Parallellogram

In de meetkunde is een parallellogram een vierhoek die uit twee paren van evenwijdige zijden bestaat. De tegenoverelkaar liggende zijden van een parallellogram zijn even lang, de tegenoverelkaar liggende hoeken van een parallellogram zijn gelijk. De driedimensionale evenknie van een parallellogram is een parallellepipedum.

Een parallellogram.

Speciale gevallen

• Een rechthoek is een een parallellogram met rechte hoeken.
• Een vierkant is een parallellogram met rechte hoeken en alle vier zijden van dezelfde lengte.
• Een ruit is een parallellogram met alle vier zijden van dezelfde lengte

Eigenschappen

• De oppervlakte, A, van een parallellogram is A = B ∙ H, waar B de basis en H de hoogte is van het parallellogram.
• De oppervlakte van een parallellogram is twee keer de oppervlakte van de twee congruente driehoeken die wordt gevormd door elk van de twee diagonalen.
• De oppervlakte van een parallellogram is de grootte van het kruisproduct van de vectoren liggende op twee aanliggende zijden.
• De twee diagonalen van een een parallellogram delen elkaar in twee gelijke delen.
• Het snijpunt van de diagonalen is een centrum van de symmetrie.
• Tegenover elkaar liggende zijden zijn even lang
• Tegenover elkaar liggende zijden lopen parallel ten opzichte van elkaar
• Tegenoverliggende hoeken zijn even groot.
• De som van twee aangrenzende hoeken is 180°
• Het parallellogram is een speciaal geval van een trapezium.
• Het is mogelijk om een vlak te tesseleren (Engels: met met mozaïek(en)/mozaïekblokjes beleggen) met een patroon van parallellogrammen.

Afleiding van de formule voor de oppervlakte van een parallellogram

De oppervlakte van een parallellogram

A_{(parallelogram)} = B ∙ H

kan als volgt worden afgeleid:

Bereken de oppervlakte van de rechthoek die wordt geconstrueerd wanneer de hoeken van het parallellogram 90° zouden zijn. Het verschil tussen de rechthoek en het parallellogram zijn twee driehoeken. Deze zijn congruent; aangezien de oppervlakte van ene rechthoek wordt afgetrokken en de andere wordt bijgeteld bij de oppervlakte de rechthoek, is de oppervlakte van het parallellogram gelijk aan de oppervlakte van de rechthoek.

A_(rect) = ( B + A ) ∙ H

De oppervlakte van een enkele driehoek is de basis maal de hoogte, gedeeld door twee:

A_(tri) = B ∙  H /2

De oppervlakte van de parallellogram is daarom gelijk aan

A_{(parallelogram)} =

A_(rect) − 2 ∙ A_(tri) =

( ( B + A ) ∙ H ) − ( A ∙ H ) = B ∙ H

Formules voor de diagonalen

De lengte van de langste diagonaal wordt bepaald door:

d₂ = √(a + h ∙ cot α)² + h² 

De lengte van de kortste diagonaal wordt bepaald door:

d₁ = √( a - h ∙ cot α)² + h² 

Zie ook

• Parallellogram van Varignon

  Vrije mediabestanden over Parallelogram op Wikimedia Commons