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Gebruiker:Lidewij/Geavanceerde bewerkingen met de logische nor

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Op de booleaanse operator logische nor zijn enkele geavanceerde operaties mogelijk, die in dit artikel worden weergegeven.

Eigenschap: geen distributiviteit tegenover willekeurige tweeplaatsige Booleaanse bewerkingen

Hieronder wordt toegelicht dat de 'logische nor' niet tegenover iedere binaire booleaanse functie de distributieve eigenschap heeft.

  • Veronderstel dat "<math>_{B}\!</math>" een willekeurige tweeplaatsige Booleaanse bewerking voorstelt waartegenover "<math>_{\downarrow}\!</math>" distributief is. Dan geldt "<math>_{r\downarrow(q B p)=(r\downarrow q)B(r\downarrow p)}\!</math>".
  • Laat "r" de waarde "0" aannemen, dan gaat de betrekking over in "<math>_{0\downarrow(q B p)=(0\downarrow q)B(0\downarrow p)}\!</math>" of ook "<math>_{\sim(q B p)=(\sim q)B(\sim p)}\!</math>" wat weer hetzelfde is als "<math>_{q B p=\sim((\sim q)B(\sim p))}\!</math>". Dit betekent dat "<math>_{0 B 0=\sim(1B1)}\!</math>" en "<math>_{0 B 1=\sim(1B0)}\!</math>".
  • Laat "r" de waarde "1" aannemen, dan gaat de betrekking over in "<math>_{1\downarrow(q B p)=(1\downarrow q)B(1\downarrow p)}\!</math>" of ook "<math>_{0=0B0}\!</math>".
  • Samenvattend geldt dus "<math>_{0=0B0}\!</math>" "<math>_{0 B 1=\sim(1B0)}\!</math>" en "<math>_{1=1B1}\!</math>" wat tot 2 oplossingen "<math>_{B=B_{1010}}\!</math>" en "<math>_{B=B_{1100}}\!</math>" aanleiding geeft.
  • Dit zijn specifieke tweeplaatsige Booleaanse bewerkingen met de eigenschappen "<math>_{qB_{_{1010}}p= B_{_{10}}p=p}\!</math>" en "<math>_{qB_{_{1100}}p=B_{_{10}}q=q}\!</math>"
  • Er geldt dus geen distributiviteit van "<math>_{\downarrow}\!</math>" tegenover geheel willekeurige tweeplaatsige Booleaanse bewerkingen.

NOCH-bewerking met als invoerwaarden Booleaanse bewerkingen

<math>_{y}\!</math>
<math>_{1}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math>
<math>_{0}\!</math> <math>_{1}\!</math> <math>_{0}\!</math>
<math>_{y\downarrow x}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{1}\!</math> <math>_{x}\!</math>
<math>_{y}\!</math>
<math>_{1}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math>
<math>_{\mathbf{\sim}p}\!</math> <math>_{p}\!</math> <math>_{p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math>
<math>_{p}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim}p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim}p}\!</math> <math>_{0}\!</math>
<math>_{0}\!</math> <math>_{1}\!</math> <math>_{p}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim}p}\!</math> <math>_{0}\!</math>
<math>_{y\downarrow x}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim}p}\!</math> <math>_{p}\!</math> <math>_{1}\!</math> <math>_{x}\!</math>
<math>_{invoerwaarden}\!</math> <math>_{invoerwaarden}\!</math>
<math>_{\bullet\ constante\ (0-plaatsige\ bewerking)}\!</math> <math>_{\bullet\ constante\ (0-plaatsige\ bewerking)}\!</math>
<math>_{\bullet\ 1-plaatsige\ bewerking}\!</math>
<math>_{y}\!</math>
<math>_{1}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math>
<math>_{q _\vee p}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{0}\!</math>
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<math>_{p}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{0}\!</math>
<math>_{q _\leftrightarrow p}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftrightarrow} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftrightarrow} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftarrow} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftarrow} p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftrightarrow} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftrightarrow} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftarrow} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftarrow} p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math>
<math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q _\uparrow p}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftrightarrow} p}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim}q}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftarrow} p}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{q _\uparrow p}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftrightarrow} p}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim}q}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftarrow} p}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{0}\!</math>
<math>_{q _\uparrow p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math>
<math>_{q \tilde{\leftrightarrow} p}\!</math> <math>_{q _\leftrightarrow p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q _\leftrightarrow p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q _\leftrightarrow p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q _\leftrightarrow p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{0}\!</math>
<math>_{\mathbf{\sim} p}\!</math> <math>_{p}\!</math> <math>_{p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{p}\!</math> <math>_{p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftarrow} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftarrow} p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftarrow} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftarrow} p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math>
<math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{q _\rightarrow p}\!</math> <math>_{p}\!</math> <math>_{q _\leftrightarrow p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q _\rightarrow p}\!</math> <math>_{p}\!</math> <math>_{q _\leftrightarrow p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim}q}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftarrow} p}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim}q}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftarrow} p}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{0}\!</math>
<math>_{\mathbf{\sim}q}\!</math> <math>_{q}\!</math> <math>_{q}\!</math> <math>_{q}\!</math> <math>_{q}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math>
<math>_{q \tilde{\leftarrow} p}\!</math> <math>_{q _\leftarrow p}\!</math> <math>_{q}\!</math> <math>_{q _\leftarrow p}\!</math> <math>_{q}\!</math> <math>_{q _\leftrightarrow p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q _\leftrightarrow p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{0}\!</math>
<math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{q _\vee p}\!</math> <math>_{q _\vee p}\!</math> <math>_{q}\!</math> <math>_{q}\!</math> <math>_{p}\!</math> <math>_{p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftrightarrow} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftrightarrow} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftarrow} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftarrow} p}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{0}\!</math>
<math>_{0}\!</math> <math>_{1}\!</math> <math>_{q _\vee p}\!</math> <math>_{q _\leftarrow p}\!</math> <math>_{q}\!</math> <math>_{q _\rightarrow p}\!</math> <math>_{p}\!</math> <math>_{q _\leftrightarrow p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q _\uparrow p}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftrightarrow} p}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim}q}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftarrow} p}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{0}\!</math>
<math>_{y\downarrow x}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftarrow} p}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim}q}\!</math> <math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim} p}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftrightarrow} p}\!</math> <math>_{q _\uparrow p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{q _\leftrightarrow p}\!</math> <math>_{p}\!</math> <math>_{q _\rightarrow p}\!</math> <math>_{q}\!</math> <math>_{q _\leftarrow p}\!</math> <math>_{q _\vee p}\!</math> <math>_{1}\!</math> <math>_{x}\!</math>
<math>_{invoerwaarden}\!</math>
<math>_{\bullet\ constante\ (0-plaatsige\ bewerking)}\!</math>
<math>_{\bullet\ 1-plaatsige\ bewerking}\!</math>
<math>_{\bullet\ 2-plaatsige\ bewerking}\!</math>
  • Als we in de tabel met constanten deze constanten door hun overeenkomstige voorstelling als 0-plaatsige Booleaanse bewerking "<math>_{B_{x}=x}\!</math>" ("<math>_{B_{0}=0}\!</math>" "<math>_{B_{1}=1}\!</math>") vervangen, dan is de tabel de vertolking van de formule:
<math> _\forall</math><math>\scriptstyle x</math>
<math> _\forall</math><math>\scriptstyle x'</math>
<math>B_{x \downarrow x'}=</math> <math>\scriptstyle B_{x} \downarrow B_{x'}</math>
  • Als we in de tabel met bewerkingen met hoogstens 1 invoerwaarde deze bewerkingen door hun overeenkomstige voorstelling als 1-plaatsige Booleaanse bewerking met bewerkingsteken "<math>_{B_{yx}}\!</math>" ("<math>_{B_{_{00}}p=0}\!</math>" "<math>_{B_{_{01}}p=\sim p}\!</math>" "<math>_{B_{_{10}}p=p}\!</math>" "<math>_{B_{_{11}}p=1}\!</math>") vervangen, dan is de tabel de vertolking van de formule:
<math> _\forall</math><math>\scriptstyle p</math>
<math> _\forall</math><math>\scriptstyle y</math>
<math> _\forall</math><math>\scriptstyle x</math>
<math> _\forall</math><math>\scriptstyle y'</math>
<math> _\forall</math><math>\scriptstyle x'</math>
<math>B_{(y \downarrow y')(x \downarrow x')}p</math> <math>\scriptstyle =</math>
<math>\scriptstyle B_{yx}p</math> <math> _\downarrow</math> <math>\scriptstyle B_{y'x'}p</math>
  • Als we in de tabel met bewerkingen met hoogstens 2 invoerwaarden deze bewerkingen door hun overeenkomstige voorstelling als 2-plaatsige Booleaanse bewerking met bewerkingsteken "<math>_{B_{tzyx}}\!</math>" ("<math>_{qB_{_{0000}}p=0}\!</math>" "<math>_{qB_{_{0001}}p=q _\downarrow p}\!</math>" "<math>_{qB_{_{0010}}p=q \tilde{\leftarrow} p}\!</math>" "<math>_{qB_{_{0011}}p=\sim q}\!</math>" "<math>_{qB_{_{0100}}p=q \tilde{\rightarrow} p}\!</math>" "<math>_{qB_{_{0101}}p=\sim p}\!</math>" "<math>_{qB_{_{0110}}p=q \tilde{\leftrightarrow} p}\!</math>" "<math>_{qB_{_{0111}}p=q \uparrow p}\!</math>" "<math>_{qB_{_{1000}}p=q \wedge p}\!</math>" "<math>_{qB_{_{1001}}p=q \leftrightarrow p}\!</math>" "<math>_{qB_{_{1010}}p=p}\!</math>" "<math>_{qB_{_{1011}}p=q \rightarrow p}\!</math>" "<math>_{qB_{_{1100}}p=q}\!</math>" "<math>_{qB_{_{1101}}p=q \leftarrow p}\!</math>" "<math>_{qB_{_{1111}}p=1}\!</math>") vervangen, dan is de tabel de vertolking van de formule:
<math> _\forall</math><math>\scriptstyle q</math>
<math> _\forall</math><math>\scriptstyle p</math>
<math> _\forall</math><math>\scriptstyle t</math>
<math> _\forall</math><math>\scriptstyle z</math>
<math> _\forall</math><math>\scriptstyle y</math>
<math> _\forall</math><math>\scriptstyle x</math>
<math> _\forall</math><math>\scriptstyle t'</math>
<math> _\forall</math><math>\scriptstyle z'</math>
<math> _\forall</math><math>\scriptstyle y'</math>
<math> _\forall</math><math>\scriptstyle x'</math>
<math>qB_{(t \downarrow t')(z \downarrow z')(y \downarrow y')(x \downarrow x')}p</math> <math>\scriptstyle =</math>
<math>\scriptstyle qB_{tzyx}p</math> <math> _\downarrow</math> <math>\scriptstyle qB_{t'z'y'x'}p</math>
  • De samenstelling van een 0-plaatsige Booleaanse bewerking "<math>_{B_{_{x}}}\!</math>", de NOCH-bewerking "<math>_{B_{_{0001}}=\downarrow}\!</math>" en nog een 0-plaatsige Booleaanse bewerking "<math>_{B_{_{x'}}}\!</math>"is een 0-plaatsige Booleaanse bewerking die we schrijven als "<math>_{B_{_{x}} \downarrow B_{_{x'}}}\!</math>".
  • De samenstelling van een 1-plaatsige Booleaanse bewerking "<math>_{B_{_{yx}}}\!</math>", de NOCH-bewerking "<math>_{B_{_{0001}}=\downarrow}\!</math>" en nog een 1-plaatsige Booleaanse bewerking "<math>_{B_{_{y'x'}}}\!</math>" is een 1-plaatsige Booleaanse bewerking die we schrijven als "<math>_{B_{_{yx}} \downarrow B_{_{y'x'}}}\!</math>" zodanig dat "<math>_{(B_{_{yx}} \downarrow B_{_{y'x'}})p=(B_{_{yx}}p) \downarrow (B_{_{y'x'}}p)}\!</math>":
<math>_{y}\!</math>
<math>_{B_{_{11}}}\!</math> <math>_{B_{_{00}}}\!</math> <math>_{B_{_{00}}}\!</math> <math>_{B_{_{00}}}\!</math> <math>_{B_{_{00}}}\!</math>
<math>_{\mathbf{\sim}}\!</math> <math>_{B_{_{10}}}\!</math> <math>_{B_{_{10}}}\!</math> <math>_{B_{_{00}}}\!</math> <math>_{B_{_{00}}}\!</math>
<math>_{B_{_{10}}}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim}}\!</math> <math>_{B_{_{00}}}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim}}\!</math> <math>_{B_{_{00}}}\!</math>
<math>_{B_{_{00}}}\!</math> <math>_{B_{_{11}}}\!</math> <math>_{B_{_{10}}}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim}}\!</math> <math>_{B_{_{00}}}\!</math>
<math>_{y\downarrow x}\!</math> <math>_{B_{_{00}}}\!</math> <math>_{\mathbf{\sim}}\!</math> <math>_{B_{_{10}}}\!</math> <math>_{B_{_{11}}}\!</math> <math>_{x}\!</math>
  • De samenstelling van een 2-plaatsige Booleaanse bewerking "<math>_{B_{_{tzyx}}}\!</math>", de NOCH-bewerking "<math>_{B_{_{0001}}=\downarrow}\!</math>" en nog een 2-plaatsige Booleaanse bewerking "<math>_{B_{_{t'z'y'x'}}}\!</math>" is een 2-plaatsige Booleaanse bewerking die we schrijven als "<math>_{B_{_{tzyx}} \downarrow B_{_{t'z'y'x'}}}\!</math>" zodanig dat "<math>_{q(B_{_{tzyx}} \downarrow B_{_{t'z'y'x'}})p=(qB_{_{tzyx}}p) \downarrow (qB_{_{t'z'y'x'}}p)}\!</math>":
<math>_{y}\!</math>
<math>_{B_{_{1111}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math>
<math>_{_\vee}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math>
<math>_{_\leftarrow}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math>
<math>_{B_{_{1100}}}\!</math> <math>_{B_{_{0011}}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0011}}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0011}}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0011}}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math>
<math>_{_\rightarrow}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math>
<math>_{B_{_{1010}}}\!</math> <math>_{B_{_{0101}}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{B_{_{0101}}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0101}}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{B_{_{0101}}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math>
<math>_{_\leftrightarrow}\!</math> <math>_{\tilde{\leftrightarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftrightarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftrightarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftrightarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math>
<math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{_\uparrow}\!</math> <math>_{\tilde{\leftrightarrow}}\!</math> <math>_{B_{_{0101}}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{B_{_{0011}}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{_\uparrow}\!</math> <math>_{\tilde{\leftrightarrow}}\!</math> <math>_{B_{_{0101}}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{B_{_{0011}}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math>
<math>_{_\uparrow}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math>
<math>_{\tilde{\leftrightarrow}}\!</math> <math>_{_\leftrightarrow}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{_\leftrightarrow}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{_\leftrightarrow}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{_\leftrightarrow}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math>
<math>_{B_{_{0101}}}\!</math> <math>_{B_{_{1010}}}\!</math> <math>_{B_{_{1010}}}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{B_{_{1010}}}\!</math> <math>_{B_{_{1010}}}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math>
<math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{_\rightarrow}\!</math> <math>_{B_{_{1010}}}\!</math> <math>_{_\leftrightarrow}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{_\rightarrow}\!</math> <math>_{B_{_{1010}}}\!</math> <math>_{_\leftrightarrow}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{B_{_{0011}}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0011}}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math>
<math>_{B_{_{0011}}}\!</math> <math>_{B_{_{1100}}}\!</math> <math>_{B_{_{1100}}}\!</math> <math>_{B_{_{1100}}}\!</math> <math>_{B_{_{1100}}}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math>
<math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{_\leftarrow}\!</math> <math>_{B_{_{1100}}}\!</math> <math>_{_\leftarrow}\!</math> <math>_{B_{_{1100}}}\!</math> <math>_{_\leftrightarrow}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{_\leftrightarrow}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{B_{_{0101}}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{B_{_{0101}}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math>
<math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{_\vee}\!</math> <math>_{_\vee}\!</math> <math>_{B_{_{1100}}}\!</math> <math>_{B_{_{1100}}}\!</math> <math>_{B_{_{1010}}}\!</math> <math>_{B_{_{1010}}}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{\tilde{\leftrightarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftrightarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math>
<math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{B_{_{1111}}}\!</math> <math>_{_\vee}\!</math> <math>_{_\leftarrow}\!</math> <math>_{B_{_{1100}}}\!</math> <math>_{_\rightarrow}\!</math> <math>_{B_{_{1010}}}\!</math> <math>_{_\leftrightarrow}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{_\uparrow}\!</math> <math>_{\tilde{\leftrightarrow}}\!</math> <math>_{B_{_{0101}}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{B_{_{0011}}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math>
<math>_{y\downarrow x}\!</math> <math>_{B_{_{0000}}}\!</math> <math>_{_\downarrow}\!</math> <math>_{\tilde{\leftarrow}}\!</math> <math>_{B_{_{0011}}}\!</math> <math>_{\tilde{\rightarrow}}\!</math> <math>_{B_{_{0101}}}\!</math> <math>_{\tilde{\leftrightarrow}}\!</math> <math>_{_\uparrow}\!</math> <math>_{_\wedge}\!</math> <math>_{_\leftrightarrow}\!</math> <math>_{B_{_{1010}}}\!</math> <math>_{_\rightarrow}\!</math> <math>_{B_{_{1100}}}\!</math> <math>_{_\leftarrow}\!</math> <math>_{_\vee}\!</math> <math>_{B_{_{1111}}}\!</math> <math>_{x}\!</math>
  • Toepassing: alle booleaanse bewerkingen met hoogstens twee invoerwaarden kunnen als aaneenschakeling van NOCH-bewerkingen geschreven worden. Bewijs:
    • <math>\begin{matrix}_{qB_{_{0000}}p=B_{_{00}}p=B_{_{0}}=0}\end{matrix}\!</math>
      • maar<math>\begin{matrix}_{B_{_{00}}p=(B_{_{10}\downarrow}B_{_{01}})p=(B_{_{10}\downarrow}(B_{_{10}\downarrow}B_{_{10}}))p=B_{_{10}}p_{\downarrow}(B_{_{10}\downarrow}B_{_{10}})p=B_{_{10}}p_{\downarrow}(B_{_{10}}p_{\downarrow}B_{_{10}}p)=p_{\downarrow}(p_{\downarrow}p)}\end{matrix}\!</math> zodat
      • <math>\begin{matrix}_{qB_{_{0000}}p=p_{\downarrow}(p_{\downarrow}p)}\end{matrix}\!</math>
      • <math>\begin{matrix}_{B_{_{00}}p=p_{\downarrow}(p_{\downarrow}p)}\end{matrix}\!</math>
      • <math>\begin{matrix}_{B_{_{0}}=p_{\downarrow}(p_{\downarrow}p)}\end{matrix}\!</math>
      • <math>\begin{matrix}_{0=p_{\downarrow}(p_{\downarrow}p)}\end{matrix}\!</math>
    • <math>_{qB_{_{0001}}p=q_{\downarrow}p}\!</math>
    • <math>\begin{matrix}_{qB_{_{0010}}p=q \tilde{\leftarrow} p}\end{matrix}\!</math>
      • maar <math>_{B_{_{0010}} = B_{_{1100} \downarrow} B_{_{0001}}}\!</math> wat inhoudt dat <math>_{qB_{_{0010}} p =q(B_{_{1100} \downarrow \downarrow})p= (qB_{_{1100}}p) _{\downarrow} (q _{\downarrow}p)= q _{\downarrow} (q _{\downarrow}p)}\!</math> zodat
      • <math>\begin{matrix}_{qB_{_{0010}}p=q _{\downarrow} (q _{\downarrow}p)}\end{matrix}\!</math>
      • <math>\begin{matrix}_{q \tilde{\leftarrow} p=q _{\downarrow} (q _{\downarrow}p)}\end{matrix}\!</math>
    • <math>\begin{matrix}_{qB_{_{0011}}p=B_{_{01}}q=\sim q}\end{matrix}\!</math>
      • maar <math>_{B_{_{0011}} = B_{_{1100} \downarrow} B_{_{1100}}}\!</math> wat inhoudt dat <math>_{q B_{_{0011}} p= q(B_{_{1100} \downarrow} B_{_{1100}})p= (qB_{_{1100}}p) _{\downarrow} (q B_{_{1100}}p)= q _{\downarrow} q }\!</math> zodat
      • <math>\begin{matrix}_{qB_{_{0011}}p=q _{\downarrow} q}\end{matrix}\!</math>
      • <math>\begin{matrix}_{B_{_{01}}q=q _{\downarrow} q}\end{matrix}\!</math>
      • <math>\begin{matrix}_{\sim q=q _{\downarrow} q}\end{matrix}\!</math>
    • <math>\begin{matrix}_{qB_{_{0100}}p=q \tilde{\rightarrow} p}\end{matrix}\!</math>
      • maar <math>_{B_{_{0100}} = B_{_{1010} \downarrow} B_{_{0001}}}\!</math> wat inhoudt dat <math>_{q B_{_{0100}} p= q(B_{_{1010} \downarrow \downarrow})p= (qB_{_{1010}}p) _{\downarrow} (q _{\downarrow}p)= p _{\downarrow} (q _{\downarrow}p)}\!</math> zodat
      • <math>\begin{matrix}_{qB_{_{0100}}p=p _{\downarrow} (q _{\downarrow}p)}\end{matrix}\!</math>
      • <math>\begin{matrix}_{q \tilde{\rightarrow} p=p _{\downarrow} (q _{\downarrow}p)}\end{matrix}\!</math>
    • <math>\begin{matrix}_{qB_{_{0101}}p=B_{_{01}}p=\sim p}\end{matrix}\!</math>
      • maar <math>_{B_{_{0101}} = B_{_{1010} \downarrow} B_{_{1010}}}\!</math> wat inhoudt dat <math>_{q B_{_{0101}} p= q(B_{_{1010} \downarrow} B_{_{1010}})p= (qB_{_{1010}}p) _{\downarrow} (q B_{_{1010}}p)= p _{\downarrow} p }\!</math> zodat
      • <math>\begin{matrix}_{qB_{_{0101}}p=p _{\downarrow} p}\end{matrix}\!</math>
      • <math>\begin{matrix}_{B_{_{01}}p=p _{\downarrow} p}\end{matrix}\!</math>
      • <math>\begin{matrix}_{\sim p=p _{\downarrow} p}\end{matrix}\!</math>
    • <math>\begin{matrix}_{qB_{_{0110}}p=q \tilde{\leftrightarrow} p}\end{matrix}\!</math>
      • maar <math>_{B_{_{0110}} = B_{_{1000} \downarrow} B_{_{0001}} = {(B_{_{0101} \downarrow} B_{_{0011}}) \downarrow \downarrow}= {((B_{_{1010} \downarrow} B_{_{1010}}) _{\downarrow} (B_{_{1100} \downarrow}B_{_{1100}})) \downarrow \downarrow}}\!</math> wat inhoudt dat <math>\begin{matrix}_{qB_{_{0110}}p= {q(((B_{_{1010} \downarrow} B_{_{1010}}) _{\downarrow} (B_{_{1100} \downarrow}B_{_{1100}})) \downarrow \downarrow})p}\\_{= {(q((B_{_{1010} \downarrow} B_{_{1010}}) _{\downarrow} (B_{_{1100} \downarrow}B_{_{1100}}))p) \downarrow} (q _{\downarrow}p)}\\_{= {((q(B_{_{1010} \downarrow} B_{_{1010}})p) _{\downarrow} (q(B_{_{1100} \downarrow}B_{_{1100}})p)) \downarrow} (q _{\downarrow}p) }\\_{={(((qB_{_{1010}}p) _{\downarrow} (qB_{_{1010}}p)) _{\downarrow} ((qB_{_{1100}})p _{\downarrow} (qB_{_{1100}}p))) \downarrow} (q _{\downarrow}p)}\\_{={((p _{\downarrow} p) _{\downarrow} (q _{\downarrow} q)) \downarrow} (q _{\downarrow}p)}\end{matrix}\!</math>
      • zodat
      • <math>\begin{matrix}_{qB_{_{0110}}p={((p _{\downarrow} p) _{\downarrow} (q _{\downarrow} q)) \downarrow} (q _{\downarrow}p)}\end{matrix}\!</math>
      • <math>\begin{matrix}_{q \tilde{\leftrightarrow} p={((p _{\downarrow} p) _{\downarrow} (q _{\downarrow} q)) \downarrow} (q _{\downarrow}p)}\end{matrix}\!</math>
    • <math>\begin{matrix}_{qB_{_{0111}}p=q _\uparrow p}\end{matrix}\!</math>
      • maar <math>_{B_{_{0111}} = B_{_{1000} \downarrow} B_{_{0000}} = {(B_{_{0101} \downarrow} B_{_{0010}}) \downarrow B_{_{0000}}}}\!</math> wat inhoudt dat <math>_{q B_{_{0111}} p= {(q(B_{_{0101} \downarrow} B_{_{0010}})p) \downarrow (qB_{_{0000}}p)}= {((qB_{_{0101}}p) _{\downarrow} (qB_{_{0010}}p)) \downarrow (qB_{_{0000}}p)}= {((p _{\downarrow} p) _{\downarrow} (q _{\downarrow} (q _{\downarrow}p))) \downarrow (p_{\downarrow}(p_{\downarrow}p))}}\!</math> zodat
      • <math>\begin{matrix}_{qB_{_{0111}}p= {((p _{\downarrow} p) _{\downarrow} (q _{\downarrow} (q _{\downarrow}p))) \downarrow (p_{\downarrow}(p_{\downarrow}p))}}\end{matrix}\!</math>
      • <math>\begin{matrix}_{q _\uparrow p= {((p _{\downarrow} p) _{\downarrow} (q _{\downarrow} (q _{\downarrow}p))) \downarrow (p_{\downarrow}(p_{\downarrow}p))}}\end{matrix}\!</math>
    • <math>\begin{matrix}_{qB_{_{1000}}p=q _\wedge p}\end{matrix}\!</math>
      • maar <math>_{B_{_{1000}} = B_{_{0101} \downarrow} B_{_{0011}}}\!</math> wat inhoudt dat <math>_{q B_{_{1000}} p= {q(B_{_{0101} \downarrow} B_{_{0011}})p}= {(qB_{_{0101}}p) _{\downarrow} (qB_{_{0011}}p)}= {(p _{\downarrow} p) _{\downarrow} (q _{\downarrow} q)}}\!</math> zodat
      • <math>\begin{matrix}_{qB_{_{1000}}p= {(p _{\downarrow} p) _{\downarrow} (q _{\downarrow} q )}}\end{matrix}\!</math>
      • <math>\begin{matrix}_{q _\wedge p= {(p _{\downarrow} p) _{\downarrow} (q _{\downarrow} q )}}\end{matrix}\!</math>
    • <math>_{B_{_{10}}p=(B_{_{01}\downarrow}B_{_{01}})p=((B_{_{10}\downarrow}B_{_{10}}) _{\downarrow}(B_{_{10}\downarrow}B_{_{10}}))p=(B_{_{10}\downarrow}B_{_{10}})p _{\downarrow}(B_{_{10}\downarrow}B_{_{10}})p=(B_{_{10}}p _{\downarrow}B_{_{10}}p) _{\downarrow}(B_{_{10}}p _{\downarrow}B_{_{10}}p)=(p _{\downarrow}p) _{\downarrow}(p _{\downarrow}p)}\!</math>
    • <math>_{B_{_{11}}p=(B_{_{00}\downarrow}B_{_{00}})p=B_{_{00}}p _{\downarrow}B_{_{00}}p=(p_{\downarrow}(p_{\downarrow}p)) _{\downarrow}(p_{\downarrow}(p_{\downarrow}p))}\!</math>
    • <math>_{ _\vee = B_{_{1110}} = B_{_{0001} \downarrow} B_{_{0001}} = _{\downarrow \downarrow \downarrow}}\!</math> wat inhoudt dat <math>_{q _\vee p= (q_\downarrow p) _\downarrow (q _\downarrow p)}\!</math>
    • <math>\begin{matrix}_{qB_{_{1111}}p=B_{_{11}}p=B_{_{1}}=1}\end{matrix}\!</math>
      • maar <math>_{B_{_{1}}=1=B_{_{0}\downarrow}B_{_{0}}=(p_{\downarrow}(p_{\downarrow}p)_{\downarrow}(p_{\downarrow}(p_{\downarrow}p)}\!</math> zodat
      • <math>_{qB_{_{1111}}p=(p_{\downarrow}(p_{\downarrow}p)_{\downarrow}(p_{\downarrow}(p_{\downarrow}p)}\!</math>
      • <math>_{B_{_{11}}p=(p_{\downarrow}(p_{\downarrow}p)_{\downarrow}(p_{\downarrow}(p_{\downarrow}p)}\!</math>
      • <math>_{B_{_{1}}=(p_{\downarrow}(p_{\downarrow}p)_{\downarrow}(p_{\downarrow}(p_{\downarrow}p)}\!</math>
      • <math>_{1=(p_{\downarrow}(p_{\downarrow}p)_{\downarrow}(p_{\downarrow}(p_{\downarrow}p)}\!</math>

Vereenvoudiging aaneenschakelingen van NOCH-bewerkingen

  • Alle andere Booleaanse bewerkingen met hoogstens twee invoerwaarden en uiteraard ook de NOCH-bewerking zelf kunnen met behulp van enkel NOCH-bewerkingsuitvoeringen uitgedrukt worden (naar verluidt voor het eerst aangetoond door Charles Peirce):
  • Voor het neerschrijven van een aaneenschakeling van NOCH-bewerkingsuitvoeringen wordt in de volgende tabel rekening gehouden met de commutatieve eigenschap en het hier gebezigde begrip "rang van een aaneenschakeling van NOCH-bewerkingsuitvoeringen", bedoeld om een ordening van aaneenschakelingen van NOCH-bewerkingsuitvoeringen te bewerkstelligen :
    • elke aaneenschakeling van NOCH-bewerkingsuitvoeringen valt noodzakelijk uiteen in een aaneenschakeling van NOCH-bewerkingsuitvoeringen als linkerinvoerwaarde gevolgd door één NOCH-bewerkingsteken gevolgd door een aaneenschakeling van NOCH-bewerkingsuitvoeringen als rechterinvoerwaarde.
    • van twee aaneenschakelingen is die met een groter aantal NOCH-bewerkingstekens van hogere rang dan die met een kleiner aantal NOCH-bewerkingstekens: "<math>_{(p _\downarrow q) _\downarrow q}\!</math>" heeft 2 NOCH-bewerkingstekens en is daarom hoger dan "<math>_{q _\downarrow q}\!</math>" die slechts één NOCH-bewerkingsteken heeft.
    • van twee aaneenschakelingen met een gelijk aantal NOCH-bewerkingstekens is de aaneenschakeling met de hoogste linkerinvoerwaarde de hoogste: "<math>_{((p _\downarrow q) _\downarrow q)_\downarrow q}\!</math>" met 3 NOCH-bewerkingstekens is hoger dan "<math>_{(q _\downarrow q) _\downarrow (p _\downarrow q)}\!</math>" met ook 3 NOCH-bewerkingstekens omdat haar linkerinvoerwaarde 2 NOCH-bewerkingstekens heeft terwijl de linkerinvoerwaarde van de tweede aaneenschakeling slechts 1 NOCH-bewerkingsteken heeft.
    • van twee aaneenschakelingen met een gelijk aantal NOCH-bewerkingstekens en gelijke linkerinvoerwaarden is de aaneenschakeling met de hoogste rechterinvoerwaarde de hoogste: "<math>_{p _\downarrow ((p _\downarrow q) _\downarrow q)}\!</math>" is hoger dan "<math>_{p _\downarrow (q _\downarrow q)}\!</math>" want ze hebben beiden "<math>_{p}\!</math>" als linkerinvoerwaarde en de rechterinvoerwaarde van de eerste aaneenschakeling heeft 2 NOCH-bewerkingstekens terwijl de rechterinvoerwaarde van de tweede aaneenschakeling 1 NOCH-bewerkingsteken heeft.
    • "<math>_{q}\!</math>" is hoger dan "<math>_{p}\!</math>": "<math>_{q _\downarrow p}\!</math>" is hoger dan "<math>_{p _\downarrow q}\!</math>", hoewel dezelfde betekenis hebbend (het gaat hier dus om de vorm), en "<math>_{q _\downarrow q}\!</math>" is hoger dan "<math>_{q _\downarrow p}\!</math>" hoger dan "<math>_{p _\downarrow p}\!</math>".
    • in de tabel staat binnen elke bewerkingsuitvoering de invoerwaarde met hogere rang links en die met lagere rang rechts.
    • in de tabel staan de aaneenschakelingen van lagere rang voorop.
<math>_{Uitwerking\ aaneenschakelingen\ van\ NOCH-bewerkingsuitvoeringen\ met\ enkel\ veranderlijken\ q\ en\ p}\!</math>
  • <math>_{aantal\ NOCH-bewerkingstekens\ in\ uit\ te\ werken\ aaneenschakeling\ is\ nul}\!</math>
<math>_{uit\ te\ werken\ aaneenschakeling}\!</math> <math>_{vereenvoudigd}\!</math> <math>_{uitgewerkt}\!</math> <math>_{omschrijving}\!</math>
<math>_{p}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{p}\!</math> <math>_{WEL\ p}\!</math>
<math>_{q}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{q}\!</math> <math>_{WEL\ q}\!</math>
  • <math>_{aantal\ NOCH-bewerkingstekens\ in\ uit\ te\ werken\ aaneenschakeling\ is\ \acute{e}\acute{e}n}\!</math>
<math>_{uit\ te\ werken\ aaneenschakeling}\!</math> <math>_{vereenvoudigd}\!</math> <math>_{uitgewerkt}\!</math> <math>_{omschrijving}\!</math>
<math>_{p _\downarrow p}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{\sim p}\!</math> <math>_{NIET\ p}\!</math>
<math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{q\ NOCH\ p}\!</math>
<math>_{q _\downarrow q}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{\sim q}\!</math> <math>_{NIET\ q}\!</math>
  • <math>_{aantal\ NOCH-bewerkingstekens\ in\ uit\ te\ werken\ aaneenschakeling\ is\ twee}\!</math>
<math>_{uit\ te\ werken\ aaneenschakeling}\!</math> <math>_{vereenvoudigd}\!</math> <math>_{uitgewerkt}\!</math> <math>_{omschrijving}\!</math>
<math>_{(p _\downarrow p) _\downarrow p}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{(\sim p) _\downarrow p}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{VALS}\!</math>
<math>_{(p _\downarrow p) _\downarrow q}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{(\sim p) _\downarrow q}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftarrow} p}\!</math> <math>_{q\ NIET\ MAAR\ p\ WEL}\!</math>
<math>_{(q _\downarrow p) _\downarrow p}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{q\ WEL\ MAAR\ p\ NIET}\!</math>
<math>_{(q _\downarrow p) _\downarrow q}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftarrow} p}\!</math> <math>_{q\ NIET\ MAAR\ p\ WEL}\!</math>
<math>_{(q _\downarrow q) _\downarrow p}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{(\sim q) _\downarrow p}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{q\ WEL\ MAAR\ p\ NIET}\!</math>
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  • <math>_{aantal\ NOCH-bewerkingstekens\ in\ uit\ te\ werken\ aaneenschakeling\ is\ drie}\!</math>
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  • Een uitwerking van alle Booleaanse bewerkingen als aaneenschakeling van NOCH-bewerkingsuitvoeringen:
<math>\begin{matrix}_{Een\ uitwerking\ van\ alle\ Booleaanse\ bewerkingen\ met\ hoogstens\ twee\ invoerwaarden}\\_{als\ aaneenschakeling\ van\ NOCH-bewerkingsuitvoeringen\ met\ veranderlijken\ q\ en\ p}\end{matrix}\!</math>
<math>_{Booleaanse\ bewerking}\!</math> <math>_{aaneenschakeling\ van\ NOCH-bewerkingsuitvoeringen}\!</math>
<math>_{VALS}\!</math> <math>_{0}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{(p _\downarrow p) _\downarrow p}\!</math>
<math>_{q\ NOCH\ p}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{q _\downarrow p}\!</math>
<math>_{q\ NIET\ MAAR\ p\ WEL}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftarrow} p}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{(p _\downarrow p) _\downarrow q}\!</math>
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<math>_{q\ WEL\ MAAR\ p\ NIET}\!</math> <math>_{q \tilde{\rightarrow} p}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{(q _\downarrow p) _\downarrow p}\!</math>
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<math>_{ENKEL\ q\ OF\ ENKEL\ p}\!</math> <math>_{q \tilde{\leftrightarrow} p}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{((q _\downarrow q) _\downarrow (p _\downarrow p)) _\downarrow (q _\downarrow p)}\!</math>
<math>_{q\ EN\ p\ NIET\ SAMEN}\!</math> <math>_{q _\uparrow p}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{((q _\downarrow q) _\downarrow (p _\downarrow p)) _\downarrow ((q _\downarrow q) _\downarrow (p _\downarrow p))}\!</math>
<math>_{q\ EN\ p}\!</math> <math>_{q _\wedge p}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{(q _\downarrow q) _\downarrow (p _\downarrow p)}\!</math>
<math>_{q\ GELIJKWAARDIG\ p}\!</math> <math>_{q _\leftrightarrow p}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{((q _\downarrow q) _\downarrow p) _\downarrow ((q _\downarrow p) _\downarrow q)}\!</math>
<math>_{WEL\ p}\!</math> <math>_{p}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{p}\!</math>
<math>_{UIT\ q\ VOLGT\ p}\!</math> <math>_{q \rightarrow p}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{((q _\downarrow p) _\downarrow p) _\downarrow ((q _\downarrow p) _\downarrow p)}\!</math>
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<math>_{q\ OF\ p}\!</math> <math>_{q _\vee p}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{(q _\downarrow p) _\downarrow (q _\downarrow p)}\!</math>
<math>_{WAAR}\!</math> <math>_{1}\!</math> <math>_{=}\!</math> <math>_{((p _\downarrow p) _\downarrow p)_\downarrow((p _\downarrow p) _\downarrow p)}\!</math>
  • De logische nand operator bezit ook dezelfde eigenschap om de andere Booleaanse bewerkingen (logische operaties) uit te drukken.
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