Gebruiker:Lidewij/Kwantummechanica

Kwantummechanica

Onzekerheidsrelatie Achtergrond Klassieke mechanica Interferentie Hamiltoniaan Fundamentele begrippen Kwantumtoestand · Golffunctie · Postulaten Superpositie · Onzekerheidsprincipe Schrödingervergelijking · Tunneleffect Uitsluitingsprincipe Diracnotatie Gevorderde onderwerpen Interpretatie Klein-Gordonvergelijking Diracvergelijking Kwantumveldentheorie Kwantumgravitatie Experimenten Schrödingers kat Tweespletenexperiment Tunneleffect Stern-Gerlach-experiment Wetenschappers Planck · Einstein · Bohr · Sommerfeld · Bose · Kramers · Heisenberg· Born · Jordan · Pauli · Dirac · de Broglie · Schrödinger · von Neumann · Wigner · Feynman · Bohm · Everett · Bell

Kwantummechanica is een natuurkundige theorie die het gedrag van materie en energie met interacties van kwanta op atomaire en subatomaire schaal beschrijft. De ontwikkeling ervan sinds het begin van de 20e eeuw kan, samen met die van de relativiteitstheorie, beschouwd worden als de overgang van de klassieke natuurkunde naar de moderne natuurkunde.

Algemeen overzicht

In de kwantumtheorie wordt de werkelijkheid op een fundamenteel andere manier benaderd dan in de klassieke natuurkunde, waarin ervan wordt uitgegaan dat er een waarnemer-onafhankelijke werkelijkheid is en natuurkundige grootheden continue variabelen zijn, die in elke gewenste combinatie gemeten kunnen worden. Meetonnauwkeurigheden zijn in de klassieke natuurkunde een praktisch probleem. In de kwantumtheorie (althans in de breed aangehangen Kopenhaagse interpretatie van Niels Bohr en Werner Heisenberg) variëren natuurkundige grootheden stapsgewijs (met 1 kwantum tegelijk) en is er geen waarnemer-onafhankelijke werkelijkheid. Door dit tweede fundamentele verschil met de klassieke natuurkunde is het principieel uitgesloten om het effect van de waarneming uit te schakelen: de keus die de waarnemer maakt bij het opzetten van zijn experiment bepaalt in belangrijke mate de uitkomst daarvan. Het product van de onnauwkeurigheden van de gelijktijdige metingen van twee grootheden (bijvoorbeeld plaats en impuls) heeft volgens de onzekerheidsrelatie van Heisenberg een minimale waarde. Is de ene grootheid met de grootst mogelijke nauwkeurigheid gemeten, dan is de andere onvermijdelijk geheel onbepaald en onbepaalbaar. Deze relatie is zelf echter wel nauwkeurig en objectief geformuleerd. Op macroscopische schaal is de invloed van kwantummechanische beperkingen op de nauwkeurigheid meestal niet meetbaar en gaat de kwantummechanica over in de klassieke natuurkunde: dat heet het correspondentieprincipe.

De kwantummechanica doet bovendien slechts statistische uitspraken over een reeks van waarnemingen. Dat heeft tot gevolg dat het gedrag van een individueel elementair deeltje slechts in termen van waarschijnlijkheid kan worden beschreven. Die waarschijnlijkheden worden beschreven door het modulus in het kwadraat van de complexwaardige golffuncties, die de kansdichtheid geven van het meten van een waarde van een fysische grootheid zoals bv. plaats, snelheid en spin, zoals de kwantummechanische versie van het impulsmoment genoemd wordt.

De beschrijving van systemen door middel van een golffunctie betekent dat deeltjes zich, afhankelijk van de manier waarop ze worden waargenomen, soms als een deeltje in klassieke zin, maar soms als een golfverschijnsel gedragen. Zo kunnen bijvoorbeeld elektronenbundels, net als lichtbundels, brekingsverschijnselen en interferentie en diffractie vertonen. Andersom kan licht ook beschouwd worden als bestaande uit quanta, die in het geval van licht fotonen genoemd worden, met een energie E:

<math> E = h \nu \,</math>

waarin <math> h </math> de constante van Planck en <math> \nu </math> (de Griekse letter nu) de frequentie van het licht.

Bij het formuleren van de kwantummechanica in termen van golffuncties blijkt dat bepaalde fysische grootheden uitsluitend waarden kunnen aannemen uit een bepaalde verzameling, die van de situatie en de te meten grootheid afhangt. Een bekend voorbeeld is het feit dat elektronen in een atoom slechts bepaalde energieniveaus kunnen bezetten, wat aanleiding geeft tot spectraallijnen in het licht dat door het atoom wordt uitgezonden. Een ander opmerkelijk feit in de kwantummechanica is dat fysische grootheden van een systeem in sommige combinaties niet tegelijkertijd met willekeurige nauwkeurigheid bekend kunnen zijn. De belangrijkste voorbeelden hiervan zijn plaats x en impuls p, en tijd t en energie E. Dit feit staat bekend als het onzekerheidsrelatie van Heisenberg. De onnauwkeurigheden Δ in deze grootheden zijn naar onder in grootte begrensd door de volgende ongelijkheden:

<math>\Delta x\Delta p\ge \frac h{4\pi}</math>

<math>\Delta E\Delta t\ge \frac h{4\pi}</math>

Dit volgt rechtstreeks uit de aanname van golfeigenschappen en uit de wiskundige eigenschap van de Fouriertransformatie. Er zijn nog tal van andere onzekerheidsrelaties tussen paren van fysische grootheden, die daarom niet-commuterend worden genoemd. In jargon zegt men dat bij meten (waarnemen) van een willekeurige variabele de golffunctie wordt geprojecteerd op een eigentoestand. Dit betekent dat alle andere informatie (over alle andere observabelen) verloren gaat. De onzekerheidsrelatie tussen twee willekeurige niet-commuterende grootheden wordt gegeven door:

<math>\Delta A \, \Delta B \ge \frac{1}{2i} \left|\left\langle\left[{A},{B}\right]\right\rangle\right|</math>

De kwantummechanica maakt onderscheid tussen bosonen en fermionen. Het onderscheid zit in de spin (losweg draaiing) van het deeltje, een fundamentele eigenschap die alleen van het type deeltje afhangt en de waarden <math>0,\frac12,1,\frac32,\ldots</math> kan aannemen. De deeltjes met heeltallige spin heten bosonen, de andere worden fermionen genoemd. Een belangrijk resultaat met betrekking tot dit onderscheid is het uitsluitingsprincipe van Pauli, dat zegt dat er geen twee fermionen naast elkaar in dezelfde toestand kunnen bestaan. Voor de bosonen is dat wel mogelijk.

Geschiedenis

"Oude" kwantumtheorie

Een eerste aanzet tot de theorie van de kwantummechanica is de Wet van Planck gegeven door Max Planck in zijn studie gepubliceerd in 1900 Zur Theorie des Gesetzes der Energie-Verteilung im Normal-Spektrum over het probleem van de straling van een zwart lichaam. Planck kan de experimentele resultaten voor deze straling verklaren door aan te nemen dat licht korrelig is en in standaardpakketjes (kwanta) komt. De kwantummechanica is een intuïtief moeilijk te doorgronden theorie, die in de beginperiode op veel weerstand stuitte. Albert Einstein had later bezwaar tegen de kansverdeling van deeltjes: "God dobbelt niet". Hij geloofde dat de onzekerheden van de kwantumtheorie niet reëel waren, maar dat er 'verborgen variabelen' waren, die we nog niet kennen, die alsnog de theorie deterministisch zouden maken. Later is dit in de stelling van Bell ontkracht. Ook Max Planck zelf meende dat 'zijn' kwantumtheorie later vervangen zou worden door een meer deterministische theorie zonder 'vage' statistische eigenschappen. Latere experimenten hebben die positie echter onhoudbaar gemaakt. Maar Einstein zelf gaf in 1905 Plancks methode een nieuwe toepassing. Hij kon er het foto-elektrisch effect mee verklaren. Planck had hier weer bezwaar tegen.

Niels Bohr kwam met zijn baanmodel voor de elektronen rond een atoom. Louis-Victor de Broglie kwam met het idee dat deeltjes als golven gezien kunnen worden (golf-deeltje dualiteit). Arnold Sommerfeld verfijnde het baanmodel van Niels Bohr.

Latere ontwikkelingen

Heisenberg en Schrödinger publiceerden een rekenmethode met respectievelijk matrices en een golfvergelijking. Paul Dirac en John von Neumann vatten de theorie axiomatisch samen en breidden hem uit.

De theorie is echter nog geen goede beschrijving van alle natuurkundige verschijnselen. Het belangrijkste probleem is dat er nog geen kwantumtheorie van de zwaartekracht bestaat - een combinatie van de kwantummechanica met de algemene relativiteitstheorie wordt al ettelijke decennia gezocht, maar er is nog geen bevredigende oplossing. In de jaren 90 werden supersnaren als de meest veelbelovende theorie beschouwd; tegenwoordig lijkt de snaartheorie onderdeel te zijn van een algemenere M-theorie, waarover echter nog weinig bekend is. Een theorie die tracht kwantumtheorie en zwaartekracht te verenigen, staat in de natuurkunde bekend als theorie van alles.

Praktische toepassingen

Hoe controversieel de theorie in het begin ook was, veel experimenten hebben inmiddels aangetoond dat de kwantummechanica de werkelijkheid zeer nauwkeurig beschrijft. De kwantummechanica is zo een van de succesvolste natuurkundige theorieën aller tijden geworden. Ze heeft dan ook veel toepassingen; de werking van veel technologieën berust op eigenschappen van de materie die niet op klassieke wijze te beschrijven zijn: de kernenergie, radioactiviteit, alle halfgeleidertechnologie en dus de transistor, de MRI-scan, supergeleiding en de laser. Voorts is geen enkele chemische reactie verklaarbaar zonder kwantummechanica.

Filosofische consequenties

De gevolgen die de onzekerheidsrelatie van Heisenberg met zich mee brengt, zijn niet alleen natuurkundig maar ook filosofisch enorm. Als eerste de natuurkundige gevolgen: in de kwantummechanica beschrijven we het deeltje, zoals gezegd, met een golffunctie en die functie hangt af van de omgeving waarin het zich bevindt. Zowel de positie als impuls (snelheid) van het elektron worden bepaald via de golffunctie. De onzekerheidsrelatie stelt dat de onzekerheid in de bepaling van de plaats, vermenigvuldigd met de onzekerheid in bepaling van de impuls nooit kleiner kan zijn dan een bepaalde waarde. Wordt de onzekerheid van de een kleiner, dan wordt de onzekerheid van de ander per definitie evenredig groter. Dit is een enorme natuurkundige consequentie. Waar de klassieke natuurkunde, die van voor de kwantummechanica, stelde dat we alles in het universum exact kunnen weten als we maar genoeg metingen doen en de metingen nauwkeurig genoeg zijn, daar stelt de kwantummechanica dat we alleen de waarschijnlijkheid kunnen bepalen en dat de onzekerheid in het bepalen van die waarschijnlijkheid gekoppeld is aan andere onzekerheden. Als de een kleiner wordt gemaakt, dan wordt de ander groter. Deze onzekerheid ontstaat niet door onnauwkeurigheid van de gebruikte apparatuur, maar is fundamenteel.

Er zijn verschijnselen die tot nu toe alleen verklaard kunnen worden als we de onzekerheidsrelatie gebruiken. De filosofische implicatie daarvan zou zijn dat processen in de natuur plaatsvinden niet ondanks, maar dankzij de onzekerheidsrelatie van Heisenberg. De filosofische implicatie die de kwantummechanica met zich meebrengt is dat we moeten spreken over 'de waarschijnlijkheid van de positie van een elektron', in plaats van 'de positie van een elektron'. De Heisenberg-relatie stelt bovendien dat er een minimum onzekerheid is in de bepaling. Een filosofische interpretatie van die onzekerheid is 'willekeur' en in die interpretatie zou dus de kwantummechanica dicteren dat er een fundamentele willekeur in de natuur om ons heen is. Dit in contrast met de klassieke, deterministische natuurkunde voordien, die wel een fundamentele willekeur uitsloot. Dit stoorde dan ook ten zeerste de natuurkundigen die hun denkbeelden in de 19e eeuw hadden opgedaan zoals Einstein en Planck. De meesten van deze 'oudere' natuurkundigen hebben de kwantummechanica daarom ook nooit volledig aanvaard.

Volgens een bepaalde zienswijze binnen de kwantummechanica bestaan ten gevolge van het onzekerheidsprincipe deeltjes niet eens totdat er een waarneming plaatsvindt. Schrödinger was door deze zienswijze dermate ontstemd dat hij het beroemde voorbeeld van de kat beschreef, die door dit effect tegelijkertijd zowel dood als levend was. Schrödinger hoopte met dit onmogelijke voorbeeld te laten zien dat deze filosofie belachelijk was en dat men dit denkbeeld maar snel moest laten vallen. Tot zijn verdriet is bijna het tegenovergestelde gebeurd en is Schrödingers kat een geheel eigen leven gaan leiden.

Een ander curieus gevolg van het onzekerheidsprincipe is dat elk deeltje dat zich van A naar B verplaatst elk mogelijk pad tussen A en B daarvoor gebruikt. Voor iedere waarnemer is het echter duidelijk dat dit zeker op het niveau van de klassieke natuurkunde niet is waar te nemen. Theoretici hebben hiermee geworsteld totdat Richard Feynman aantoonde dat alle paden tegen elkaar wegvallen op één na; Feynman won met deze ontdekking een Nobelprijs.

Dirac-formalisme

De kwantummechanica is door de Britse fysicus Paul Dirac van een abstracte, naar hem genoemde bra-ket-notatie voorzien:

1. De toestand van een fysisch systeem wordt gegeven door een vector <math> |\psi\rangle </math> in een ruimte die geen Hilbertruimte is (wat wel, bleef bij Dirac onduidelijk).
2. Voor elke willekeurige toestandsvector <math> |\psi\rangle </math> geldt: <math> \langle\psi|\psi\rangle=1 </math>, waarbij <math> \langle\psi|</math> de hermitisch geconjugeerde is van <math> |\psi\rangle </math>.
3. De kans dat een systeem met toestandsvector <math> |\Psi\rangle </math> zich in toestand <math>|\alpha\rangle</math> bevindt wordt gegeven door <math>P(\alpha,\Psi) = \langle\alpha|\Psi\rangle </math>
4. Meetbare grootheden corresponderen met hermitische operatoren die de toestandsvector als argument hebben; deze bezitten reële eigenwaarden die de numerieke waarde van die meetbare grootheden aangeven.
5. Elementaire deeltjes blijken een spin S te hebben. Dit is de kwantummechanische versie van het klassieke impulsmoment. Voor de drie componenten van deze vectorgrootheid <math> (S_x, S_y, S_z) </math> gelden de commutatierelaties:
   1. <math> [S_x, S_y] = i \hbar S_z </math>
   2. <math> [S_z, S_x] = i \hbar S_y </math>
   3. <math> [S_y, S_z] = i \hbar S_x </math>
6. Elementaire deeltjes kunnen worden onderverdeeld in bosonen en fermionen. Bosonen hebben een golffunctie die 'even' is (symmetrisch in plaats en tijd); fermionen hebben een golffunctie die 'oneven' is (anti-symmetrisch in plaats en tijd). Dit verklaart waarom fermionen aan het Pauli-verbod onderworpen zijn en bosonen niet.

Schrödingervergelijking

In de meest simpele vorm worden deeltjes in de kwantummechanica beschreven als oplossing van de Schrödingervergelijking. In de plaats-representatie is deze golffunctie <math>\Psi(\vec{x},t)</math> een oplossing van deze vorm van de Schrödingervergelijking:

<math>i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + V(\vec{x})\Psi</math>

Die vergelijking heeft de wiskundige vorm van een golfvergelijking, dus volgen hieruit de golfeigenschappen. Hierin is i de imaginaire eenheid (met i²=–1), <math>\partial / \partial t </math> de partiële afgeleide naar de tijd, <math>\hbar</math> de constante van Dirac, m de massa, <math>\nabla^2</math> de Laplaceoperator, V de potentiaal en <math>\vec{x}</math> de plaatsvector.

In een meer algemene vorm kan de tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking geschreven worden als:

<math> i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = H \Psi </math>

Hierbij is H de hamiltoniaan, een operator die de totale energie weergeeft. Vaak wordt er voor gekozen om de tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking op te lossen voor <math> \psi(\vec{x}) </math>.

<math>E \psi(\vec{x}) = H \psi(\vec{x})</math>

De tijdsafhankelijke golffunctie wordt dan gegeven door: <math>\Psi(\vec{x},t) = e^{-i\frac{E}{\hbar}t} \psi(\vec{x})</math>.

Kwantumchemie

In de kwantumchemie wordt de kwantumtheorie toegepast op chemische verschijnselen. Hiermee kan verklaard worden waarom sommige chemische elementen zich kunnen verbinden met bepaalde andere chemische elementen, hoeveel energie daarbij vrijkomt of juist geabsorbeerd wordt.

Zie ook

Interpretatie van de kwantummechanica Bloch-vector Elektronenconfiguratie Feynman-Kac-formalisme Kwantum

Kwantumcomputer Kwantumveldentheorie Materiegolven Tunneleffect Schrödingers kat

Externe link

• Reciprocal System of Physical Theory (RST)

  Wikibooks: In mensentaal: Kwantummechanica

Noten

Natuurkunde

  Zie ook de categorie met mediabestanden in verband met Quantum mechanics op Wikimedia Commons.