Gebruiker:O/ Oneindigheid van de priemgetallen

Er zijn oneindig veel priemgetallen. Het oudst bekende bewijs voor deze uitspraak, waaraan soms wordt gerefereerd als de stelling van Euclides, wordt toegeschreven aan de Oud-Griekse wiskundige Euclides. Euclides drukte zijn resultaat als volgt uit: "er zijn meer dan enig gegeven [eindig] aantal priemgetallen".

Zie Stelling van Euclides voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Euler's bewijs

Een ander bewijs, door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, is gebaseerd op de hoofdstelling van de rekenkunde: dat elk getal heeft een unieke priemfactorisatie. Als P is de verzameling van alle priemgetallen, Euler schreef dat:

<math>\prod_{p\in P} \frac{1}{1-1/p}=\prod_{p\in P} \sum_{k\geq 0} \frac{1}{p^k}=\sum_n\frac{1}{n}.</math>

De eerste gelijkheid wordt berekend met de formule van een meetkundige reeks in elke term van het product. De tweede gelijkheid is een speciaal geval van de Euler product formule voor de Riemann Zeta-functie. Om dit aan te tonen, schrijven we het product uit:

<math>

\begin{align} \prod_{p\in P} \sum_{k\geq 0} \frac{1}{p^k} & = \sum_{k\geq 0} \frac{1}{2^k} \times \sum_{k\geq 0} \frac{1}{3^k}\times\sum_{k\geq 0} \frac{1}{5^k}\times\sum_{k\geq 0} \frac{1}{7^k}\times\cdots \\[8pt] & =\sum_{k,\ell,m,n,\cdots \geq 0} \frac{1}{2^k 3^\ell 5^m 7^n \cdots}=\sum_n\frac{1}{n} \end{align} </math>

Uiteindelijk blijkt elk product van priemgetallen precies één keer voor te komen en door de hoofdstelling van de rekenkunde is de som gelijk aan de som over alle gehele getallen.

De som aan de rechterkant is de harmonische reeks, die oneindig doorgaat. Dus het product aan de linkerkant moet ook oneindig doorgaan. Aangezien elke term van het product eindig is, moet het aantal termen oneindig zijn; Daarom is er een oneindig aantal priemgetallen.