Rekenkunde ( 7 )

Het onderwerp Rekenkunde wordt afgesloten met een aantal bijzondere onderwerpen, te weten:

• De kenmerken van deelbaarheid van een getal
• Worteltrekken door ontbinden in factoren
• Procent en promille
• Verhoudingen en evenredigheden

Kenmerken van deelbaarheid

Aan een getal kan meestal na enige inspanning worden gezien of dit deelbaar is door een priemgetal.
Een geheel getal is deelbaar door een ander geheel getal als bij de deling de rest 0 is. Zo is 35 deelbaar door 5, want 35 : 5 = 7 rest 0.
Het getal 38 is niet deelbaar door 7, want 38 : 7 = 5 rest 2.
Om de deelbaarheid van een geheel getal te kunnen achterhalen, bestaan eenvoudige middelen : de zogeheten

• kenmerken van deelbaarheid.

Dit nagaan van de deelbaarheid zal zich uitstrekken tot de deelbaarheid van een getal door 11.

Deelbaarheid door 2

• Een getal is deelbaar door 2, als het laatste cijfer een even cijfer is, namelijk 0, 2, 4, 6 of 8.

Voorbeeld 1

Het getal 123456 is deelbaar door 2 , want 6 is deelbaar door 2

Deelbaarheid door 3

• Een getal is deelbaar door 3, als de som van de cijfers deelbaar is door 3.

Voorbeeld 2

Het getal 12345 is deelbaar door 3 , want 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 15 is deelbaar door 3

Deelbaarheid door 4

• Voor getallen bestaande uit twee of meer cijfers is de deelbaarheid door 4 eenvoudig vast te stellen, als het getal van de laatste twee cijfers deelbaar is door 4.

Voorbeeld 3

Het getal 123456 is deelbaar door 4, want 56 is deelbaar door 4

Deelbaarheid door 5

• Een getal is deelbaar door 5, als het laatste cijfer deelbaar is door 5.

Voorbeeld 4

Het getal 12345 is deelbaar door 5, want het laatste cijfer = 5

• Merk op, dat het getal 12345 uit Voorbeeld 2 zowel deelbaar is door 3, als door 5, zodat het getal

12345 deelbaar is door 15

Deelbaarheid door 6

• Een getal is deelbaar door 6, als het getal zowel door 2 als door 3 deelbaar is.
• Merk op, dat het getal 123456 uit Voorbeeld 1, zowel deelbaar is door 2 als door 3, dus door 6.

Deelbaarheid door 7

• Voor getallen >100 is de deelbaarheid door 7, vast te stellen, als het getal, dat wordt verkregen door het laatste cijfer weg te laten en 2 maal af te trekken van het getal gevormd door de overblijvende cijfers.

Voorbeeld 5

Het getal 476 is deelbaar door 7 , want 47 - ( 2 • 6 ) = 35 35 is deelbaar door 7

Deelbaarheid door 8

• Voor getallen bestaande uit drie of meer cijfers, is de deelbaarheid door 8 eenvoudig vast te stellen, als het getal van de laatste drie cijfers deelbaar is door 8.

Voorbeeld 6

Het getal 123456 is deelbaar door 8, want 456 is deelbaar door 8

Deelbaarheid door 9

• Een getal is deelbaar door 9 , als de som van de cijfers deelbaar is door 9.

Voorbeeld 7

Het getal 44424 is deelbaar door 9 , want 4 + 4 + 4 + 2 + 4 = 18 18 is deelbaar door 9

• Merk op, dat het getal 44424 uit Voorbeeld 7, zowel deelbaar is door 9 als door 8, dus door 72.

Deelbaarheid door 10

• Een getal is deelbaar door 10, als het laatste getal een 0 is.

Deelbaarheid door 11

• Een getal is deelbaar door 11, als de som van de cijfers op de oneven plaatsen min de de som van de cijfers op de even plaatsen 0 is of deelbaar is door 11.

Voorbeeld 8

Het getal 1617 is deelbaar door 11 , want ( 7 + 6 ) - ( 1 + 1 ) = 11

Worteltrekken door ontbinden in factoren

Soms kan het worteltrekken op een eenvoudiger manier worden uitgevoerd, dan is omschreven in Rekenkunde ( 3 ).
Het blijkt, dat - door gebruik te maken van het ontbinden in factoren - het oplossen van wortelvormen sneller kan verlopen.
Voorbeeld 9

• √ 63504

63504 = 2 • 31752 63504 = 2 • 2 • 11907 63504 = 2 2 • 2 • 15876 63504 = 2 3 • 2 • 7938 63504 = 2 4 • 2 • 3969 63504 = 2 4 • 3 • 1323 63504 = 2 4 • 3 • 3 • 441 63504 = 2 4 • 3 2 • 3 • 147 63504 = 2 4 • 3 3 • 3 • 49 63504 = 2 4 • 3 4 • 7 • 7 63504 = 2 4 • 3 4 • 7 2

• De vorm √ 63504 is nu teruggebracht tot √ 2 ⁴ • 3 ⁴ • 7 ² , waarvan de uitkomst dus is :

2 ² • 3 ² • 7 = 4 • 9 • 7 = 252

Procent en promille

In economische beschouwingen en in elektrotechnische en andere vakgebieden, wordt vaak met procenten ( = percentages ) van getallen gewerkt. Ook promillages komen hierbij aan de orde.

Procent

De aanduiding procent ( % ) of percent betekent letterlijk : een deel per honderd = ¹ / ₁₀₀ = 0,01.
Voorbeeld 10

75% van 144 = 3 / 4 van 144 = 3 • 144 / 4 = 108

Promille

De aanduiding promille ( ‰ ) betekent letterlijk : een deel per duizend = ¹ / ₁₀₀₀ = 0,001.
In de chemie komen promillages vrij geregeld voor.
Voorbeeld 11

2 2 / 3 ‰ van 900 = 8 / 3 • 900 / 1000 = 2 2 / 5 = 2,4

Verhoudingen en evenredigheden

Verhoudingen

In de afbeeldingen wordt duidelijk gemaakt wat bedoeld wordt met verhoudingen.
De verhouding in de 1 ^e afbeelding is gelijk aan de verhouding in de 2 ^e afbeelding.

Evenredigheden

Een evenredigheid geeft de gelijkheid aan van twee verhoudingen.
Voorbeeld 12 :

1 : 3 = 2 : 6

Van deze evenredigheid zijn:

1 en 2 de termen van de eerste reden 3 en 6 de termen van de tweede reden 3 en 2 de middelste termen 1 en 6 de buitenste termen

Eigenschappen

Gelijkblijvende evenredigheid

Als de termen van de eerste reden met eenzelfde getal worden vermenigvuldigd of worden gedeeld, dan verandert dit niets aan de evenredigheid. Hetzelde geldt voor de termen van de tweede reden.

Voorbeeld 13 :

1 : 3 = 2 : 6 wordt na vermenigvuldiging met 5 : 1 • 5 : 3 • 5 = 2 : 6 of na deling door 5 : 1 / 5 : 3 / 5 = 2 : 6

Als bij de 1 ^e term van de eerste reden de 1 ^e term van de tweede reden wordt opgeteld, en 2 ^e term van de eerste reden de 2 e term van de tweede reden wordt opgeteld, dan verandert dit niets aan de evenredigheid.

Voorbeeld 14 :

1 : 3 = 2 : 6 wordt : ( 1 + 2 ) : ( 3 + 6 ) = 2 : 6

Verandering van de evenredigheid

Een verandering van de evenredigheid treedt op, als de termen van de eerste reden worden opgeteld, en ook de termen van de tweede reden.

Voorbeeld 15 :

1 : 3 = 2 : 6 wordt : ( 1 + 3 ) : ( 2 + 6 ) = 1 : 2 = 3 : 6

Vierde evenredige

Als de buitenste termen van een verhouding met elkaar worden vermenigvuldigd en ook de binnenste termen met elkaar worden vermenigvuldigd, dan is het product daarvan gelijk.

Voorbeeld 15 :

3 : 5 = 9 : 15 dit wordt dan : 3 • 15 = 45 en 5 • 9 = 45

Deze eigenschap wordt ook wel de hoofdeigenschap van de evenredigheden genoemd.

Middelevenredige

Bij de middelevenredige zijn de middelste termen aan elkaar gelijk.

Voorbeeld 16 :

3 : 9 = 9 : 27 dit wordt bij toepassing van de 4 e evenredige : 9 • 9 = 81 en 3 • 27 = 81

Als bij een vraagstuk de middelste termen niet bekend zijn, dan kunnen deze eenvoudig worden vastgesteld.

Voorbeeld 17 :

De onbekende middelste termen noemt men : x 6 : x = x : 150 dit wordt : x 2 = 6 • 150 = 900 waardoor : x = √ 900 = 30

Met de invoering van X als vervanging van een getal, wordt een ander gebied betreden, namelijk de Algebra.

De serie artikelen over Rekenkunde wordt om die reden hier afgesloten.

Het vak Algebra wordt vaak toegepast bij technische vraagstukken die ingewikkelde beredeneringen

met zich meebrengen en daardoor vaak tot lange becijferingen met grote getallen leiden.

Dit is de belangrijkste reden waarom bij Algebra naast cijfers ook letters worden gebruikt.

Links

• Rekenkunde ( 1 ) : Optellen en aftrekken
• Rekenkunde ( 2 ) : Vermenigvuldigen, delen en worteltrekken
• Rekenkunde ( 3 ) : Machtsverheffen; worteltrekken
• Rekenkunde ( 4 ) : Volgorde van de bewerkingen; decimale getallen
• Rekenkunde ( 5 ) : Bewerkingen met breuken;
• Rekenkunde ( 6 ) : Samengestelde breuken; KGV en GGD; ontbinden in factoren; Hoofdstelling van de Rekenkunde