Kwantummechanica

Quantummechanica (Latijn: quantum) is mechanica (bewegingsleer) van uiterst kleine, atomaire en subatomaire, systemen waarvoor de klassieke Newtonse mechanica niet geldig is. Kenmerkend is de quantisering van de energie van het systeem: alleen discrete waarden (quanta) zijn mogelijk.

De paginanummers verwijzen naar Robert B Leighton, Principles of Modern Physics McGRAW-HILL, 1959

Quantumtoestand

p.86. Meting van de positie verstoort een (sub)atomair deeltje zodanig dat de impuls niet meer goed meetbaar is, en impuls meting stoort de positie (Werner Heisenberg 1927). Daarom kan de toestand van een (sub)atomair systeem niet precies gemeten en weergegeven worden zoals bij een klassiek systeem, nl door een punt in de faseruimte met de posities q_j en impulsen p_j van alle deeltjes als coordinaten.

p.93-94. Preciese positie meting van de deeltjes kan wel maar maakt impuls meting erg onnauwkeurig, en omgekeerd. De quantumtoestand van een systeem van N deeltjes wordt beschreven door twee complexe golffuncties ψ(q_j,t) en φ(p_j,t) die de toestand van het systeem als volgt definiëren.

Als ten tijde t de posities q_j gemeten worden dan is de kansdichtheid dat deze in de differentiaal d^Nq = dq₁ ... dq_N liggen

W_q(q_j,t) = ψ*(q_j,t)ψ(q_j,t) = |ψ(q_j,t)|²

ψ* is de complex geconjugeerde en |ψ| de absiolute waarde van ψ. Voor 1 deeltje is dq₁ het volume element dV in de gewone ruimte.

Als gelijktijdig de impulsen worden gemeten, dan is de kansdichtheid dat deze in de differentiaal d^Np = dp₁ ... dp_N liggen

W_p(p_j,t) = φ*(p_j,t)φ(p_j,t) = |φ(p_j,t)|²

De totale geïntegreerde kansen

∫ W_q(q_j,t)d^Nq = 1 en ∫ W_p(p_j,t)d^Np = 1

met integratie over alle q_j of alle p_j.

p.96. De golffuncties ψ(q_j,t) en φ(p_j,t) zijn Fourier invers:

φ(p_j,t) = h^-N/2∫ ψ(q_j,t) exp(-iN∑12πp_jq_j/h) d^Nq

ψ(q_j,t) = h^-N/2∫ φ(p_j,t) exp(+iN∑12πp_jq_j/h) d^Np

waarin h de Planck constante 6,626 × 10⁻³⁴ Js is. Dus φ is de ontbinding van ψ in componenten met golflengte λ = h/p in de positieruimte. Als φ een scherp gelokaliseerde functie is die alleen impulsen bevat in de buurt van een bepaalde waarde p, dan is ψ een lange golftrein met een golflengte h/p. En als ψ een scherp gepiekte verdeling is, dan beslaat de Fourier getransformeerde φ een breed golflengtegebied zodat de impulsen niet goed gedefinieerd zijn. Dit is de wiskundige formulering van Heisenbergs onzekerheidsprincipe.

Schrödingervergelijking

In de klassieke mechanica zijn de bewegingsvergelijkingen

 dq_j /dt =  ∂H /∂p_j,  dp_j /dt =  ∂H /∂q_j

waarin H(q_j,p_j,t) de hamiltonfunctie is (William Hamilton, 1833). Het is de energie E van het systeem. Er is energiebehoud als H niet van de tijd t afhangt.

p.103. De quantummechanische bewegingsvergelijking is de schrödingervergelijking voor de golffunctie ψ (Erwin Schrödinger, 1926)

H(q_j,p_j,t)ψ = -  h /2πi  ∂ψ /∂t, p_j =  h /2πi  ∂ /∂q_j

In de hamiltonfunctie is de impuls p_j vervangen door de impulsoperator p_j. Voor 1 deeltje is de impulsoperator (h/2πi)∇ waarin ∇ de nabla differentiaaloperator is.

p.112. Als H niet van de tijd afhangt is de schrödingervergelijking

H(q_j,p_j)ψ = Eψ

Deze tijdonafkelijke vergelijking wordt gebruikt om energiewaarden te vinden van een quantumsysteem in stationaire toestand.

Harmonische oscilllator

De hamiltonfunctie van een oscillerende massa m met terugwerkende kracht -kx is

H =  p² /2m +  1 /2kx²

Klassiek is de oscillatiefrequentie ω² = k/m en de energie kan elke waarde hebben.

p.129. Quantummechanisch is de schrödingervergelijking

-  h² /8π²m  ∂²ψ /∂x² +  1 /2kx²ψ = Eψ

p.133. Eenwaardige eindige oplossingen zijn alleen mogelijk voor discrete waarden van E

E_n = hν(n+½), ν = ω/2π, n = 0,1,2,...

ψ_n(x) = (2ⁿn!)^-½ (2mω / h)^¼ e^{-πmωx² / h} Her_n(x(2πmω / h)^½)

Her_n zijn Hermite polynomen

Her_n(z) = (-1)ⁿ e^z²  dⁿ /_dzⁿ e^-z²

In de grondtoestand is ψ₀(x) = (2mω / h)^¼e^{-πmωx² / h}. De energie E₀ = ½hν is niet nul. Positie en impuls zijn niet nul, in overeenstemming met Heisenberg.

Waterstofatoom

Van de schrödingervergelijking van een atoom met een enkel elektron zijn eenwaardige eindige oplossingen bekend voor discrete waarden van de energie. Zie verder Waterstofatoom.

Tunneleffect

De tijd-onafhankelijke schrödingervergelijking van een deeltje met massa m en energie E in een potentiaal V(x) is

-  h² /4π²m  d²ψ /dx² + Vψ = Eψ

p.155. Van groot belang is de oplossing als V een potentiaalbarrière is

V(x) = V₀ als |x|<a en 0 als |x|>a

Klassiek mechanisch wordt een van x<-a komend deeltje gereflecteerd door de barrière als E<V₀ is, maar quantummechanisch is er een kans dat het door de barrière heen komt. De wiskundige behandeling is gecompliceerd. Zie verder Tunneleffect (natuurkunde).

Bronnen, noten en/of referenties

Bronnen, noten en/of referenties