Tangens en cotangens

Tangens en cotangens zijn in de wiskunde en meetkunde goniometrische functies. De naam tangens komt van 'raaklijn' in het Latijn (tangens betekent rakend). Het argument van de tangens en de cotangens wordt vaak gezien als een hoek en dat heeft te maken met de oorspronkelijke definitie van deze functies. De tangens was gedefinieerd als de verhouding van de overstaande en de aanliggende rechthoekszijde in een rechthoekige driehoek. Deze oorspronkelijke definitie beperkte echter het domein van het argument van 0° tot 90° (behalve 90° zelf, waar de tangens niet gedefinieerd is). De inverse functie van de tangens is de arctangens of boogtangens, die voor een gegeven waarde van de tangens als functiewaarde de oorspronkelijke hoek (tussen -90°en +90°) geeft.

Goniometrische cirkel

De functiewaarde van de tangens loopt van 0 tot ∞, voor een argument lopend van 0° tot 90°, en van -∞ terug naar 0 voor een argument lopend van 90° tot 180°; daarbuiten wordt de functie periodiek voortgezet. Daarnaast geldt dat tan(−α) = −tan(α).

Beide functies kunnen uitgedrukt worden in de sinus en de cosinus:

tan(α) =  sin(α) cos(α) 

cot(α) =  cos(α) sin(α) 

De cotangens van een hoek is dus de omgekeerde van de tangens van die hoek:

cot(α) =      1  tan(α) 

De tangens wordt meestal aangeduid met tan, en de cotangens met cot. Vroeger werden de namen tg en cotg gebruikt.

Bijzondere waarden

graden	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°
radialen	0	16π	14π	13π	12π	23π	34π	56π	π	32π
tangens	0	13√3	1	√3	geen	−√3	−1	−13√3	0	geen
cotangens	geen	√3	1	13√3	0	−13√3	−1	−√3	geen	0

Machtreeks

De tangens en cotangens kunnen ook in de vorm van een machtreeks geschreven worden, bijvoorbeeld als Taylorreeks. Voor |x| < π2 geldt:

<math>\tan (x) = x + \tfrac 13 x^3 + \tfrac{2}{15} x^5 + \tfrac{17}{315}x^7+ \dots = \sum_{n=1}^\infty |B_{2n}| \frac{2^{2n} \left(2^{2n}-1\right)}{(2n)!} x^{2n-1}</math>

tan(x) = x + 1/3 x³  sin(α) cos(α) 

<math>\cot (x) = x^{-1} - \tfrac 13 x - \tfrac 1{45} x^3 - \tfrac {2}{945} x^5 - \cdots =

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n B_{2n}\frac{2^{2n} }{(2n)!}x^{2n-1}</math>

Daarin is <math>B_n</math> het zogenaamde n-de Bernoulligetal.

Beschouwt men x als hoek, dan is x uitgedrukt in radialen.

Toepassingen tangens

Bij deze rechthoekige driehoek kan men de volgende formules toepassen, als <math>\begin{align}\angle{A}\end{align}</math> bekend is:

<math>\begin{align} a = \frac{b}{tan\angle{A}}\end{align}</math>

<math>\begin{align} b = a ∙ tan\angle{A} \end{align}</math>

Indien <math>\begin{align}\angle{C}\end{align}</math> bekend is, kunnen a en b ook op een andere manier berekend worden:

<math>\begin{align} a = b ∙ tan\angle{C} \end{align}</math>

<math>\begin{align} b = \frac{a}{tan\angle{C}} \end{align}</math>

c kan berekend worden volgens de stelling van Pythagoras:

c = √a² + b² 

Zie ook

• Tangensregel
• Sinus en cosinus
• Goniometrische functie
• Arccotangens
• Tangens (doorverwijzing).

Externe links

• microcursus goniometrie voor beginners