Groepentheorie

Bestand:Rubik's cube.svg

Rubiks kubus, een voorbeeld van de toepassing van groepen in de praktijk.

Groepentheorie is in de wiskunde de studie van groepen, ook te omschrijven als de studie van symmetrieën. Groepen worden in de wiskunde veel gebruikt om de symmetrie van een wiskundig object mee te beschrijven. De in een groep besloten symmetrie wordt bepaald door de eigenschappen die onder de toegestane transformaties niet veranderen.

Algemeen

Groepentheorie is gelijk ontstaan met de theorie van het oplossen van vergelijkingen. Lagrange heeft als eerste geprobeerd deze twee theorieën te combineren. De theorie die hierover gaat, heet Galoistheorie, de gebruikte groepen heten de Galoisgroepen. Polynomen worden door hun Galoisgroep ingedeeld. De Galoistheorie is dus gefundeerd op de groepentheorie.

In de algebraïsche topologie worden groepen gebruikt om de vaste eigenschappen (invarianten) van topologische ruimten te beschrijven. De vaste eigenschappen van een topologische ruimte veranderen niet onder een continue vervorming van die ruimte. Voorbeelden van dergelijke invarianten zijn de fundamentaalgroep, de homologiegroepen en de cohomologiegroepen.

Lie-groepen, genoemd naar Sophus Lie, kunnen bij differentiaalvergelijkingen en variëteiten worden gebruikt. Deze tak van de wiskunde heet de harmonische analyse. De harmonische analyse combineert de analyse van functies en de groepentheorie, de groepen worden gebruikt om de symmetrie binnen analytische grootheden te beschrijven.

De stelling van Burnside is een gevolg van de groepentheorie. In de combinatoriek wordt deze stelling gebruikt om het tellen van bijvoorbeeld permutaties te vereenvoudigen.

Groepentheorie heeft vele toepassingen, vooral in de natuurkunde, de scheikunde en de materiaalkunde. In de scheikunde en de materiaalkunde worden ruimtegroepen gebruikt om de structuur van kristallen, en puntgroepen om er de symmetrie binnen moleculen of eenheidscellen in een kristalrooster te beschrijven. In de natuurkunde geven groepen de symmetrie aan waaraan de krachten tussen de verschillende elementaire deeltjes moeten voldoen. Vooral Lie-groepen zijn belangrijk, zij geven de mogelijke configuraties van krachten en deeltjes. Deze theorie resulteert in het standaardmodel.

Belangrijkste klassen van groepen

Zie Groep (wiskunde) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Het bereik van de binnen de groepentheorie bestudeerde groepen heeft zich geleidelijk uitgebreid van eindige permutatiegroepen en speciale voorbeelden van matrixgroepen tot abstracte groepen die kunnen worden gespecificeerd door middel van een presentatie door generatoren en relaties.

Permutatiegroepen

De eerste klasse van groepen die systematisch zijn bestudeerd, is de klasse van de permutatiegroepen. Een collectie <math>G</math> van permutaties van een verzameling <math>X</math>, dat wil zeggen bijecties op <math>X</math> , die gesloten is onder de operaties functie-compositie en inverse, is een groep die inwerkt op <math>X</math>. Als <math>X</math> uit <math>n</math> elementen bestaat en <math>G</math> uit alle permutaties <math>X</math>, dan is <math>G</math> de symmetrische groep <math>G</math>; in het algemeen is <math>S_n</math> een deelgroep van de symmetrische groep van <math>X</math>. Een vroege constructie door Arthur Cayley toonde elke groep als een permutatiegroep die op zichzelf inwerkt (<math>X=G</math>) door middel van de linker regelmatige representatie.

In veel gevallen kan de structuur van een permutatiegroep worden bestudeerd door gebruik te maken van de eigenschappen van haar inwerking op de corresponderende verzameling. Op deze manier kan men bijvoorbeeld bewijzen dat voor <math>n \ge 5</math>, de alternerende groep <math>A_n</math> enkelvoudig is, wat wil zeggen dat deze groep geen enkele strikt normale deelgroep meer bevat. Dit feit speelt een belangrijke rol in de onmogelijkheid om algemene algebraïsche vergelijking van graad <math>n \ge 5</math> of hoger op te lossen in radicalen.

Matrixgroepen

Andere belangrijke klassen van groepen zijn de matrixgroepen of lineaire groepen. Hier is <math>G</math> een verzameling die bestaat uit inverteerbare matrices van een gegeven orde <math>n</math> over een veld <math>K</math>, en die gesloten is onder matrixvermenigvuldiging. Een dergelijke groep werkt door middel van lineaire transformaties op de <math>n</math>-dimensionale vectorruimte <math>K^n</math>. Hiermee zijn matrixgroepen conceptueel vergelijkbaar met permutatiegroepen, en de meetkunde van de transformaties kan nuttig worden uitgebuit om de eigenschappen van de groep <math>G</math> vast te stellen.

Transformatiegroepen

Permutatie- en matrixgroepen zijn speciale gevallen van transformatiegroepen: groepen die inwerken op een zekere ruimte <math>X</math> en daarbij de structuur van die ruimte bewaart. In het geval van permutatiegroepen is er strikt genomen niet sprake van een ruimte, maar is <math>X</math> slechts een verzameling zonder verdere structuur. Voor matrixgroepen is <math>X</math> een vectorruimte.

De theorie van de transformatiegroepen vormt een brug tussen de groepentheorie en de differentiaalmeetkunde. Een lange lijn van onderzoek, beginnend met het werk van Sophus Lie en Felix Klein, bestudeert groepsbewerkingen op variëteiten door middel van homeomorfismen of diffeomorfismen. De groepen zelf kunnen zowel discreet als continu zijn.

Abstracte groepen

De meeste groepen die men in de eerste fase van de ontwikkeling van de groepentheorie bestudeerde, waren "concreet", wat wil zeggen dat zij gerealiseerd werden met behulp van getallen, permutaties of matrices. Het was pas in de late negentiende eeuw, dat het idee van een abstracte groep als een verzameling uitgerust met een operatie die moet voldoen aan een bepaald systeem van axioma's, ingang vond. Een typische manier om een abstracte groep te specificeren is door middel van een presentatie door generatoren en relaties,

<math> G = \langle S|R\rangle. </math>

Een belangrijke bron van abstracte groepen is de constructie van een factorgroep, of quotiëntgroep, <math>G/H</math>, van een groep <math>G</math> en een normaaldeler <math>H</math>. Klassegroepen van algebraïsche getallenlichamen behoorden tot de vroegste voorbeelden van factorgroepen. Zij waren van veel belang in de getaltheorie. Als <math>G</math> een permutatiegroep op een verzameling <math>X</math> is, werkt de factorgroep <math>G/H</math> niet langer op <math>X</math>, maar het idee van een abstracte groep laat toe dat daar geen problemen door ontstaan.

De verandering van perspectief van concrete naar abstracte groepen leidde ertoe eigenschappen van groepen te beschouwen die onafhankelijk zijn van een specifieke realisatie, of in moderne terminologie, invariant zijn onder isomorfismen, alsmede de bestudering van klassen van de groepen met een bepaalde eigenschap: zoals eindige groepen, periodieke groepen, enkelvoudige groepen, oplosbare groepen. In plaats van de eigenschappen van individuele groepen te bestuderen, wilde men resultaten vaststellen die van toepassing zijn voor een hele klasse van groepen. Dit nieuwe paradigma was van groot belang voor de verdere ontwikkeling van de wiskunde: het was de voorbode van het ontstaan van de abstracte algebra in de werken van David Hilbert, Emil Artin, Emmy Noether en andere wiskundigen van hun school.

Topologische en algebraïsche groepen

Een belangrijke verbreding van het groepsbegrip ontstaat wanneer <math>G</math> wordt voorzien van een additionele structuur, met name van een topologische ruimte, een differentieerbare variëteit, of een algebraïsche variëteit. Als de groepsoperaties <math>m</math> (vermenigvuldiging) en <math>i</math> (inversie),

<math> m: G\times G\to G, (g,h)\mapsto gh, \quad i:G\to G, g\mapsto g^{-1}, </math>

compatibel zijn met deze structuur, wat wil zeggen dat ze continue-, gladde- of reguliere (in de zin van de algebraïsche meetkunde) afbeeldingen zijn, wordt de groep een topologische groep, een Lie-groep, of een algebraïsche groep.

De aanwezigheid van een extra structuur relateert deze vormen van groepen aan andere wiskundige disciplines, waardoor het wiskundig gereedschap van deze disciplines beschikbaar komt. Topologische groepen vormen een natuurlijk domein voor de abstracte harmonische analyse, terwijl Lie-groepen (die vaak als transformatiegroepen worden gerealiseerd) de pijlers zijn van de differentiaalmeetkunde en unitaire representatietheorie. Bepaalde classificatievragen, die niet algemeen kunnen worden opgelost, kunnen benaderd worden en opgelost voor speciale deelklassen van groepen. Op deze wijze zijn compacte verbonden Lie-groepen volledig geclassificeerd. Er bestaat verder een vruchtbare relatie tussen oneindig abstracte groepen en topologische groepen: wanneer een groep <math>\Gamma</math> kan worden gerealiseerd als een rooster in een topologische groep <math>G</math>, levert de meetkunde en analyse met betrekking tot <math>G</math> belangrijke resultaten over <math>\Gamma</math>. Een relatief recente ontwikkeling in de theorie van eindige groepen maakt gebruik van hun relaties met compacte topologische groepen (profiniete groepen): een <math>p</math>-adische analytische groep <math>G</math> heeft bijvoorbeeld een familie van quotiëntgroepen die eindige <math>p</math>-groepen van de verschillende ordes zijn, en de eigenschappen van <math>G</math> vertalen naar de eigenschappen van deze eindige quotiënten.

Geschiedenis

Zie Geschiedenis van de groepentheorie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Euler, Lagrange, Legendre, Gauss, Abel en Galois leefden na elkaar in de achttiende en de negentiende eeuw. De onderwerpen van hun studie waren het oplossen van vergelijkingen, de getallentheorie en de meetkunde. Deze vakgebieden liggen ten de grondslag aan de groepentheorie, en deze wiskundigen waren daarmee de grondleggers van de groepentheorie. Galois legde het verband tussen groepen en lichamen. Deze theorie heet nu de Galoistheorie. De lichamen in deze theorie zijn de lichamen die de wortels van de te ontbinden polynoom bevatten.

Ruffini volgde dezelfde weg, hij onderzocht ook het verband tussen de oplossingen van vergelijkingen en groepen, maar hij breidde de groepentheorie daarbij uit.

Arthur Cayley en Augustin Louis Cauchy onderkenden als een van de eersten het belang van groepen. Van de hand van Cauchy zijn enkele belangrijke stellingen, onder andere over het aantal elementen in een groep.

Joseph Alfred Serret gaf de theorie bredere bekendheid, hoofdstuk IV van zijn werk over de algebra gaat erover. Camille Jordans Traité des Substitutions was een bekend boek over de groepentheorie. Het werk van Eugen Netto (1882), werd in (1892) door Cole in het Engels vertaald.

Andere bekende namen uit de negentiende eeuw zijn Joseph Bertrand, William Burnside, Charles Hermite, Ferdinand Georg Frobenius, Leopold Kronecker en Emile Mathieu. Zo is naar Mathieu een familie van groepen genoemd.

Vanaf 1884 werd het onderzoek naar groepen systematisch uitgevoerd.

Sophus Lie begon met het onderzoek naar de groepen die nu naar hem genoemd zijn: de Lie-groepen. Dat zijn geometrisch continue groepen. Anderen waren Wilhelm Killing, Eduard Study, Issai Schur, Ludwig Maurer en Élie Cartan. Eindige groepen werden bestudeerd door Felix Klein, ook weer door Lie, Henri Poincaré en Charles Émile Picard.

In het midden van de 20e eeuw is geprobeerd alle enkelvoudige groepen te bepalen. Dat is zeer veel werk geweest, maar het idee is, dat alle enkelvoudige groepen bekend zijn. Ook met behulp van computers worden er geen nieuwe enkelvoudige groepen meer bij gevonden.

Ook Emil Artin, Emmy Noether en de Noorse wiskundige Sylow zijn in de wiskunde nog met groepen bezig geweest. Sylow bewees enkele belangrijke stellingen, die naar hem vernoemd zijn.

Verband tussen groepen en symmetrie

Zie Symmetriegroep voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een symmetrie van een al dan niet gestructureerd object <math>X</math> van welke aard ook, is een afbeelding van het object op zichzelf die de structuur behoudt.

• Voor een verzameling zonder extra structuur is een symmetrie een bijectieve afbeelding van die verzameling op zichzelf. Symmetrieën geven aanleiding tot permutatiegroepen.
• Als het object een verzameling van punten in het platte vlak is met bijbehorende metrische structuur of enige andere metrische ruimte, is een symmetrie een isometrie, dat wil zeggen een bijectie van het object op zichzelf die de afstand tussen elk paar punten behoudt. De corresponderende groep wordt de isometriegroep van het object genoemd.
• Als er sprake is van hoekgetrouwe afbeeldingen, dus afbeeldingen die de hoeken behouden, geven die aanleiding tot Kleiniaanse groepen.
• Symmetrieën beperken zich niet tot meetkundige objecten, maar bestaan ook voor algebraïsche objecten, zoals veeltermen. Bij elke veelterm in één variabele behoort de groep van permutaties van de wortels, de zgn. Galoisgroep.

De axioma's van een groep formaliseren de essentiële aspecten van symmetrieën. Twee symmetrieën van een object na elkaar toepast, vormen weer een symmetrie. De identiteit is uiteraard een symmetrie. Elke symmetrie kan ongedaan gemaakt worden door de inverse symmetrie. Omdat symmetrieën functies op een ruimte zijn en samenstelling van functies associatief is, is ook de associativiteit gegarandeerd.

De stelling van Frucht zegt dat elke eindige groep de symmetriegroep is van een ongerichte graaf.

Dat symmetrieën de structuur van een object behouden, kan gepreciseerd worden door een indeling in categorieën. Afbeeldingen die de structuur van de categorie bewaren zijn dan de morfismen. De symmetriegroep is de automorfismegroep van het object in kwestie.

Toepassingen van groepentheorie

Toepassingen van de groepentheorie zijn er in overvloed. Bijna alle structuren in de abstracte algebra zijn speciale gevallen van groepen. Ringen kunnen bijvoorbeeld worden beschouwd als abelse groepen met betrekking tot de optelling, met daarbij een tweede operatie die correspondeert met de vermenigvuldiging. Daarom liggen groepentheoretische argumenten ten grondslag aan grote delen van de theorie over ringen.

Galoistheorie maakt gebruik van groepen om de symmetrieën van de wortels van een polynoom (of meer precies de automorfismen van de algebra's die worden gegenereerd door deze wortels) te beschrijven. De fundamentele stelling van de Galois-theorie legt een verbinding tussen algebraïsche velduitbreidingen en de groepentheorie. Deze fundamentele stelling geeft een effectief criterium voor de oplosbaarheid van veeltermvergelijkingen in termen van de oplosbaarheid van de corresponderende Galoisgroep. De symmetriegroep van de orde 5, <math>S_5</math>, die dus bestaat uit alle permutaties van 5 elementen, is bijvoorbeeld niet oplosbaar, wat impliceert dat de algemene vijfdegraadsvergelijking niet kan worden opgelost in radicalen, zoals dit voor vergelijkingen van lagere graad wel kan. De theorie, die historische gezien ten grondslag ligt aan de groepentheorie, wordt nog steeds vruchtbaar toegepast om nieuwe resultaten te geven in gebieden zoals de klassenveldtheorie.

Ook de algebraïsche topologie maakt gebruik van groepentheorie om bepaalde invariante eigenschappen van topologische ruimten te beschrijven. Deze zogeheten "invarianten" veranderen niet als de ruimte wordt onderworpen aan een bepaalde vervorming. De fundamentaalgroep bijvoorbeeld "telt" hoeveel paden essentieel verschillen. Het vermoeden van Poincaré, dat in 2002/2003 door Perelman werd bewezen is hier een toepassing van. De onderlinge beïnvloeding is geen eenrichtingsverkeer. Zo maakt de algebraïsche topologie bijvoorbeeld gebruik van Eilenberg-MacLane-ruimten, ruimten met voorgeschreven homotopiegroepen. Op soortgelijke wijze hangt ook de algebraïsche K-theorie op essentiële wijze af van classificerende ruimten van groepen. Ten slotte laat de term torsiedeelgroep van een oneindige groep de erfenis en invloed van de topologie op de groepenheorie zien.

Bestand:Torus.png

Een torus. De abelse groep van de torus wordt geïnduceerd vanuit de afbeelding <math>\Complex \to \Complex/\Z + \tau\Z</math>, waar <math>\tau</math> een parameter is.

Bestand:Caesar3.svg

De additieve groep <math>\Z/26</math> ligt ten grondslag aan de sleutel van Caesar.

In de algebraïsche meetkunde en de cryptografie maakt men eveneens op vele manieren gebruik van de groepentheorie. Over Abelse variëteiten is hierboven al gesproken. De aanwezigheid van de groepsoperaties resulteert in aanvullende informatie die deze variëteiten in het bijzonder toegankelijk maakt. Zij dienen vaak ook als een test voor nieuwe vermoedens.Het eendimensionale geval, te weten de elliptische krommen, zijn tot in detail bestudeerd en zijn zowel theoretisch als praktisch intrigerend.

Zeer grote groepen van priemorde die geconstrueerd worden in de zogeheten "elliptic curve cryptography (ECC)" dienen als publieke sleutel cryptografie. Cryptografische methoden van deze soort profiteren van de flexibiliteit van de meetkundige objecten, dat wil zeggen van hun groepsstructuren, die, samen met de complexiteit daarvan , het zeer moeilijk maakt een discrete logaritme te berekenen. Een van de vroegste encryptieprotocollen, de sleutel van Caesar kan ook worden geïnterpreteerd als een (zeer eenvoudig) groepsoperatie. In een heel andere richting zijn torische variëteiten algebraïsche variëteiten die op een torus inwerken. Toroïdale inbeddingen hebben recent geleid tot vooruitgang in de algebraïsche meetkunde, in het bijzonder de resolutie van singulariteiten

• De algebraïsche getaltheorie is een speciaal geval van de groepentheorie. Hierdoor voldoet de algebraïsche getaltheorie aan de regels van de groepentheorie. De productformule van Euler,

<math>

\begin{align} \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}& = \prod_{p \text{ priem}} \frac{1}{1-p^{-s}} \\ \end{align} </math>

bijvoorbeeld beschrijft het feit dat een geheel getal op een unieke manier in priemgetallen ontbonden kan worden. Het falen van deze regel voor meer algemene ringen geeft aanleiding tot de klassegroepen en regelmatige priemgetallen, die voorkomen in Kummers behandeling van de laatste stelling van Fermat.

• Het concept van de Lie-groep (genoemd naar de wiskundige Sophus Lie) is belangrijk in de studie van differentiaalvergelijkingen en variëteiten; Lie-groepen beschrijven de symmetrieën van continue meetkundige en analytische structuren. Analyse van deze en andere groepen wordt harmonische analyse genoemd. Haar-maten zijn integralen die invariant zijn onder translatie in een Lie-groep, en worden gebruikt voor patroonherkenning en andere beeldbewerkings technieken.
• In de combinatoriek worden de begrippen permutatie-groepen en groepsbewerking veel gebruikt om het tellen van een verzameling van objecten te vereenvoudigen; zie in dit verband in het bijzonder het lemma van Burnside.

Bestand:Fifths.png

De kwintencirkel kan worden uitgerust met een cyclische groepsstructuur

• Een goed begrip van de groepentheorie is ook belangrijk in de natuurkunde, de scheikunde en de materiaalkunde. In de natuurkunde beschrijven groepen de symmetrieën waaraan de natuurwetten lijken te gehoorzamen. Natuurkundigen zijn zeer geïnteresseerd in groepsrepresentaties. Met name in Lie-groepen, aangezien deze representaties vaak de weg wijzen naar de "mogelijke" natuurkundige theorieën. Voorbeelden van het gebruik van groepen in de natuurkunde zijn: het Standaardmodel, de ijktheorie, de Lorentz-groep en de Poincaré-groep
• In de scheikunde worden groepen gebruikt om kristalstructuren, regelmatige veelvlakken en de symmetrieën van moleculen te classificeren. De toegewezen puntgroepen kunnen vervolgens worden gebruikt om natuurkundige eigenschappen (zoals polariteit en chiraliteit) en spectroscopische eigenschappen (in het bijzonder nuttig in de Raman-spectroscopie en infraroodspectroscopie) te bepalen en om moleculaire orbitalen te construeren.

Belangrijke stellingen

• de stelling van Burnside: Het aantal banen in een groep is gelijk aan het gemiddelde aantal dekpunten van alle permutaties in een groep.
• de stelling van Cayley: Iedere groep, die in een rij n plaatsen permuteert, is isomorf met een permutatiegroep.
• de stelling van Jordan en Hölder: twee compositierijen van een groep zijn equivalent.
• de stelling van Lagrange: Het aantal elementen in een deelgroep H van de groep G deelt het aantal elementen van G.
• de stellingen van Sylow: Indien r de hoogste macht van het priemgetal p is, zodat <math>p^r </math> het aantal elementen in de groep G deelt, dan heeft G een deelgroep met <math>p^r </math> elementen.

Verder lezen

Er is geen uitgebreide Nederlandse literatuur over de groepentheorie. Het meeste is, net zoals over het onderwerp in Wikipedia, in het Engels. Voor een uitgebreide literatuurlijst zie daarom het Engelse Wikipedia artikel.

Bronnen, noten en/of referenties

Voetnoten

Wiskunde