Quadrivium

Quadrivium ( Latijn = viersprong, vier manieren ) was in de Middeleeuwen de tweede leergang van de universitaire opleiding, deel uitmakend van de zeven Artes Liberales, ( = de vrije kunsten ), die de muziek, wiskunde, geometrie en astronomie omvatte. Nadat de student het Trivium ( = drie manieren of wegen ) met goed gevolg had doorlopen, was hij baccalaureus en was hij in staat het vierjarig Quadrivium te gaan volgen.

Het trivium bestond uit de vakken:

• Grammatica
• Retorica
• Dialectiek

Het quadrivium bestond uit de vakken

• Rekenkunde
• Meetkunde
• Muziek
• Astronomie

Na de voltooiing van deze vakken was de afgestudeerde klaar voor een geestelijke of ambtelijke functie.

Deze in onze ogen wellicht wat vreemde combinatie lag destijds voor de hand: al in de oudheid herleidde men de schoonheid van de muziek en de kosmos tot eenvoudige wiskundige principes.

Opbouw

Het quadrivium is opgebouwd uit de vier zogeheten vrije kunsten van getal, meetkunde, muziek en kosmologie. Dit viertal werd bestudeerd vanaf de oudheid tot de renaissance, in een poging om door te dringen tot de aard van de werkelijkheid.

Het quadrivium is een synthese van getal, ruimte en tijd:

• meetkunde is getal in de ruimte
• muziek is getal in de tijd
• kosmos is de uitdrukking in ruimte en tijd

Getal, muziek en meetkunde weerspiegelen de metafysische waarheid: de eenheid van het goede, het ware en het schone. Het universele onderzoek naar deze thema’s vormde een voorafspiegeling van de natuurwetenschappen.

Boek

Het Quadrivium is in 2010 in boekvorm verschenen bij Wooden books Limited in het Verenigd Koninkrijk. De Nederlandstalige editie verscheen in 2014 bij Librero.
Dit is het eerste boek sinds vele eeuwen waarin het klassieke quadrivium weer wordt verenigd, waardoor de basiskennis beschikbaar wordt voor iedereen.
Dit meer dan 400 pagina’s tellende boek bundelt voor het eerst in honderden jaren deze verschillende disciplines. De opzet van het boek is simpel: links staat een korte tekst, en rechts een kleine afbeelding in zwart-wit.
Het boek beperkt zich niet tot het Quadrivium van de Middeleeuwen, maar laat ook de ontwikkelingen zien die daarna zijn gekomen.

Indeling

De vier onderwerpen van het quadrivium zijn in het boek Quadrivium ingedeeld in zes onderdelen, namelijk:`

Boek I	...................	Heilige getallen
Boek II	..................	Gewijde meetkunde
Boek III	.................	Platonische en archimedische lichamen
Boek IV	.................	Harmonograaf
Boek V	...................	Muzikale elementen
Boek VI	.................	Toeval in het zonnestelsel

In deze onderdelen zijn enkele afgeleide begrippen opgenomen, die in de Middeleeuwen nog niet bekend waren. Ze vormen een uitbreiding van de basisbegrippen en verdiepen het inzicht.

Boek I - Heilige getallen

De ondertitel van Heilige getallen luidt:

• De geheime kwaliteiten van kwantiteiten

In het onderdeel Heilige getallen worden de getallen doorgenomen met alle bijbehorende symboliek.
De studie van het getal is een van de oudste studies ter wereld. Alle wetenschap heeft magie als oorsprong. Elke magiër was op de hoogte van de macht van het getal.
Er wordt in het boek ook aandacht besteed aan vroege telsystemen afkomstig uit Babylon, Soemerië of Oud-Azië, waarin bijvoorbeeld een zestallig systeem gold met totaal andere getalpatronen dan ons tientallige stelsel.
Via het Magisch vierkant belanden we bij de Moderne getallen.
In de laatste 400 jaar is ons getalbegrip sterk getransformeerd. Het getal 0 bijvoorbeeld is door wiskundigen pas na lange aarzeling aanvaard als noodzakelijk. Zelfs theologen huiverden voor dit bijzondere getal. Het is eigenlijk ook geen getal maar slechts een teken voor de afwezigheid van een getal.
Een andere stukje 'magie' was de introductie van de negatieve getallen. Negatieve getallen bleken nuttig te zijn maar creëerden ook een raadsel:

• Het kwadraat van een negatief getal is altijd positief, maar wat is de wortel van een negatief getal?

Wiskundigen beseften, dat er nog een gehele getallenlijn bestond van de wortels van negatieve getallen: de zogeheten imaginaire getallen. Een getal waarvan het kwadraat negatief is, heet imaginair. De wortel uit en imaginair getal is een complex getal, namelijk de som van een reëel getal en een imaginair getal, dat gewoonlijk wordt
weergegeven als de complexe grootheid: a + bi, waarbij:

i = √ −1

i ² = −1

i ³ = −i

i ⁴ = 1

i ⁵ = i

i ⁶ = −1.......

Complexe getallen worden veelvuldig toegepast in de wiskunde, maar ook voor het oplossen van ingewikkelde vraagstukken in bijvoorbeeld de elektrotechniek, zoals het berekenen van kortsluitstromen.

Boek II - Gewijde meetkunde

Dit deel - Boek II van het Quadrivium - bevat de elementen van de tweedimensionale meetkunde.

Het verschil met de ’gewone’ meetkunde is voornamelijk, dat aan de bewegingen, concepten en producten symbolische waarde en betekenis worden toegedicht. Zo zouden de studie en de praktijk van de meetkunde de evolutie van de ziel mogelijk maken, net als goede muziek.

Als met een leeg vel papier wordt begonnen, dan is een punt, weergegeven als een rond stipje, het eerst mogelijke. De eerste dimensie, de lijn, ontstaat als het punt iets kiest buiten zichzelf →

Er zijn nu enkele manieren mogelijk om de lijn in het platte vlak te bewegen:

• Het ene deel eind van de lijn – de punt – blijft passief en het andere eind beschrijft een cirkel.
• De actieve punt kan naar een derde positie bewegen op gelijke afstand van de andere twee, waardoor een gelijkzijdige driehoek ontstaat.
• De lijn kan een andere lijn produceren, op een zodanige manier, dat er een vierkant ontstaat.

De basiselementen zijn nu geïntroduceerd.
Via de cirkel en veelvlakken wordt ingegaan op de diverse mogelijkheden, waarbij de gulden snede en de spiraal ook passeren. Ook kerkvensters, en bogen komen langs en de Keltische spiraal.

Boek III - Platonische en Archimedische lichamen

Er zijn vijf 'perfecte' vormen, die vanuit elk van hun hoekpunten dezelfde regelmatige vorm bezitten en waarvan elke ribbe identiek is. Deze veelvlakken of polyeders worden ook genoemd in Plato's Timaeus, waardoor ze vaak Platonische lichamen worden genoemd.

• Het Viervlak of Tetraëder bestaat uit vier gelijkzijdige driehoeken, waarvan er drie bij elk hoekpunt samenkomen
• De Kubus of Hexaëder is een regelmatig veelvlak, een zesvlak waarvan de zijvlakken vierkanten zijn
• Het Achtvlak of Octaëder bestaat uit acht gelijkzijdige driehoeken, waarvan er vier op elke hoek samenkomen
• Het Twaalfvlak of Dodecaëder heeft twaalf regelmatige, vijfhoekige vlaken, waarvan en drie op elke hoek samenkomen
• Het Twintigvlak of Icosaëder bestaat uit twintig gelijkzijdige driehoekige vlakken, heeft twaalf hoekpunten en dertig ribben

Door combinaties van Platonische lichamen ontstaan weer diverse andere samengestelde veelvlakken, als Keplerlichamen en Poinsotlichamen.
Een andere groep van lichamen zijn de Archimedische lichamen. Deze halfregelmatige veelvlakken bezitten regelmatige vlakken van meer dan één type en identieke hoekpunten. Deze groep van dertien lichamen worden toegeschreven aan Archimedes, hoewel de beschrijving ervan door Johannes Kepler werd gedaan in zijn Harmonices Mundi. Uitbreidingen en variaties zijn ook bij de Archimedische lichamen aan de orde, waardoor een veelvoud van lichamen ontstaat.
Samen met de Platonische en Archimedische lichamen en de Kepler-Poinsotlichamen vormen ze een verzameling van zo'n 75 veelvlakken. Daaronder vallen veelvlakken met buitengewoon ingewikkelde namen als:

• Romboëdrische kuboctaëder

of:

• Dodecadodecaëder

Boek IV - Harmonograaf

Een op het eerste gezicht wat vreemde eend in het bijt, is de Harmonograaf. In de tijd van het Quadrivium bestond deze nog niet, aangezien deze pas veel later werd uitgevonden.
Een harmonograaf is een mechanisch instrument om twee onafhankelijke maar op elkaar lijkende trillingen op de x-as en de y-as van een grafiek uit te zetten. De figuren die zo ontstaan, worden Lissajousfiguren genoemd. Het toestel werd in het midden van de 19^e eeuw gelijktijdig ontwikkeld door verscheidene personen waaronder Jules Antoine Lissajous zelf. Meestal wordt Hugh Blackburn, een wiskundedocent aan de Universiteit van Glasgow, gezien als de ontwikkelaar van het toestel.
De harmonograaf werd gebruikt tot in de 20e eeuw, maar werd al snel verdrongen door de oscilloscoop. Tegenwoordig worden harmonografen enkel nog gebruikt door de echte liefhebbers of om demonstraties te geven. Technische toepassingen heeft het apparaat niet. Wel heeft hrt de wiskunde en de muziektheorie een breder inzicht gegeven.

Lissajoufiguren

Zeer bekend zijn de zogenaamde Lissajousfiguren, die ontstaan als een spiegel achter de punt van een stemvork wordt geplaatst en er een lichtstraal op wordt gericht. Als de stemvork wordt aangeslagen, komt er een verticale lijn tevoorschijn en door zijwaartse reflectie ontstaat dan een sinusgolf. Dit principe is verder uitgewerkt tot een toestel waarmee allerlei variaties mogelijk werden gemaakt.
Een enkelvoudige of laterale harmonograaf maakt gebruik van twee slingers. Eén slinger beweegt een pen heen en weer ten opzichte van een as. De andere slinger beweegt het volledige tekenoppervlak ten opzichte van de loodrechte as. Door het variëren van de frequentie van de slingers ten opzichte van elkaar worden verschillende patronen gecreëerd. Op die manier ontstaan ellipsen, spiralen of complexere Lissajousfiguren op het tekenoppervlak.

Boek V - Muzikale elementen

Muziek wordt door de oren - en ook wel door het lichaam - waargenomen en beleefd door de geest. In muziek structureren en fantaseren we. We rangschikken de elementen - melodie, ritme en harmonie in betekenisvolle vormen en patronen.
Veel van de theorie in Boek V is gebaseerd op de Europese klassieke traditie. Er wordt in dit boek uitgegaan van de gelijkzwevende stemming, die al meer dan 300 jaar het gangbare stemsysteem vormt. Verder wordt uitgegaan van de stemtoon of diapason. Dit is in de muziek theorie de toon a′ uit het eengestreept octaaf, waarvan de toonhoogte in 1939 in Londen is vastgesteld op 440 hertz. De stemtoon wordt gebruikt voor het onderling op elkaar afstemmen van muziekinstrumenten en is van groot belang voor de bouwers van deze instrumenten en natuurlijk in de eerste plaats voor de musici die er op spelen.

Wetenschap	Muziektheorie	Naam	Frequentie (Hz)
A0	A″	subcontra	27,5
A1	A′	contra	55
A2	A	groot	110
A3	a	klein	220
A4	a′	eengestreept	440
A5	a″	tweegestreept	880
A6	a‴	driegestreept	1760
A7	a⁗	viergestreept	3520
A8	a‴″	vijfgestreept	7040

Een akoestische, piano heeft 88 toetsen, lopend van subcontra A″ = 27,5 Hz tot vijfgestreept C‴″ = 7040 Hz. Van de toetsen zijn er 52 wit en 36 zwart. Hiermee is ook gelijk het hele bereik van alle muziekinstrumenten weergegeven, lopend van de Contrafagot en andere Blaasinstrumenten en via Stemmen en Strijkers tot de Piccolo.

Via toonladders, intervallen en basisritmes, worden instrumentatie en melodische elementen gepasseerd, om uiteindelijk uit te komen bij het bedenken, creëren en componeren van muziek.

Boek VI - Toeval in het zonnestelsel

De kennis van de kosmos is ingrijpend veranderd sinds de Griekse en middeleeuwse ideeën over cirkels van planetaire sferen. De kennis van nu reikt weliswaar verder dan toen, met veel wetenschappelijke inzichten, maar een groot aantal niet-opgeloste vraagstukken blijven nog steeds aan de orde.
Boek VI probeert aan de hand van vele voorbeelden en beschouwingen inzicht te verschaffen in een nogal ingewikkelde materie.

Na een begin over galactisch stof, waaruit alles is ontstaan, komen binnenplaneten als Mercurius, Venus, Aarde en Mars aan de orde. Ook de buitenplaneten Saturnus, Uranus en Neptunus worden genoemd.
Tal van bijzonderheden van de diverse planeten worden uitvoerig besproken en talloze wiskundige figuren passeren de revue.
Na Mars met aan de andere kant de reusachtige planeet Jupiter volgt een beschouwing over de Asteroïdengordel bestaande uit duizenden grote en kleine brokken gesteente, metaal en koolstof en ander materiaal. De asteroïdengordel heeft een lengte van ongeveer 950 km.

Nawoord

Quadrivium blijkt een veelomvattend boek te zijn, dat het deel van de vrije kunsten als Getal, Meetkunde, Muziek en Kosmologie eer aan doet. Het is veel meer dan een poging om door te dringen tot de aard van de werkelijkheid. Er wordt namelijk uitvoerig ingegaan op alle mogelijke bijzonderheden die samenhangen met de betreffende onderwerpen.

Bronvermelding

Bronnen, noten en/of referenties: