Waterstofatoom

Het waterstofatoom is het eenvoudigste van alle atomen waarmee materie is opgebouwd. Het bestaat uit een proton, de atoomkern, en één elektron. Niels Bohr publiceerde in 1913 een theorie die het frequentiespectrum van waterstof verklaarde dat in 1885 gemeten was door Johann Balmer. Zijn model was niet realistisch want het elektron dat als punt om het proton cirkelt verliest kinetische energie door elektromagnetische straling en valt op de kern door de coulombkracht. In 1924 stelde Louis de Broglie dat het elektron in het H-atoom niet een puntdeeltje is maar een golf.

De paginanummers verwijzen naar Robert B Leighton, Principles of Modern Physics McGRAW-HILL, 1959

Klassiek model

p. 72 Bohr stelde dat het elektron (massa m, lading e) met impuls p en hoeksnelheid ω kan cirkelen op afstand r van de kern als het impulsmoment rp = h/2π of een veelvoud daarvan:

rp = mωr² = nh/2π, n = 1,2,3,...

waarin h de Planck constante 6.626 × 10⁻³⁴ Js is. De coulombkracht is

mω²r = e² / 4πε_or²

zodat (elimineer ω)

r = ε_on²h² / πme²

De kleinste baanstraal is r_o = ε_oh² / πme² = 52,9 picometer (pico = 10⁻¹²).

De energie van het elektron is

E = − e² / 8πε_or

negatief omdat het energie kost om het H-atoom te ioniseren. Deze energieniveaus, evenredig met 1/n², bepalen het frequentiespectrum van waterstof, d.w.z. de frequentie ν van het foton dat met energie hν geabsorbeerd of uitgezonden wordt als het elektron van energieniveau verandert.

p.79 Arnold Sommerfeld berekende in 1916 relativistische correcties op de Bohr theorie die de fijnstructuur in het energiespectrum verklaarde (gemeten was door Albert Michelson en Edward Morley in 1887).

p.200 Een spectraallijn bestaat in feite uit 2 lijnen die α², minder dan 0,01 %, verschillen in golflengte. De fijnstructuurconstante α is

α = e²/2hcε₀ = 1/137,036

p.185 George Uhlenbeck en Samuel Goudsmit toonden in 1925 dat de fijnstructuur ook verklaard kan worden door elektron spin, een intrinsiek impulsmoment ter grootte h/4π, dat wisselwerkt met het elektron baan impulsmoment waardoor deze effectief iets verandert.

Quantum model

p. 81 Voor het atoom met straal r geldt quantummechanica die sterk verschilt van de klassieke natuurkunde. Volgens Louis de Broglie (1924) is het elektron in het H-atoom een golf met impuls p en golflengte

λ = h/p = 2πr/n

Het elektron bevindt zich niet in een punt op de cirkelbaan maar het is een golf waarvan een geheel aantal golflengten past op de cirkelomtrek 2πr in het Bohr model.

Erwin Schrödinger publiceerde in 1926 de partiële differentiaalvergelijking voor de golffunctie ψ die de quantumtoestand van een deeltje beschrijft, namelijk de kans om bepaalde waarden te meten. Het product van de onzekerheden over positie en impuls metingen is groter dan h/4π (p.86, Werner Heisenberg 1927).

Klassiek is de hamiltoniaan van het elektron in het Coulombveld van de kern

H = p²/2m − e²/4πε_or

Quantummechanisch wordt de hamilton-operator hieruit verkregen door de impuls p te vervangen (p.100) door de impulsoperator (h/2πi)∇ waarin ∇ de nabla differentiaaloperator is.

p. 166 Met deze hamilton-operator op de golffunctie vond Schrödinger de vergelijking voor ψ

[ −  h² /8π²m∇² −  e² /4πε_or ] ψ = Eψ

met de Laplace operator in bolcoördinaten r,θ,φ

∇² =  1 /r² ∂ /∂r(r² ∂ψ /∂r) +  1 /r²sinθ ∂ /∂θ(sinθ ∂ψ /∂θ) +  1 /r²sin²θ ∂²ψ /∂φ²

Eenwaardige eindige oplossingen zijn bekend voor discrete waarden van r en E, en dat zijn juist de klassieke waarden voor n = 1,2,3 ...

p. 182 De genormaliseerde golffunctie in de grondtoestand (n = 1) is

ψ = √(1/πr_o³).e ^{− r/r_o}

De kansdichtheid dat het elektron zich op afstand r bevindt, 4πr²ψ², is maximaal voor r=r_o. De waarde voor r_o in het klassieke model is de meest waarschijnlijke waarde in het quantummodel. Dit geldt ook voor grotere r waarden met grotere E.

Relativistisch

p. 664 Paul Dirac publiceerde in 1928 de relativistische vergelijking voor de golffunctie ψ. In zijn theorie is ψ niet één complexe variabele maar een kolommatrix met vier componenten. De Dirac-vergelijking wordt meestal compact geformuleerd met 4×4 matrix operatoren, of equivalent met 2×2 matrices waarvan de componenten 2×2 matrices zijn. Bijvoorbeeld:

(ih/2π)γ^μ(∂ψ/∂μ) − mcψ = 0

waarin γ^μ vier 4×4 matrices zijn en gesommeerd wordt over μ = 0,1,2,3. In componenten uitgeschreven zijn het vier partiële differentiaalvergelijkingen:

D₁ψ₁ + D₃ψ₃ + D₅ψ₄ = 0

D₁ψ₂ + D₆ψ₃ − D₃ψ₄ = 0

D₃ψ₁ + D₅ψ₂ + D₂ψ₃ = 0

D₆ψ₁ − D₃ψ₂ + D₂ψ₄ = 0

waarin

D₁ = (h/2πi)(∂/∂t) + eφ + mc²

D₂ = (h/2πi)(∂/∂t) + eφ − mc²

D₃ = c(h/2πi)(∂/∂z) − ceA_z

D₄ = c(h/2πi)(∂/∂x) − ceA_x

D₅ = c(h/2πi)(∂/∂x) − ceA_x − ic(h/2πi)(∂/∂y) + iceA_y

D₆ = c(h/2πi)(∂/∂x) − ceA_x + ic(h/2πi)(∂/∂y) − iceA_y

met de vectorpotentiaal (A_x, A_y, A_z) en de elektrische potentiaal φ van het elektromagnetische veld. Oplossingen voor het waterstofatoom zijn gevonden door o.a. Walter Gordon. Ze beschrijven de kwantumtoestand die de elektron spin en de fijnstructuur van het H-spectrum verklaart.

Diracs theorie voorspelde ook het bestaan van vrije elektronen met negatieve energie. Dat werd niet begrepen tot in 1932 positronen ontdekt werden, met dezelfde massa als elektronen maar positieve lading, en geïdentificeerd met elektronen met negatieve energie.

Onze kennis van het H-atoom is wiskundig. Deze vergelijkingen bepalen quantumtoestanden, kansen van plaats en snelheid van het elektron, geen werkelijke bewegingen. Versneld bewegende lading en stroom verdelingen bestaan die alleen statisch magneetveld produceren, dus geen stralingsenergie verliezen. Maar die worden niet beschreven door de quantumwiskunde van het H-atoom. Hoe het er uitziet is niet voorstelbaar.