Wikisage, de vrije encyclopedie van de tweede generatie, is digitaal erfgoed

Wikisage is op 1 na de grootste internet-encyclopedie in het Nederlands. Iedereen kan de hier verzamelde kennis gratis gebruiken, zonder storende advertenties. De Koninklijke Bibliotheek van Nederland heeft Wikisage in 2018 aangemerkt als digitaal erfgoed.

  • Wilt u meehelpen om Wikisage te laten groeien? Maak dan een account aan. U bent van harte welkom. Zie: Portaal:Gebruikers.
  • Bent u blij met Wikisage, of wilt u juist meer? Dan stellen we een bescheiden donatie om de kosten te bestrijden zeer op prijs. Zie: Portaal:Donaties.

Goniometrie

Uit Wikisage
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

De goniometrie*) wordt toegepast om bij vraagstukken uit de diverse vakgebieden als de elektrotechniek, bij bouwwerken, in de wegenbouw, bij landmetingen of bij tunnelbouw de nodige wiskundige berekeningen te kunnen uitvoeren.
In de volgende verhandeling worden de belangrijkste goniometrische verhoudingen uiteengezet en worden rekenvoorbeelden gegeven.


*) Goniometrie = hoekmeting . Gonio is afgeleid van het Griekse woord Goonia, wat hoek betekent.

Driehoek ABC.jpg

Goniometrische verhoudingen

De afgebeelde rechthoekige driehoek ABC bevat een aantal goniometrische verhoudingen, die ongeacht de afmetingen van de zijden van de driehoek geldig zijn. Deze goniometrische verhoudingen dienen onder meer om de hoeken van de driehoek te bepalen, maar worden ook voor andere doeleinden gebruikt.
De eerste en meest bekende verhouding wordt aangeduid met de sinus van de hoek α meestal afgekort tot sin α.
De sinus van hoek α wordt als volgt omschreven:

  • sin α =  overliggende rechthoekszijde /schuine zijde =  BC /AB

. De tweede goniometrische verhouding, de cosinus α, afgekort tot cos α , wordt als volgt omschreven:

  • cos α =  aanliggende rechthoekszijde /schuine zijde =  AC /AB.

Er zijn nog twee goniometrische verhoudingen aan te wijzen,
namelijk tangens α ( tan α ) en cotangens α ( cotan α ). Deze twee verhoudingen worden als volgt omschreven:.

  • tan α =  overliggende rechthoekszijde /aanliggende rechthoekszijde =  BC /AC

en:

  • cotan α =  aanliggende rechthoekszijde /overliggende rechthoekszijde =  AC /BC.

Behalve de vier genoemde verhoudingen, zijn er nog twee goniometrsiche verhoudingen bekend, namelijk secans α ( sec α ) en cosecans α ( cosec α ) .
Aangezien deze twee verhoudingen zelden worden gebruikt, zullen ze in deze verhandeling verder niet worden behandeld

Rekenvoorbeelden ( 1 )

Rekenvoorbeeld 1
In de eerder afgebeelde driehoek ABC hebben de zijden de volgende afmetingen:
  • AB = 5 cm
  • AC = 4 cm
  • BC = 3 cm
Hieruit volgt :
  • sin α =  BC /AB = 0,6
  • cos α =  AC /AB = 0,8
  • tg α =  BC /AC = 0,75
  • cotg α =  AC /BC = 1,333
In dit voorbeeld werd nog met afmetingen gewerkt. In het andere voorbeeld zullen deze worden weggelaten, waardoor een meer algemener beeld ontstaat. Verder wordt ook de berekening van cotg α niet meer uitgevoerd.
Driehoek 30 graden.jpg
Rekenvoorbeeld 2
De driehoek ABC in bijgaande afbeelding – als helft van een gelijkzijdige driehoek - heeft de volgende hoeken :
  • hoek α = 30 0
  • hoek γ = 90 0
Aangezien in een driehoek de som van de hoeken 180 0bedraagt, volgt hieruit, dat hoek β = 60 0.
Gesteld werd, dat de driehoek de helft is van een gelijkzijdige driehoek, zodat zijde BC = ½ AB.
Afleidingen.JPG























Verdere afleidingen

Hoek Sinus Cosinus Tangens
00 0 1 0
300 ½ ½√3 ⅓√3
450 ½ √2 ½ √2 1
600 ½√3 ½ √3
900 1 0 ±

Tabel I. Goniometrische verhoudingen van enkele hoeken


Op dezelfde wijze als in Rekenvoorbeeld 2, kunnen op eenvoudige wijze de goniometrische verhoudingen worden afgeleid van
hoek α = 60 0, hoek α = 45 0, hoek α = 90 0 en 0 0. De resultaten hiervan zijn ondergebracht in Tabel I.
Het zal duidelijk zijn, dat men ooit van alle hoeken van 0 0 tot 90 0de goniometrische verhoudingen heeft berekend en dat daar tabellen van zijn gemaakt. Deze tabellen staan in alle handboeken over goniometrie vermeld, waarbij meestal ook de verhoudingen genoemd worden van de hoeken die met een hoek van 10 minuten opklimmen. Tussenliggende hoeken - bijvoorbeeld de sinus van een hoek α = 63 038'24" - kunnen hierdoor met behulp van interpolatie worden bepaald uit de gegeven waarden. In dit geval is de uitkomst 0,89597.
Het is namelijk zó, dat 1 0 kan worden onderverdeeld in minuten en seconden, en wel als volgt.

  • 1 0 = 60 minuten ( 60' )

en

  • 1' = 60 seconden ( 60" )

Op de meeste calculators kunnen goniometrische functies worden gevonden voor alle hoeken, behalve voor hoeken die naast graden ook nog in minuten of seconden zijn gegeven. Met een ' trucje ' - in feite een 'veredelde vorm van interpoleren - lukt dit echter wel, door van de minuten en seconden graden te maken. Dit gaat als volgt:

  • Gevraagd de sinus van hoek α = 32 018'44".

Dit levert op :

  • sin a = sin 32 0 + 18' +  44 /60/60 = sin 32,3122 0 = 0,5345
Driehoek met loodlijn.jpg

Een afleiding van geheel andere orde is een formule, die de betrekking tussen dezelfde hoek geeft, bijvoorbeeld hoek α.
In de afgebeelde driehoek ABC is:

  •  BC /AB = sin α

en dus ook:

  • BC = AB sin α

Verder is:

  •  AC /AB = cos α

en dus ook:

  • AC = AB cos α

Als nu een loodlijn CD op zijde AB wordt neergelaten, dan ontstaan de driehoeken ACD en BCD, die gelijkvormig zijn aan driehoek ABC.
Hieruit volgt dan:

  •  BD /BC = sin α

en dus ook:

  • BD = BC sin α

waaruit dan weer volgt:

  • BD = AB sin α · sin α = AB sin 2α

Verder is:

  •  AD /AC = cos α

en dus ook:

  • AD = AC cos α

waaruit dan weer volgt:

  • AD = AB cos α · cos α = AB cos 2α

Uit de afbeelding blijkt, dat:

  • BD + AD = AB

zodat dus:

  • AB sin 2α + AB cos 2α = AB

Als hierna alle termen van deze vergelijking worden gedeeld door AB, dan is dus:

  • sin 2α + cos 2α = 1

Dit is een belangrijke formule, die vaak wordt toegepast in allerlei berekeningen.
Als bijvoorbeeld sin α = 0,8, dan is dus cos α af te leiden uit:

  • cos 2α = 1 - sin 2α = 1 - 0,64 = 0,36.

Hieruit volgt dan:

  • cos α = √ 0,36 = 0,6
Sinus- en cosinuslijn.jpg

Sinus- en cosinuslijn

In bijgaande afbeeldingen komt nog beter tot uitdrukking, hoe alle getalwaarden van sinus α en cosinus α in een vloeiende gebogen lijn tot een sinus- of cosinuslijn kunnen worden omgezet.
Begonnen wordt in het 1e kwadrant bij een hoek α = 0 0, waarna de straal van de cirkel verder draait en onderweg de getekende hoek α = 60 0 ( sin α = ½√3 ) passeert. Merk op, dat bij hoek α = 90 0 de sinuslijn maximaal is ( = 1 ).
Verder valt op, dat in het 2e kwadrant - tussen hoek α = 90 0 en 180 0 - sinus α nog steeds positief is. Pas in het 3e en 4e kwadrant krijgt sinus α een - teken.
De cosinuslijn wordt op soortgelijke wijze opgebouwd als de sinuslijn.
Begonnen wordt in het 1e kwadrant bij een hoek α = 0 0 waarbij dus cos α = 1, waarna de straal van de cirkel verder draait. Merk op, dat bij hoek α = 90 0 de cosinuslijn minimaal is ( = 0 ).
Verder valt op, dat in het 2e en 3e kwadrant - tussen
hoek α = 90 0 en 270 0 - cosinus α negatief is. Pas in het 4e kwadrant, dus tussen hoek α = 270 0 en 360 0, krijgt cosinus α weer een + teken.
Om een en ander nog te verduidelijken en om te zien hoe de hoeken in de verschillende kwadranten worden berekend,
dient Tabel II.

Hoek Sinus Cosinus Kwadrant
900 - α cos α sin α 1
900 + α cos α - sin α 2
1800 - α sin α - cos α 2
1800 + α - sin α - cos α 3
2700 - α - cos α - sin α 3
2700 + α - cos α sin α 4
3600 - α - sin α cos α 4
3600 + α sin α cos α 1

Tabel II. Goniometrische verhoudingen voor hoeken van 90 0tot 360 0
in de vier kwadranten

Rekenvoorbeelden ( 2 )

Rekenvoorbeeld 3
De sinus van een hoek van 1200 wordt als volgt berekend:
  • Sinus 1200 = sin 900+ α = cos α = cos 300 = ½√3
Rekenvoorbeeld 4
De cosinus van een hoek van 1200 wordt als volgt berekend:
  • Cosinus 1200 = cos 900+ α = - sin α = - sin 300 = - ½
Stompe driehoek.jpg
Niet-rechthoekige driehoek.jpg

Niet-rechthoekige driehoeken

Alle tot nu toe gegeven beschouwingen en voorbeelden hadden betrekking op hoeken en de daarbij behorende goniometrische verhoudingen. Hierbij werd uitgegaan van rechthoekige driehoeken.
Het blijkt mogelijk te zijn met goniometrie ook allerlei berekeningen aan de driehoeken zelf uit te voeren.
Alle beschouwingen en afleidingen die bij dit rekenen voor rechthoekige driehoeken gelden, zijn - met enige aanpassing - ook van toepassing op niet-rechthoekige driehoeken. Voorbeelden van niet-rechthoekige driehoeken zijn de afgebeelde stompe driehoek ABC, waarvan één hoek > 900 is, en de scherpe driehoek waarvan alle hoeken < 900 zijn.
Om het rekenen aan driehoeken enigszins te onderscheiden van het rekenen aan hoeken - zoals dat in de goniometrie gebeurt - heeft men hiervoor de naam trigonometrie ingevoerd.
( Trigonometrie = driehoeksmeting )

Omvorming

Om in de trigonometrie al te lastige berekeningen te vermijden, laat men - zoals afgebeeld - bij niet-rechthoekige driehoeken vaak een loodlijn op een zijde neer, waardoor deze niet-rechthoekige driehoek wordt omgevormd tot twee rechthoekige driehoeken, waardoor het rekenen eenvoudiger wordt. Een voorbeeld hiervan, is de afleiding van de zogenaamde sinusregel, die hierna wordt behandeld.
Met deze regel is men in staat is allerlei wiskundige problemen op te lossen zoals ze zich aandienen bij bouwwerken, in de wegenbouw, bij landmetingen of bij tunnelbouw en andere discipines.

Sinusregel

In de laatst afgebeelde driehoek ABC zijn ook de rechthoekige driehoeken ABD en CBD te onderscheiden. Voor driehoek ABD geldt:

  • BD = c sin α

en voor driehoek CBD geldt:

  • BD = a sin γ

hieruit volgt dus:

  • c sin α = a sin γ

wat ook geschreven kan worden als:

  •  a /c =  sin α /sin γ

of als:

  •  a /sin α =  c /sin γ

Door ook een hoogtelijn op de zijde c neer te laten, wordt op dezelfde wijze als hiervoor gevonden:

  •  a /sin α =  b /sin β

zodat dus:

  •  a /sin α =  b /sin β =  c /sin γ

Deze regel heet de sinusregel.
In woorden luidt deze regel:

  • In een driehoek zijn de zijden evenredig met de sinussen van de overliggende hoeken.

De sinusregel is ook geldig voor stompe driehoeken. Met behulp van enkele hulplijnen kan namelijk op dezelfde manier worden aangetoond, dat ook hier geldt:

  •  a /sin α =  b /sin β =  c /sin γ

Met de afleiding van de formule van de sinusregel wordt nogmaals aangegeven, hoe de werkwijze van zo'n afleiding is. Op overeenkomstige wijze zijn nog andere goniometrische formules af te leiden.
Het zou te ver voeren dit hier uit te voeren. In alle handboeken over wiskunde worden deze formules - meestal zonder de bijbehorende afleiding - vermeld.

Niet-rechthoekige driehoek.jpg

Rekenvoorbeelden ( 3 )

Rekenvoorbeeld 5
  • Van de afgebeelde driehoek ABC is hoek α = 250, hoek β = 850en hoek γ = 700.
De lengte van zijde b = 5 cm.
Voor de lengte van zijde a geldt nu volgens de sinusregel:
  •  a / sin 25o =  5 /sin 85o
Hieruit volgt:
  • a =  5 · sin 25o /sin 85o
waaruit dan volgt:
  • a =  5 · 0,4226 /0,9962 = 2,121 cm
Voor de zijde c geldt:
  •  c /sin 70o =  5 /sin 85o
wat uitgewerkt oplevert:
  • c =  5 · 0,9397 /0,9962 = 4,716 cm

1px.pngWikimedia Commons  Zie ook de categorie met mediabestanden in verband met SVG Trigonometry op Wikimedia Commons. 1px.pngWikimedia Commons  Zie ook de categorie met mediabestanden in verband met Special functions op Wikimedia Commons.