Wikisage is op 1 na de grootste internet-encyclopedie in het Nederlands. Iedereen kan de hier verzamelde kennis gratis gebruiken, zonder storende advertenties. De Koninklijke Bibliotheek van Nederland heeft Wikisage in 2018 aangemerkt als digitaal erfgoed.
- Wilt u meehelpen om Wikisage te laten groeien? Maak dan een account aan. U bent van harte welkom. Zie: Portaal:Gebruikers.
- Bent u blij met Wikisage, of wilt u juist meer? Dan stellen we een bescheiden donatie om de kosten te bestrijden zeer op prijs. Zie: Portaal:Donaties.
Eenvoudige voorstelling van de ruimtetijd
De ruimtetijd wordt vaak vereenvoudigd voorgesteld als een trampoline, die door de aarde wordt ingedrukt. Dit is echter wetenschappelijk verkeerd en kan niet worden gebruikt voor berekeningen of conclusies.[1] De gebruikelijke grafische vorm van de ruimtetijd is het Minkowski-diagram. Die heeft echter een scheef assenstelsel dat moeilijk is voor te stellen en waarin het lastig rekenen is. De ruimtetijd is ook weer te geven met een eenvoudige figuur, waarin de assen altijd loodrecht op elkaar staan, zoals gebruikelijk bij het weergeven van ruimtedimensies.[2][3] Hierdoor kunnen allerlei eigenschappen van de relativiteitstheorie met simpele wiskunde berekend worden. De voorstelling heeft wel zijn beperkingen. Zo heeft een "gebeurtenis" in ruimte en tijd geen vaste plaats. [4]
Ruimtetijd
In de ruimtetijd is de tijd een vierde dimensie. Door de tijd te vermenigvuldigen met de vaste lichtsnelheid c, krijgt de tijdas dezelfde dimensie "meter" als de ruimte-assen (s x m/s = meter). De figuur beperkt zich tot twee dimensies: de tijdas en één ruimte-as. Stel een waarnemer en een appel zweven naast elkaar in de ruimte (figuur 1). Omdat de tijd constant doorloopt, verplaatsen beide zich in de tijdas met de lichtsnelheid. Als de appel beweegt ten opzichte van de waarnemer, draait het hele assenstelsel van de appel (lichtblauw/grijs) ten opzichte van de waarnemer (blauw/zwart, figuur 2). Deze voorstelling heeft een aantal regels:
- Elke as staat loodrecht op alle andere assen, zoals gebruikelijk in de 3-dimensionale ruimte.
- Er wordt alleen gewerkt met vectoren. Een los punt heeft geen betekenis, dus een "gebeurtenis" in de ruimte en tijd heeft geen vaste plaats (in het Minkowski-diagram is dat wel het geval).
- Elk voorwerp verplaatst zich continu door de ruimtetijd met de lichtsnelheid. [5] De tijd t in de richting van de tijdas is in beide assenstelsels hetzelfde.
- Je mag de figuur alleen zien en berekenen vanuit één assenstelsel. [6] Alle bewegingen ontleed je dus naar die twee assen en dat is dan het enige wat bestaat.
Eenparige snelheid en tijdvertraging (tijddiletatie)
Als de appel zich met een vaste tijd ten opzichte van de waarnemer verplaatst, dan roteert dus zijn assenstelsel. Zijn t komt nu voor een deel terecht op de ruimte-as van de waarnemer (als beweging s = c.t2 = v.t) en de rest t1 op zijn tijdas (figuur 3). t1 is eenvoudig te berekenen en is altijd kleiner dan t. De waarnemer ziet de tijd van de appel (t1) langzamer verlopen (dan zijn eigen tijd t).
Tweelingparadox
Maar de appel ziet de waarnemer bewegen, en ziet dus de tijd van de waarnemer langzamer lopen. Dit is tegenstrijdig en staat bekend als de Tweelingparadox. Een eerste conclusie is dat als voorwerpen ten opzichte van elkaar bewegen, dat je niet eenvoudig hun tijden met elkaar mag vergelijken.
Stel dan dat appel terugkeert naar de waarnemer. Dan volgt uit figuur 4a dat de tijd van de appel inderdaad korter is dan de tijd van de waarnemer. Maar andersom, als de waarnemer achter de appel aangaat en hem ontmoet, dan zal zijn tijd korter zijn dan de tijd van de appel (figuur 4b).
Stel nu twee raketten (rood en groen) die met dezelfde snelheid maar tegengestelde richting van de aarde (zwart) vertrekken. Op een in aardse tijd gelijk tijdstip keren ze om. Als ze op aarde terug zijn, dan lopen hun klokken gelijk (wel minder dan de klok op aarde). Toch hebben ze volgens de relativiteitstheorie gedurende de hele reis de klok van de andere raket langzamer "zien lopen". De oplossing deze paradox is dat je tegen regel 4 in gaat: je werkt ongemerkt met verschillende assenstelsel. Als je consequent alles terug rekent naar één assenstelsel, zoals in figuur 4c het lichtbouw/grijze, dan zijn de tijden van beide raketten inderdaad aan elkaar gelijk (en korter dan de tijd op aarde). Als je een ander assenstelsel kiest krijg je hetzelfde resultaat.
Zwaartekracht: gekromde ruimtetijd
Als de appel en waarnemer stil hangen (als in figuur 1) maar in de buurt van de aarde komen, dan is de stelling van Einstein dat de massa van de aarde de ruimte-assen doet krommen. In figuur 5 is dit vereenvoudigd weergegeven door alleen de tijdas te krommen. De formule daarvan is y = x2/2R, waarin R de straal is van de krommingscirkel.[7] De waarnemer ziet steeds meer tijdbeweging van de appel in zijn ruimte-as, volgens de formule van de zwaartekracht.
Baan om de aarde
Het draaien van een baan rond de aarde is gewone mechanica. Figuur 6 is de situatie van figuur 5, maar met twee ruimte-assen. De appel beweegt verticaal naar de aarde. Als de appel ook een horizontale snelheid v heeft, dan volgt daaruit de formule van een cirkel (y=x2/2R).
Hoge snelheid - foton
Als de appel de lichtsnelheid benadert, dan is zijn assenstelsel bijna 90 graden gedraaid ten opzichte van de waarnemer. t1 wordt heel klein dus de waarnemer ziet de appel-tijd heel langzaam verlopen. Een foton is het laatste stapje: zijn tijdas valt helemaal samen met de ruimte-as van de waarnemer. De waarnemer ziet dus het foton in zijn ruimte verplaatsen met de lichtsnelheid, maar voor de waarnemer staat de tijd van het foton stil. Dit geldt natuurlijk niet voor het foton zelf. Die ziet gewoon eigen tijdas en in principe ook een 3D-ruimte loodrecht daarop.
Impuls
Impuls komt uit de klassieke natuurkunde en is P = m.v (masse x snelheid). Stel nu dat in de figuur dit ook op de tijdas geldt. Dan is de impuls op de tijdas P = m.v = m.c. Uit de relativiteitstheorie is bekend dat de impuls van een bewegend voorwerp P = m.v/(...) en dat wordt dan voor de appel Pa = m.c/(...) = m.c.t/t1 (zie figuur). De projectie hiervan op de tijdas van de waarnemer is dan Pw = Pa.t1/t = mc. Dat is hetzelfde als de appel niet zou bewegen. Daaruit volgt dat een voorwerp nooit de lichtsnelheid kan halen. Hoeveel impuls je ook toevoert, er blijft altijd de Pw = m.c op de waarnemer-tijdas. De tijdas van de appel kan nooit 90 graden verdraait zijn ten opzichte van de waarnemer-tijdas (dan zou Pw nul zijn).
Net als de snelheid is ook de impuls (en kinetische energie) relatief. Dus ook al beweegt de appel bijna met de lichtsnelheid ten opzichte van de waarnemer, met een grote impuls, de appel ziet toch zichzelf alsof hij stil hangt. Hij zou een pit weg kunnen schieten ook met bijna de lichtsnelheid.
Bronvermelding
Bronnen, noten en/of referenties:
- º Vincent Icke, "De zwaartekracht bestaat niet", pag. 54
- º http://www.relativity.li/en/epstein2/read
- º De voorstelling is gebaseerd op de uitleg van Brian Greene in "De ontrafeling van de kosmos" pag. 64
- º De voorstelling en onderstaande uitleg is bedoeld als eenvoudige demonstratie van de relativiteitstheorie op niveau MBO-wiskunde (de kogelbaan).
- º Brian Greene in "De ontrafeling van de kosmos" pag. 65
- º Brian Greene in "De ontrafeling van de kosmos" pag. 63
- º Dit is de formule van een cirkel als x = ~0. Dat gaat op voor deze afleiding en ook de volgende van de baan om de aarde
