoek.
• Het hoekje om gaan (een eufemisme voor sterven).
• In de hoek staan (voor straf in de klas in de hoek gezet worden).
• Het gezin is de hoeksteen van de samenleving (het gezin zou de steen zijn, waar al het andere op is gebaseerd).
• De wind waait uit een andere hoek (uit de scheepvaart; figuurlijk betekent dit dat veel zal gaan veranderen).
• Het Duitse woord voor hoek is Winkel. Dit komt in het Nederlands terug in het woord winkelhaak. Het Nederlandse woord winkel is afgeleid van de hoeken van (kerk-)gebouwen waarin vaak verkoopkramen stonden.

Zie ook

• Bissectrice
• Driedeling van de hoek
• Goniometrie en driehoeksmeetkunde
• Ruimtehoek

Bronvermelding

Bronnen, noten en/of referenties:
http://www.bookrags.com/sciences/mathematics/angle-wom.html

  Zie ook de categorie met mediabestanden in verband met Angles op Wikimedia Commons.