Getal (wiskunde)

Een getal is de aanduiding van een hoeveelheid. Oorspronkelijk was het begrip getal synoniem met aantal, dus voor de getallen een, twee, drie, enz., maar het heeft een ruimere betekenis gekregen, zodat ook gebroken, negatieve en zelfs complexe getallen als getal aangemerkt worden.

Getallen kunnen in woorden of met symbolen weergegeven worden. Tegenwoordig worden voor deze symbolen, behalve in speciale gevallen, uitsluitend cijfers gebruikt en aanvullende tekens, zoals de komma of decimale punt, een plus- of minteken e.d.

Een getal is verschillend van een cijfer: cijfers zijn symbolen die gebruikt worden om getallen weer te geven.

In de natuurkunde komen getallen meestal in combinatie met een eenheid voor. Er zijn echter ook natuurkundige grootheden die door dimensieloze getallen (zonder eenheid) worden voorgesteld. Beide stellen meetbare grootheden voor.

Getallen als begrip zijn taalonafhankelijk. Ook de symbolische voorstelling van getallen in de decimale schrijfwijze is op enige kleinigheden na in de meeste talen hetzelfde. In gesproken taal en geschreven als woord heeft men wel een taalafhankelijke voorstelling van getallen door middel van telwoorden. Een voorbeeld van regelmatige benaming vindt men bij: Telwoord in Esperanto.

Getallen worden ook gebruikt als codering. Zo worden voor belangrijke autoroutes door verschillende taalgebieden heen meestal genummerde benamingen gebruikt (letter A, E, N, R ... gevolgd door een getal).

Getalverzamelingen

Getalverzamelingen

Natuurlijke getallen Gehele getallen Rationale getallen Reële getallen Complexe getallen Quaternionen p-adische getallen Surreële getallen Transfiniete getallen

Irrationale getallen Algebraïsche getallen Transcendente getallen Imaginaire getallen

In de wiskunde worden de getallen doorgaans ingedeeld in verschillende verzamelingen. De eenvoudigste getallen zijn natuurlijke getallen {0, 1, 2 ...}, voorgesteld door de verzameling <math>\mathbb{N}</math>. De natuurlijke getallen zijn een deelverzameling van de gehele getallen <math>\mathbb{Z}</math> die, naast de positieve gehele of natuurlijke getallen, ook de negatieve gehele getallen bevat. Deze verzameling kan uitgebreid worden met de getallen die enkel als breuk te schrijven zijn: deze verzameling van rationale getallen wordt voorgesteld als <math>\mathbb{Q}</math>. De verzameling van rationale getallen die een eindige decimale voorstelling hebben, worden decimale fracties of decimale getallen genoemd, soms weergegeven met <math>\mathbb{D}</math>.

Er zijn getallen, zoals π, de wortel uit twee en het getal e, die niet in breukvorm te schrijven zijn; zij vormen de irrationale getallen. Rationale en irrationale getallen vormen samen de verzameling van reële getallen, voorgesteld door <math>\mathbb{R}</math>. Tenslotte kan deze verzameling nog uitgebreid worden tot de complexe getallen zodat alle algebraïsche vergelijkingen oplosbaar zijn. Deze laatste verzameling wordt voorgesteld door <math>\mathbb{C}</math>.

We krijgen de volgende ordening tussen de verschillende verzamelingen:

<math>\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{D}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}</math>

(⊂ betekent "is een ware deelverzameling van")

Nog andere getalverzamelingen zijn:

• quaternionen
• octonionen

Getallen voluit schrijven

Alle getallen beneden de duizend worden aan elkaar geschreven. Na het getal duizend volgt een spatie. Ook komt er een spatie voor en na miljoen, miljard, biljoen enzovoort. Echter bij getallen onder de 10.000 wordt het honderdtal gebruikt, het getal 1.282 wordt dus niet uitgesproken als duizend tweehonderdtweeëntachtig, maar als twaalfhonderdtweeëntachtig.

Voorbeelden:

• 22.500 = tweeëntwintigduizend vijfhonderd
• 5.143.317 = vijf miljoen honderddrieënveertigduizend driehonderdzeventien
• 100.000.000 = honderd miljoen

Deze schrijfwijzen zijn in beginsel taalafhankelijk: in andere talen kunnen andere regels gelden.

Talstelsels

Getallen kunnen worden weergegeven in verschillende talstelsels. Hierbij wordt het getal geschreven als een rijtje cijfers, waarbij elk cijfer afkomstig is uit het gekozen talstelsel. Gewoonlijk worden getallen decimaal geschreven, maar in de informatica wordt vooral voor natuurlijke getallen ook veel binair, octaal en hexadecimaal gewerkt.

De algemene formule voor het werken met n-tallige stelsels is:

<math> a_m ... a_2 a_1 a_0_{n-tallig} = \sum_{i=0}^{m} a_i n^i = </math> <math>a_m n^m + a_{m-1} n^{m-1} + ... + a_2 n^2 + a_1 n + a_0 </math>

Historie

Bestand:Maya.svg

Getalsysteem van de Maya's

De Romeinen gebruikten geen talstelsel, maar een geheel eigen wijze om getallen te schrijven waarin de positie van de tekens (bijna) niet belangrijk was. Zij gebruikten letters als cijfers: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. De letters worden in combinaties gebruikt, dus 234 = CCXXXIV. Om de getallen in te korten wordt in plaats van 4 maal I een I voor het volgende symbool gezet. Dus IV in plaats van IIII, XL i.p.v. XXXX en CM i.p.v. DCCCC. Romeinse cijfers worden nog steeds gebruikt op gebouwen om het bouwjaar aan te duiden en om uitgebreide tabellen te ondersteunen.

Doordat de volgorde bijna onbelangrijk is, was het voor de Romeinen mogelijk om een zin of vers te schrijven, en door alle letters die ook getallen representeren een jaartal te vormen. Zo'n vers wordt carnacioen genoemd.

De Romeinse cijfers zijn erg omslachtig om mee te rekenen. Sommen zoals die nu bij ons op school worden geleerd waren met Romeinse cijfers bijna onmogelijk. Bovendien misten de Romeinen het concept en symbool voor 0 (nul).

Toen de Arabieren hun cijfersysteem ontleenden aan de Indiërs, kopieerden Italiaanse handelshuizen dit snel. Ondanks aanvankelijk pauselijk verzet wonnen de nieuwe cijfers snel terrein. De Europese en Arabische cijfers verschillen aanzienlijk van vorm. Het gebruik van verschillende symbolen voor verschillende cijfers en het introduceren van de 0 maakte een positionele notatie mogelijk en vereenvoudigde het rekenen.

De Maya's ontwikkelden onafhankelijk van de Indiërs het concept van 0 en werkten met een 20-tallig stelsel. De Babyloniërs hanteerden een 60-tallig stelsel.

Gerelateerde onderwerpen

• dimensieloos getal
• getallen en getalverzamelingen
• grote getallen en de lijst van grote getallen
• korte en lange schaalverdeling
• natuurlijk getal en de lijst van natuurlijke getallen
• priemgetal

  Zie ook de categorie met mediabestanden in verband met Numbers op Wikimedia Commons.