Meetkunde ( Lichamen )

In het eerste deel van de Meetkunde – de vlakke meetkunde of planimetrie – wordt nagegaan hoe de lengte, de omtrek en het oppervlak van figuren in het tweedimensionale vlak kunnen worden berekend.
In het tweede en (voorlopig) afsluitende deel van de Meetkunde gaat het om het berekenen van het Oppervlak en de Inhoud van lichamen in de driedimensionale ruimte.
Het oppervlak A en de inhoud V van eenvoudige lichamen - zoals de Kubus of het Rechte Parallellepipedum - zijn zonder veel moeite te berekenen met de lengte de breedte en de hoogte van het lichaam. Bij de meer gecompliceerde lichamen - zoals de Kegel, de Piramide of het Prisma – is het berekenen van het oppervlak en de inhoud wat lastiger. De nog gecompliceerdere lichamen zoals als de Holle cilinder , de Afgeknotte kegel en de Afgeknotte piramide , geven nog iets ingewikkelder berekeningen.

Onderverdeling van de lichamen

Bij het onderwerp Lichamen wordt de volgende onderverdeling gemaakt:

• Kubus
• Parallellepipedum
• Prisma
• Cilinder en holle cilinder
• Kegel en afgeknotte kegel
• Piramide en afgeknotte piramide
• Bol

Bij de behandeling van de lichamen zal - waar nodig – met rekenvoorbeelden worden gewerkt!

Kubus

Een Kubus is het meest basale, regelmatige lichaam. Alle 6 vlakken zijn vierkanten die even groot zijn. Waar twee vlakken samenkomen, is een ribbe aanwezig. Een kubus bevat 12 ribben.
De berekening van het oppervlak A en de inhoud V van de kubus is vrij eenvoudig, zoals in het gele vlak duidelijk wordt.

Parallellepipedum

Een Parallellepipedum – ook wel Parallellopipedum of Balk genaamd – heeft net als de kubus 6 vlakken en 12 ribben. De vlakken bij een recht parallellepipedum zijn rechthoeken.
De berekening van het oppervlak en de inhoud van dit lichaam is – net als bij de kubus - vrij eenvoudig, zoals blijkt uit de formules in het gele vlak.

Prisma

Een recht Prisma is een lichaam, dat begrensd wordt door enige vlakken die elkaar volgens evenwijdige lijnen snijden. Verder wordt dit lichaam begrensd door twee evenwijdige vlakken waarin de verbindende ribben en zijvlakken loodrecht op de grondvlakken staan. Hierdoor zijn de verbindende zijvlakken rechthoekig.

Rekenvoorbeeld

Van een recht prisma – als gegeven in de figuur - met een grondvlak in de vorm van een regelmatige vijfhoek met zijden a = 15 cm en een hoogte h = 20 cm, worden het oppervlak A en de inhoud V in het gele kader berekend.

• In Meetkunde ( Veelhoeken ), wordt voor de regelmatige vijfhoek het oppervlak A = 1,721• a² aangehouden.

Scheef prisma

Als de verbindende ribben en zijvlakken niet loodrecht op het grondvlak staan, dan spreken we van een Scheef Prisma. De berekening van het oppervlak A en de inhoud V is gelijk aan die van een recht prisma.

• Het berekenen van het oppervlak en de inhoud van een scheef prisma zijn al betrekkelijk ingewikkeld, maar zijn toch goed uit te voeren.

Als het bovenvlak van een prisma niet evenwijdig loopt met het grondvlak, dan spreekt men van een Afgeknot Prisma. De berekening van het oppervlak A en de inhoud V is iets gecompliceerder dan van een recht prisma of een scheef prisma.
In de afbeelding is een afgeknot driezijdig prisma weergegeven, en in het gele vlak zijn de bijbehorende formules weergegeven.

Cilinder

Een Cilinder¹⁾ bestaat uit een gebogen oppervlak of cilindermantel, een grondvlak en een bovenvlak. Het bovenvlak is gelijk aan het grondvlak.
Bij de berekening van het oppervlak A en de inhoud V, komt het getal π aan de orde.

Rekenvoorbeeld

Gegeven een cilinder, als afgebeeld in de figuur. De straal R van de cilinder = 7 cm en de hoogte h bedraagt 18 cm. Het oppervlak A en de inhoud V volgen uit:

Holle cilinder

Een Holle Cilinder – ook wel buis genaamd - bestaat uit een cilinder met een straal R waaruit - als het ware - een cilinder met een straal r is wegenomen. Bij het berekenen van het oppervlak A en de inhoud V zullen om die reden de formules die bij de cilinder horen, moeten worden uitgebreid.
Het grondvlak van de ‘weggenomen’ cilinder wordt met A_w aangeduid. Het manteloppervlak A_mw van de weggenomen cilinder is hetzelfde als het manteloppervlak van het achtergebleven cilindrische gedeelte.
Voor de inhoud V geldt, dat van de basiscilinder met straal R en een inhoud V_b een cilinder wordt weggenomen met een straal r en een inhoud V_w.

Rekenvoorbeeld

Een holle cilinder heeft een hoogte h = 10 cm en een straal R van 8 cm. De straal r van de binnencirkel = 4 cm.
Het oppervlak A en de inhoud V zijn met deze gegevens vast te stellen.

Kegel

Een Kegel²⁾ is een ruimtelijke figuur, en bestaat uit een plat vlak en een gekromd vlak. Het platte vlak is de bodem in de vorm van een cirkel. Het gekromde vlak is de mantel van de kegel.

Afgeknotte kegel

Wordt van een kegel een gedeelte afgesneden - waarbij het snijvlak evenwijdig met het grondvlak loopt - dan vormt het overgebleven lichaam een Afgeknotte Kegel. Het oppervlak A kan worden berekend, door het manteloppervlak van het afgesneden gedeelte van het totale oppervlak af te trekken, en er het oppervlak van het snijvlak aan toe te voegen. Het volume V wordt berekend, door van de oorspronkelijke kegel het volume V_a van de afgesneden kegel af te trekken.
Het oppervlak A kan ook rechtstreeks worden berekend, door grondvlak A_g + bovenvlak A_b + het manteloppervlak A_m te berekenen. De formules voor het oppervlak A en de inhoud V - via deze rechtstreekse benadering - zijn in het gele kader opgenomen.

Rekenvoorbeeld

Gegeven een afgeknotte kegel volgens de gegeven afbeelding. Het bovenvlak A_b heeft een straal r = 12 cm, het grondvlak A_g heeft een straal R = 20 cm. De hoogte h bedraagt 15 cm. Het oppervlak A en de inhoud V van de afgeknotte kegel worden in het gele kader berekend.

Piramide

Een Piramide is een ruimtelijk figuur, bestaande uit een grondvlak en een top. Het grondvlak van een piramide kan willekeurig zijn, of gevormd worden door een regelmatige veelhoek. Het oppervlak van een piramide wordt gevormd door het grondvlak A_g + het zijdelings oppervlak A_z

Rekenvoorbeeld

Gegeven een regelmatige vierzijdige piramide, als afgebeeld in de figuur. Het grondvlak van de piramide is een vierkant, waarvan zijde b = a = 20 cm, h = 24 cm. De zijden van de piramiden zijn dus gelijkbenige driehoeken.
De 4 zijden bezitten een oppervlak A_g dat in het gele kader is berekend. Ook de inhoud V wordt berekend.

Afgeknotte piramide

Net als bij een kegel kan van een piramide een gedeelte worden afgesneden. Als hierbij het snijvlak evenwijdig met het grondvlak loopt - dan vormt het overgebleven lichaam een Afgeknotte Piramide.
Het oppervlak A kan worden berekend, door het manteloppervlak van het afgesneden gedeelte van het totale oppervlak af te trekken, en er het oppervlak van het snijvlak aan toe te voegen. Het volume V wordt berekend, door van de oorspronkelijke piramide het volume van de afgesneden piramide af te trekken.
Het oppervlak A kan ook rechtstreeks worden berekend, door grondvlak A_g + bovenvlak A_b + het manteloppervlak A_m te berekenen.
De formules voor het oppervlak A via de eerste werkwijze en de inhoud V zijn in het gele kader opgenomen.

Rekenvoorbeeld

Gegeven een afgeknotte vierzijdige piramide, als afgebeeld in de figuur. Het grondvlak van de afgeknotte piramide is een vierkant, waarvan zijde b = a = 30 cm, het bovenvlak heeft zijden d van 22 cm. De hoogte h = 10 cm. De 4 zijden bezitten een oppervlak A dat in het gele kader wordt berekend. Ook de inhoud V wordt berekend.

Bol

Een Bol is een driedimensionaal lichaam waarvan alle punten die het oppervlak vormen, zich op gelijke afstand van het middelpunt bevinden.
Deze gelijke afstand wordt aangegeven als de straal R.

Rekenvoorbeeld

De straal R van een bol = 15 cm.
Het oppervlak A en de inhoud V van de bol volgen uit:

Steradialen

In de verlichtingstechniek wordt - uitgaande van een bolvormige verspreiding van het licht - veelal met radialen gewerkt. In dit geval - waar het een ruimtelijk object betreft - geldt als SI-eenheid van ruimtehoek (ω) de Steradiaal met het symbool sr. Op het oppervlak van een bol - met een straal R kan een willekeurig vlak - bijvoorbeeld een vierkant - met zijden R worden geprojecteerd. Als vanuit het middelpunt van de bol de straal R van de bol de omtrek van het vierkante vlak uitsnijdt, dan beschrijft deze straal een piramide, die een ruimtehoek ω van een steradiaal omvat.
Aangezien het oppervlak van een bol = 4πR², is de totale ruimtehoek ω van een bol dus 4π steradialen.

Rekenvoorbeeld

• De ruimtehoek ω van een halve bol berekenen
• De ruimtehoek ω van de hoekpunten in een kubus berekenen

In het gele vlak is de berekening hiervan uitgevoerd.

Nawoord

Met het onderdeel Lichamen wordt de Wiskunde hier voorlopig afgesloten. Dat wil niet zeggen, dat er verder geen onderwerpen zijn die in de wiskunde thuishoren. Lichamen bijvoorbeeld kunnen nog verder worden aangevuld met Platonische en Archimedische lichamen.

Platonische lichamen

Platonische lichamen zijn lichamen die passen in een bol, en bevatten slechts één type veelhoek. De kubus en de piramide met een driehoekige basis zijn Platonische lichamen.
Een heel bekend Platonisch lichaam is bijvoorbeeld de Dodecaëder, die 12 (= Dodeca, Grieks) regelmatige vijfhoeken als vlakken bezit.
( Bij de graficus M.C.Escher is zo’n Dodecaëder op een prent van hem aanwezig. http://www.mcescher.nl/galerij/terug-in-nederland/reptielen/ )

Archimedische lichamen

Archimedische lichamen bestaan uit combinaties van regelmatige vlakken als driehoeken, vierkanten vijfhoeken, zeshoeken en achthoeken.
Een zeer bekend Archimedisch lichaam is de afgeknotte icosaëder, die uit 32 vlakken bestaat. De grondvorm – de icosaëder - bestaat uit 20 (= Eíkosi = Grieks) vlakken. Bij de afgeknotte icosaëder, zijn er 20 vlakken zeshoekig en zijn er 12 vijfhoekig. De vlakverdeling van een voetbal is geheel gebaseerd op de opbouw van een icosaëder.

Verdere onderwerpen

De wiskunde kent verder nog onderwerpen, als:

• Analytische meetkunde
• Vergelijkingen en reeksen
• Functies
• Complexe rekenwijze
• Differentiaal – en integraalrekening
• Fourieranalyse en transformaties
• Lineaire algebra en matrixrekening
• Vectoralgebra en – analyse
• Numerieke wiskunde

Statistiek

Er is nog een belangrijk onderwerp, dat alleen met wiskunde kan worden begrepen, namelijk de Statistiek.
Statistiek is de wetenschap, de methodiek en de techniek van het verzamelen, bewerken, interpreteren en presenteren van gegevens. Het vormt een belangrijk onderdeel van de wiskunde. In de statistiek gaat het dikwijls om de kans dat iets ooit, meermalen of juist nooit gebeurt. Dit wordt ook wel Kansrekening of Waarschijnlijkheidsrekening genoemd.
De statistiek omvat een groot wiskundig gebied, namelijk:

• Combinatieleer
• Waarschijnlijkheidrekening
• Stochastische variabelen en kansverdeling
• Steekproeven en schattingen
• Regressie en correlatie
• Waarnemingsrekening

Bronvermelding

Bronnen, noten en/of referenties:

• Meetkunde ( Driehoeken )
• Meetkunde ( Vierhoeken )
• Meetkunde ( Veelhoeken )
• Meetkunde ( De cirkel )
• ¹⁾Over het minimum oppervlak van een cilinder
• ²⁾Over het minimum oppervlak van een kegel