Element (wiskunde)

In de verzamelingenleer is een element een onderdeel van een verzameling of, meer algemeen, van een klasse. Alle elementen samen vormen de verzameling (of klasse).

Elementen van een verzameling

Bij een verzameling <math>A= \{ 1, 2, 3, 4\}</math> noemt men de getallen <math>1, 2, 3</math> en <math>4</math> de elementen van verzameling <math>A</math>. Een groep van elementen uit <math>A</math>, bijvoorbeeld de verzameling <math>B= \{1, 2\}</math> noemt men een deelverzameling van <math>A</math>.

Een element van een verzameling kan zelf ook een verzameling zijn. Zo bestaat de verzameling <math>C= \{ 1, 2, \{3,4\}\}</math> uit drie elementen, namelijk de getallen <math>1</math> en <math>2</math> en de verzameling <math>\{3, 4\}</math>.

De elementen van een verzameling kunnen van alles zijn. De verzameling

<math>C=\{ \mbox{rood, groen, blauw} \}</math>,

is bijvoorbeeld de verzameling waarvan de elementen de woorden rood, groen en blauw zijn die de overeenkomstige kleuren aanduiden.

Notatie

De relatie "is een element van", ook wel "lidmaatschap van een verzameling" genoemd, wordt aangegeven met <math>\in</math>. De uitspraak "<math>x</math> is een element van de verzameling <math>A</math>" wordt genoteerd als:

<math>x \in A</math>

Er geldt bijvoorbeeld <math>3 \in \{ 1, 2, 3, 4 \}</math>.

Men kan ook zeggen of schrijven: "het element <math>x</math> is lid van de verzameling <math>A</math>". De uitspraak is equivalent met de uitspraak: "de verzameling <math>A</math> bevat het element <math>x</math>", die genoteerd wordt als:

<math>A \ni x</math>

De ontkenning van het lidmaatschap van een verzameling

<math>\neg (x \in A)</math>

wordt aangegeven door <math>\notin</math>:

<math>x \notin A</math>

Dit betekent dat <math>x</math> geen element van de verzameling <math>A</math> is. Er geldt bijvoorbeeld <math>7 \notin \{ 1, 2, 3, 4\}</math>.

Kardinaliteit

Zie kardinaliteit voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Het aantal elementen in een verzameling wordt de kardinaliteit genoemd. Informeel gezegd is dit de grootte van een verzameling. De kardinaliteit van de bovengenoemde verzamelingen <math>A</math> en <math>C</math> is bijvoorbeeld respectievelijk 4 en 3. Een oneindige verzameling bevat een oneindig aantal elementen. De gegeven voorbeelden zijn voorbeelden van eindige verzamelingen. Een voorbeeld van een oneindige verzameling is de verzameling van de natuurlijke getallen <math>\N = \{ 0, 1, 2, 3, \ldots \}</math>.

Voorbeelden

Enkele voorbeelden:

<math>5 \in \N</math> (5 is een element van de verzameling natuurlijk getallen)

<math>{3 \over 4} \in \Q</math> (3/4 is een element van de verzameling rationale getallen)

<math> \sqrt{2} \in \R</math> (de wortel van 2 behoort tot de verzameling reële getallen)

<math> \sqrt{2} \notin \Q</math> (de wortel van 2 behoort niet tot de verzameling rationale getallen)