Wikisage is op 1 na de grootste internet-encyclopedie in het Nederlands. Iedereen kan de hier verzamelde kennis gratis gebruiken, zonder storende advertenties. De Koninklijke Bibliotheek van Nederland heeft Wikisage in 2018 aangemerkt als digitaal erfgoed.
- Wilt u meehelpen om Wikisage te laten groeien? Maak dan een account aan. U bent van harte welkom. Zie: Portaal:Gebruikers.
- Bent u blij met Wikisage, of wilt u juist meer? Dan stellen we een bescheiden donatie om de kosten te bestrijden zeer op prijs. Zie: Portaal:Donaties.
Gebruiker:Franciscus/kladblok 2: verschil tussen versies
Geen bewerkingssamenvatting |
|||
| Regel 285: | Regel 285: | ||
===Rekenvoorbeeld=== | ===''Rekenvoorbeeld''=== | ||
Van een regelmatige vijfhoek met zijde '''a = 6''' cm, geldt voor het oppervlak '''''A''''', de omtrek '''O''', de hoek '''''β''''' en de straal '''''R''''' het volgende: | Van een regelmatige vijfhoek met zijde '''a = 6''' cm, geldt voor het oppervlak '''''A''''', de omtrek '''O''', de hoek '''''β''''' en de straal '''''R''''' het volgende: | ||
====Rekenvoorbeeld==== | ====''Rekenvoorbeeld''==== | ||
Van een regelmatige zeshoek is het oppervlak '''''A''''' = '''''64,95''''' cm<sup> 2</Sup>. De straal '''''R''''' van de omgeschreven cirkel volgt uit: | Van een regelmatige zeshoek is het oppervlak '''''A''''' = '''''64,95''''' cm<sup> 2</Sup>. De straal '''''R''''' van de omgeschreven cirkel volgt uit: | ||
Versie van 15 jun 2014 11:39
Meetkunde ( Inleiding )
De vlakke meetkunde of planimetrie, is het onderdeel van de geometrie dat zich bezighoudt met het omgaan en meten van lengtes, omtrekken en oppervlakken in het tweedimensionale vlak.
Het oppervlak en de omtrek van eenvoudige vlakken - zoals rechthoeken - is vrij eenvoudig te berekenen met de lengte en breedte. Bij de meer gecompliceerde vlakken - zoals vier- of vijfhoeken - moet de oppervlakte worden berekend door de figuur in driehoeken te verdelen.
Hulpvakken
In het eerste deel van het vak Rekenkunde ( 1 ) wordt een opsomming gegeven van de diverse bewerkingen die bij het rekenen horen.
Bij de wat ingewikkelder berekeningen - die soms lange becijferingen vereisen – wordt niet meer alleen met cijfers gewerkt maar ook met letters. Men noemt deze manier van berekenen : Algebra.
In Algebra ( Algemene regels ) wordt verder op deze manier van berekenen ingegaan.
Zowel de Rekenkunde als de Algebra zijn onmisbaar bij de bestudering van de Meetkunde.
Onderdelen van de Meetkunde
In het vak Meetkunde zullen de volgende onderdelen worden behandeld:
- Driehoeken (Δ):Scherphoekige Δ, rechthoekige Δ, stomphoekige Δ, gelijkbenige Δ en gelijkzijdige Δ
- Vierhoeken:Vierkant, rechthoek, ruit, parallelogram, trapezium en vierhoek
- Veelhoeken en regelmatige veelhoeken
- De cirkel, hoeken in de cirkel en de ellips
Bij al deze onderwerpen zal steeds – waar nodig – met voorbeelden worden gewerkt!
Bronvermelding
Bronnen, noten en/of referenties:
Meetkunde ( Driehoeken )
Driehoeken (Δ) zijn fundamentele figuren in de meetkunde. Zoals onder meer bij de veelhoeken zal blijken, zijn veel meetkundige figuren opgebouwd uit Δ Δ.
In het vak Goniometrie zijn al enkele eigenschappen van de Δ behandeld, onder meer, dat steeds de som van de hoeken van een Δ = 180 0 .
Soorten driehoeken
Er kunnen diverse driehoeken worden onderscheiden, namelijk:
- De scherphoekige Δ → Bij een scherphoekige Δ zijn alle zijden anders van lengte en zijn alle hoeken verschillend, maar < 90 0.
- De rechthoekige Δ → Bij een rechthoekige Δ is één hoek altijd 90 0 en zijn de andere hoeken< 90 0 en kunnen de zijden verschillend van lengte zijn.
- De stomphoekige Δ → Bij een stomphoekige Δ is één hoek altijd > 90sup 0 en zijn de andere hoeken < 90 0 en zal één zijde altijd groter zijn dan de andere zijden.
- De gelijkbenige Δ → Bij een gelijkbenige Δ – als bijzondere scherphoekige Δ – zijn twee zijden gelijk aan elkaar en zijn ook de aanliggende hoeken gelijk aan elkaar.
- De gelijkzijdige Δ → Bij een gelijkzijdige Δ – als bijzondere scherphoekige Δ – zijn alle zijden even groot en zijn alle hoeken = 90 0.
Omtrek en oppervlak van de Δ
Voor elke Δ geldt, dat:
Voor een gelijkzijdige Δ geldt:
Rekenvoorbeeld
In de gegeven Δ is zijde a = 6 cm , b = 5 cm en c = 7 cm. De hoogte h = 6,5 cm.
Gevraagd wordt de omtrek O en het oppervlak A van de Δ te berekenen.
Rekenvoorbeeld als variant op het deze berekening
Gevraagd wordt de omtrek O en het oppervlak A van de Δ, als de gegeven Δ een gelijkzijdige Δ is met zijden a = b = 6 = 6 cm.
Hoeken van de Δ
Rekenvoorbeeld
Zijden van de rechthoekige Δ
In Algebra ( Machtsverheffen en Worteltrekken ) wordt de stelling van Pythagoras behandeld. Deze luidt:
In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde.
De stelling kan met de rechthoekige driehoek en de bijbehorende rechthoekszijden
a, b en c in de vorm van een formule worden uitgedrukt, namelijk:
Rekenvoorbeeld
Bronvermelding
Bronnen, noten en/of referenties:
Meetkunde ( Vierhoeken )
Als algemene regel geldt, dat de som van de hoeken van een vierhoek = 360 0.
Er kunnen diverse vierhoeken worden onderscheiden, namelijk:
- Het vierkant → Bij een vierkant zijn alle zijden even groot en zijn alle hoeken 90 0.
- De rechthoek → Bij een rechthoek zijn de twee verticale zijden gelijk aan elkaar. Ook de twee horizontale zijden zijn gelijk aan elkaar. Alle hoeken zijn 90 0 .
- De ruit → Bij een ruit zijn alle zijden even groot en zijn twee hoeken altijd > 90sup> 0 en de andere twee hoeken zijn < 90 0 .
- Het parallelogram → Bij een parallelogram zijn de twee schuine zijden gelijk aan elkaar, even als de aanliggende hoeken. Ook de twee horizontale zijden zijn gelijk aan elkaar. Twee hoeken zijn altijd > 90 0 en de andere twee hoeken zijn < 90 0 .
- Het trapezium → Bij een trapezium kunnen de twee schuine zijden gelijk of ongelijk aan elkaar zijn. De twee horizontale zijden zijn altijd anders van lengte. De basishoeken zijn altijd < 90 0 en de andere twee hoeken zijn > 90 0.
- De vierhoek → Bij een vierhoek kunnen alle zijden ongelijk van lengte zijn en er kunnen maximaal twee hoeken > 90 0 zijn.
Omtrek, oppervlak en hoeken van vierhoeken
Vierkant
Rekenvoorbeeld
Als de omtrek O van een vierkant = 24 cm, hoe lang is dan een diagonaal in dat vierkant?
Rechthoek
Ruit
Rekenvoorbeeld
Van een ruit met zijde a = 5 cm, waarvan de scherpe hoeken = 60 0 zijn, wordt gevraagd het oppervlak A te berekenen.
Dit blijkt op drie manieren mogelijk te zijn:
Parallellogram
Trapezium
Vierhoek
Rekenvoorbeeld
Van de gegeven vierhoek zijn de zijden a en b = 6 cm. De diagonaal e is eveneens 6 cm. Als de zijden d en e = 4 cm zijn, dan is met deze gegevens de omtrek O en het oppervlak A te berekenen.
Bronvermelding
Bronnen, noten en/of referenties:
Meetkunde ( Veelhoeken )
Veelhoeken
Voor veelhoeken – ook wel n–hoeken genaamd – gelden algemene regels, namelijk:
Rekenvoorbeeld
Voor de regelmatige n-hoeken gelden aanvullende regels, namelijk:
De belangrijkste regelmatige n-hoeken zijn:
- De vijfhoek
- De zeshoek
- De achthoek
- De tienhoek
- De twaalfhoek
waarvan hier de vijfhoek en de zeshoek worden weergegeven.
Kenmerken van de regelmatige n-hoeken
De kenmerken van de regelmatige veelhoeken bij gegeven zijde a, zijn in de tabel ondergebracht. De kenmerken zijn afkomstig van berekeningen die met eenvoudige goniometrie zijn uit te voeren.
| Regelmatige
veelhoek n |
Straal R | Oppervlak A | Omtrek O | Hoek β |
|---|---|---|---|---|
| 5 | 0,851a | 1,721a 2 | 5a | 108 0 |
| 6 | 1,0a | 2,598a 2 | 6a | 120 0 |
| 8 | 1,307a | 4,828a 2 | 8a | 135 0 |
| 10 | 1,618a | 7,694a 2 | 10a | 144 0 |
| 12 | 1,932a | 11,196 2 | 12a | 150 0 |
Rekenvoorbeeld
Van een regelmatige vijfhoek met zijde a = 6 cm, geldt voor het oppervlak A, de omtrek O, de hoek β en de straal R het volgende:
Rekenvoorbeeld
Van een regelmatige zeshoek is het oppervlak A = 64,95 cm 2. De straal R van de omgeschreven cirkel volgt uit:
Bronvermelding
Bronnen, noten en/of referenties: