Essay:Kunst en Wiskunde I

Dit is een gebruikersessay geschreven door Franciscus 4 augustus 2011 15:22 (CEST)

Walter De Maria : A Computer Will Solve Every Problem in the World

Wat onderga je, als je als bezoeker in een museum op de vloer een groot aantal blinkende staven ziet liggen?
De een zal er even naar kijken, er geen raad mee weten en verder lopen. De ander zal wat meer belangstelling tonen en op onderzoek uitgaan.
Het is in ieder geval zó, dat deze uitstalling de meeste mensen niet geheel onverschillig laat, en dat minstens je nieuwsgierigheid wordt gewekt. Misschien dringt zelfs de achterliggende gedachte aan je op, dat hier iets bijzonders aan de hand is.

Vloersculptuur

Het werk op de afbeelding – een indrukwekkend vloersculptuur - is door de Amerikaan Walter De Maria (1935-2013) in 1984 gemaakt in opdracht van Museum Boymans – Van Beuningen in Rotterdam. De naam die de kunstenaar aan dit werk meegaf luidt: A Computer Which Will Solve Every Problem in the World (Een computer die elk probleem in de wereld zal oplossen).
Het werk bestaat uit 75 gepolijste roestvast stalen staven, die in rijen op de vloer zijn neergelegd en die elk precies een meter lang zijn.
Bij een eerste verkenning valt je onmiddellijk op, dat de heldere en gelijkmatige opbouw van de vloersculptuur bij iedere verandering van standpunt een nieuw beeld oplevert.
In de rangschikking op de vloer blijkt een strikte ordening te heersen, die zich pas na enig zoeken en nadenken prijsgeeft. Het blijkt, dat - beginnend met een rij van drie driehoekige staven – de sculptuur eindigt in een rij van twaalf - bijna ronde - twaalfhoekige staven. Alle rijen staven blijken dus opgebouwd te zijn uit steeds oplopende regelmatige veelhoeken ¹⁾.
In deze rangschikking liggen er dus tien rijen in een bijbehorend patroon, waarbij dus - naarmate de rijen opschuiven – het aantal facetten van de staven stijgt, waardoor steeds meer de vorm van een cirkel wordt benaderd. De lengte van een meter is aanwezig in de gehele opstelling: ook de evenwijdige rijen bevinden zich steeds op een meter afstand van elkaar.

---

¹⁾ Regelmatige veelhoeken zijn tweedimensionale meetkundige figuren, bestaande uit een eindig aantal lijnstukken ( zijden ) die alle dezelfde lengte hebben, en waarvan alle hoeken even groot zijn.

Herhaling

De kracht van het kunstwerk zit voor een deel in de herhaling, met steeds een subtiele toevoeging. De herhaling heeft hier betrekking op:

De kracht van het kunstwerk zit voor een deel in de herhaling

• dezelfde lengte van de staven
• het gelijke oppervlak van alle staven
• het gelijke gewicht van alle staven
• de uitbreiding per rij van het aantal staven
• de toevoeging per rij van een zijde van de veelhoek
• dezelfde onderlinge afstanden tussen de rijen

Vanuit een geheel andere kunstvorm - de muziek - kan van dit sculptuur, wat betreft herhaling, een vergelijking worden gemaakt met de Boléro van Maurice Ravel, of met Le Bœuf sur le toit van Darius Milhaud.

• De Boléro bestaat uit twee afwisselende thema's, elk van zestien maten, die telkens door andere instrumenten worden gespeeld. Beide maten worden 9 keer letterlijk herhaald. Na twee inleidende maten door de kleine trom wordt het eerste thema ingezet door een enkele fluit, waarna langzamerhand het gehele orkest gaat meedoen.

In 1919 keerde Darius Milhaud - na een langdurig verblijf in Brazilië - terug naar Parijs en schreef zijn zeer bekend geworden Le Bœuf sur le toit ( De os op het dak ). Deze titel is afkomstig van een oud volkswijsje, dat Milhaud tijdens het carnaval in Rio de Janeiro hoorde.

• De compositie Le Bœuf sur le toit is geen getrouwe weergave van het volkswijsje, maar is meer een opeenvolging van scènes, geïnspireerd door de oorspronkelijk melodie, en in de trant van de Braziliaanse volksmuziek. In het muziekstuk komt maar liefst 14 keer het hoofdthema terug in de vorm van een rondo, maar steeds in een andere toonzetting.

A Computer Which Will Solve Every Problem in the World

De vloersculptuur werd door Walter De Maria ontworpen in 1984, voordat computers uitgroeiden tot de allesomvattende apparaten die ze tegenwoordig zijn.
Walter De Maria was er zich er natuurlijk van bewust, dat computers in staat zijn nogal wat economische en technische problemen op te lossen, maar dat er zich in het leven andere opgaven en problemen voordoen die buiten het bereik van computers vallen en dus hierdoor ook niet kunnen worden opgelost.

Antwoorden op problemen kunnen niet altijd op een logische of rationele manier worden benaderd

De badinerende titel: A Computer Which Will Solve Every Problem in the World die hij aan het kunstwerk meegaf, geeft dus aan, dat voor hem de antwoorden op problemen niet altijd op een logische of rationele manier kunnen worden benaderd, maar dat er ook andere wegen zijn als een verhoogd bewustzijn via waarneming of intuïtie, zeker als het om de kunst gaat.
In de poëzie kom je hetzelfde tegen, vooral in de moderne poëzie. Sommige teksten zijn namelijk op het eerste gezicht niet altijd even logisch, maar het op je laten inwerken en de atmosfeer ervan proeven is dikwijls al voldoende. De Vlaamse dichter Paul van Ostaijen (1896 -1928 ) is hier een duidelijk voorbeeld van. In zijn gedicht VORST mis je de logica, maar proef je het gevoel.

VORST

Is vorst

breken scherp en helder stenen rijen

wegen scheuren

Schel schelt de schel

van de trem in duizelruimte

hoge hoepel

staalhemel staalhelm

Naar klare spanbanen strammen stappen

laarzen slaan de straat tot luide ruimte

Is vorst

breken stenen scherp

staan laarzen klaar

schellen de schellen schel

helder

helder

helder

duizelruimte luidt

Ook in de schilderkunst kom je op hetzelfde vlak uit. De Nederlandse schilders als Piet Mondriaan en Theo van Doesburg hielden zich bezig met puur geometrische figuren waarvan alle vormen zijn teruggebracht tot het uiterste met een beperkt kleurgebruik. Ook schilders als Kassimir Malevich en El Lissitzky waren op soortgelijke wijze bezig.

Is het kunst?

De vloersculptuur van Walter De Maria wordt gerekend tot het Minimalisme.
Het minimalisme in de beeldende kunst heeft zich - in de jaren zestig - vooral in Amerika sterk ontwikkeld. De naam van deze trend geeft goed weer wat ermee wordt bedoeld, namelijk dat de kunst tot zijn essentie is teruggebracht, volledig abstract, objectief en vrij van alle verfraaiingen en versierselen. De minimalistische sculpturen moeten het geheel hebben van de directe ervaring die de toeschouwer ondergaat.
Ook hier dringt zich natuurlijk de vraag op:

• Maar is dit kunst?

Deze vraag is – zoals dit al heel lang het geval is – niet eenduidig te beantwoorden, en een eventueel antwoord zal dus nooit voor iedereen geldig zijn.
Dat kunst iets bijzonders inhoudt, lijkt niet ter discussie te staan. Veel mensen hebben grote waardering voor de kunst, ook voor de moderne kunst die voorop loopt in het onderzoeken en vergroten van ons bewustzijn, en die soms provocerend kan zijn.
Er is een heldere uitspraak van de Amerikaanse kunstenaar Robert Irwin, die aangeeft, dat:

• Kunst een continu onderzoek is van ons op waarneming gebaseerde bewustzijn, en is een continue verruiming van de ons omringende wereld.

Deze uitspraak lijkt bijna geheel van toepassing op het sculptuur van Walter De Maria. We onderzoeken en vergroten ons bewustzijn bij het waarnemen en laten inwerken van de sculptuur op je en het ontdekken van patronen in de opstelling.
Je kunt ook over kunst praten en nadenken op een heel andere manier. Kunst kan ook een bron van kennis zijn net als de wetenschap dat is. Kunst heeft namelijk een functie in ons leven. Elke kunstvorm stelt namelijk mensen in staat iets meer van de werkelijkheid waar te nemen, ons begrip van de werkelijkheid te vergroten, of er op een andere manier mee om te gaan.
Kunst speelt ook een belangrijke rol in de menselijke communicatie.

Wiskunde

Er is natuurlijk ook een heel andere benadering van de vloersculptuur mogelijk, namelijk een wiskundige.
Het zal duidelijk zijn, dat de voorgaande beschouwingen niet uitsluiten, dat bij de opzet van het project berekeningen nodig zijn geweest. Het is dus vanzelfsprekend, dat - als er staven met oplopende regelmatige veelhoeken worden ontworpen en vervaardigd - er enige wiskunde aan te pas moet zijn gekomen.

Zijden van de veelhoeken

In de bijgaande tabel is van alle veelhoeken die deel uitmaken van de grondsculptuur de zijde z berekend van alle veelhoeken, uitgedrukt in de omschreven cirkel met straal R.
Als de straal R van de omschreven cirkel bekend is, dan geldt voor de afmeting van zijde z :

• z = 2 R sin ( 180 ⁰ / n ) , waarbij n het aantal hoeken α of zijden z is.

Ook zijn de hoeken α en de som van de hoeken Σ in de tabel opgenomen.
In de regelmatige vijfhoek hiernaast, zijn deze elementen aangegeven.

Tabel van de toegepaste regelmatige veelhoeken

Naam van de veelhoek	Hoek van de regelmatige veelhoek ( α )	Som van de hoeken ( Σ )	zijde z
Driehoek	60 0	180 0	1,73205 • R
Vierkant	90 0	360 0	1,41442 • R
Vijfhoek	108 0	540 0	1,17557 • R
Zeshoek	120 0	720 0	1 • R
Zevenhoek	128,5714 0	900 0	0,86776 • R
Achthoek	135 0	1080 0	0,76535 • R
Negenhoek	140 0	1260 0	0,68404 • R
Tienhoek	144 0	1440 0	0,61803 • R
Elfhoek	147,2727 0	1620 0	0,56347 • R
Twaalfhoek	150 0	1800 0	0,51764 • R

Opvallend is, dat bij elke veelhoek een stap van 180 ⁰ wordt gezet, waardoor de aanvankelijke 180 ⁰ van de driehoek uitkomt op 1800 ⁰ van de twaalfhoek.

Priemgetallen

De reeks veelhoeken bevat ook enkele priemgetallen, namelijk de getallen 3, 5, 7 en 11.
Priemgetallen zijn getallen die alleen maar door zichzelf of door het getal 1 gedeeld kunnen worden. De overige getallen - dus 4, 6, 8, 9 en 12 - zijn geen priemgetallen, aangezien ze door de priemgetallen 2 of 3 gedeeld kunnen worden.
Priemgetallen hebben een bijzondere plaats in de wiskunde en houden al eeuwen grote wiskundigen in de ban.
Uitgezonderd de driehoek, zijn de veelhoeken met een priemgetal - dus de vijfhoek, de zevenhoek en de elfhoek - bijzonder lastig te construeren en vragen om een bijzondere benadering.

Kwadraten

Er blijkt ook nog een verdere samenhang en herhaling tussen de rijen staven te bestaan.
Zoals aangegeven, begint de sculptuur met een rij van drie driehoekige staven, en eindigt dit in een rij van twaalf twaalfhoekige staven. Elke rij bevat dus totaal

• n • n = n ²

hoeken of zijden van de veelhoek, wat dus het kwadraat van het aantal hoeken of zijden is.
Het blijkt, dat bij een reeks kwadraten, tussen twee opvolgende kwadraten een samenhang bestaat. Tussen twee opvolgende kwadraten is namelijk de volgende betrekking aanwezig:

• n ² = ( n – 1 ) ² + ( n – 1 ) + n

Voor bijvoorbeeld de 4 ^e rij in betrekking tot de 3 ^e rij geldt dus:

• 4 ² = ( 4 – 1 ) ² + ( 4 – 1 ) + 4 = 9 + 3 + 4 = 16

En voor de laatste rij geldt dan:

• 12 ² = ( 12 – 1 ) ² + ( 12 – 1 ) + 12 = 121 + 11 + 12 = 144

In totaal zijn dus 3 ² + 4 ² + 5 ² + 6 ² + 7 ² + 8 ² + 9 ² + 10 ² + 11 ² + 12 ² = 645 vlakken z aanwezig.

Verhouding tussen oppervlak en omtrek van de staven

De vloersculptuur begint met rijen driehoekige staven, en eindigt in een rij van bijna ronde, twaalfhoekige staven. Naarmate het aantal zijden van de staven stijgt, wordt dus steeds meer de cirkel benaderd.
De cirkel blijkt van alle meetkundige figuren de figuur te zijn die de grootste  oppervlak /omtrek verhouding bezit, of anders gezegd: de cirkel bezit bij een gegeven oppervlak ( A ) van alle meetkundige figuren de kleinste omtrek ( O ).
Dit kan met eenvoudige berekeningen worden aangetoond, uitgaande van de formules die bij de oppervlakken en de omtrekken van de regelmatige veelhoeken horen.
Om de verhouding tussen het oppervlak A en de omtrek O in procenten te kunnen uitdrukken, worden de bij de figuren horende formules dimensieloos gemaakt, waarvoor enkele handelingen nodig zijn. Hierbij wordt uitgegaan van de formules die bij de cirkel horen, waarbij het oppervlak A van een cirkel is:

• A_cirkel = π r ²

en de omtrek O van een cirkel is:

• O_cirkel = 2 π r

De dimensie van de straal r is de lengte l, zodat dus r ² de dimensie l ² heeft.
Door nu het oppervlak A te delen door de omtrek O in het kwadraat, vallen de dimensies van de lengte l tegen elkaar weg. Verder is er door invoering van de getalwaarden 4π en 100% voor gezorgd, dat de verhouding tussen oppervlak en omtrek bij de cirkel op 100% uitkomt. Voor alle regelmatige veelhoeken - uitgezonderd de cirkel - geldt nu:

• 4 π A/O ² · 100% = < 100%

De resultaten van de berekeningen zijn ondergebracht in bijgaande tabel.

Regelmatige veelhoek	4 π A/O 2 · 100%
1. Driehoek	60,5
2. Vierkant	78,5
3. Vijfhoek	86,5
4. Zeshoek	90,7
5. Zevenhoek	93,2
6. Achthoek	94,8
7. Negenhoek	95,9
8. Tienhoek	96,7
9. Elfhoek	97,3
10. Twaalfhoek	97,7
11. Cirkel	100

Om nog een beter inzicht te krijgen in de verhouding tussen het oppervlak A en de omtrek O van de berekende veelhoeken, zijn de in de tabel genoemde resultaten weergegeven in bijgaande grafiek.
De nummers in de grafiek komen overeen met de nummers in de tabel.

Nawoord

• Het blijkt, dat de vloersculptuur A Computer Which Will Solve Every Problem in the World voor de aandachtige toeschouwer een aantal bijzondere invalshoeken kan opleveren.

In dit essay is getracht enkele hiervan te belichten en te trachten samenhang te vinden tussen enkele disciplines.Het blijkt, dat de sculptuur zowel vanuit de Kunst als vanuit de Wiskunde kan worden bekeken, zonder dat dit tegenstrijdig behoeft te zijn; integendeel: beide disciplines vullen elkaar aan. De kunst wordt hier gesteund door de wiskunde.

• In Kunst en Wiskunde II gaat het over metalen staven en draden die op listige wijze in een kunstwerk zijn verwerkt.

Externe links

• Cynthia Freeland: But Is It Art? An Introduction to Art Theory, Oxford University Press
• Nederlandse vertaling: Maar is dit kunst? Een inleiding in de kunsttheorie, Uitgeverij Prometheus en Ruth Visser.
• De vloersculptuur van Walter De Maria was van 28 mei t/m 18 september 2011 te zien in De Pont in Tilburg, www.depont.nl
• Op de Universiteit van Twente stond in april 2011 de schoonheid van wiskunde centraal in een congres. Bij de opening van dit congres, werd deze zin gelanceerd:

Wiskunde is een taal die net als proza en poëzie weet te bekoren met mooie zinnen!

• Stichting Ars et Mathesis ( Kunst en Wiskunde ) te Amsterdam. Deze stichting heeft tot doel de belangstelling te bevorderen voor Kunst die zijn inspiratie vindt in de Wiskunde.