Waterstofatoom

Het waterstofatoom is het eenvoudigste van alle atomen waarmee materie is opgebouwd. Het bestaat uit een proton, de atoomkern, en één elektron. Niels Bohr publiceerde in 1913 een theorie die het frequentiespectrum van waterstof verklaarde dat in 1885 gemeten was door Johann Balmer. Zijn model was niet realistisch want het elektron dat als punt om het proton cirkelt verliest kinetische energie door elektromagnetische straling en valt op de kern door de coulombkracht. In 1924 stelde Louis de Broglie dat het elektron in het H-atoom niet een puntdeeltje is maar een golf.

De pagina nummers verwijzen naar Robert B Leighton, Principles of Modern Physics McGRAW-HILL, 1959

Klassiek model

p.72 Bohr stelde dat het elektron (massa m, lading e) met impuls p en hoeksnelheid ω kan cirkelen op afstand r van de kern als het impulsmoment rp = h/2π of een veelvoud daarvan:

rp = mωr² = nh/2π, n = 1,2,3,...

waarin h de Planck constante 6.626 x 10^-34 Js is. De coulombkracht is

mω²r = e² / 4πε_or²

zodat (elimineer ω)

r = ε_on²h² / πme²

De kleinste baanstraal is r_o = ε_oh² / πme² = 52,9 picometer (pico = 10^-12).

De energie van het elektron is

E = - e² / 8πε_or

negatief omdat het energie kost om het H-atoom te ioniseren. Deze energieniveaus, evenredig met 1/n², bepalen het frequentiespectrum van waterstof, dwz de frequentie ν van het foton dat met energie hν geabsorbeerd of uitgezonden wordt als het elektron van energieniveau verandert.

p.184 Even na 1920 werd een fijnstructuur in de energieniveaus gevonden die volgens Arnold Sommerfeld een relativistisch effect was maar volgens George Uhlenbeck en Samuel Goudsmit (1925) veroorzaakt wordt door elektron spin, een intrinsiek impulsmoment ter grootte h/4π.

Quantum model

p.81 Voor het atoom met straal r geldt kwantummechanica die sterk verschilt van de klassieke natuurkunde. Volgens Louis de Broglie (1924) is het elektron in het H-atoom een golf met impuls p en golflengte

λ = h/p = 2πr/n

Het elektron bevindt zich niet in een punt op de cirkelbaan maar het is een golf waarvan een geheel aantal golflengten past op de cirkelomtrek 2πr in het Bohr model.

Erwin Schrödinger publiceerde in 1926 de partiële differentiaalvergelijking voor de golffunctie ψ die de kwantumtoestand van een deeltje beschrijft, namelijk de kans om bepaalde waarden te meten. Het product van de onzekerheden over positie en impuls metingen is groter dan h/4π (p.86, Werner Heisenberg 1927).

p.166 Voor het elektron in het H-atoom is de schrödingervergelijking voor ψ in bolcoordinaten r,θ,φ

[ -  h² /8π²m∇² -  e² /4πε_or ] ψ = Eψ

met de Laplace operator

∇² =  1 /r² ∂ /∂r(r² ∂ψ /∂r) +  1 /r²sinθ ∂ /∂θ(sinθ ∂ψ /∂θ) +  1 /r²sin²θ ∂²ψ /∂φ²

Eenwaardige eindige oplossingen zijn bekend voor discrete waarden van r en E, en dat zijn juist de klassieke waarden voor n = 1,2,3 ...

p.182 De genormaliseerde golffunctie in de grondtoestand (n = 1) is

ψ = √(1/πr_o³).e^-r/r_o

De kansdichtheid dat het elektron zich op afstand r bevindt, 4πr²ψ², is maximaal voor r=r_o. De waarde voor r_o in het klassieke model is de meest waarschijnlijke waarde in het quantum model. Dit geldt ook voor grotere r waarden met grotere E.

p.661 Paul Dirac publiceerde in 1928 de relativistische vergelijking voor de golffunctie ψ. In zijn theorie is ψ niet één complexe variabele maar een matrix met vier componenten. De Dirac vergelijking bestaat dan ook uit vier differentiaalvergelijkingen voor de componenten van ψ (Eq.18 p.664/5). Oplossingen voor het waterstofatoom zijn bekend. Ze beschrijven de kwantumtoestand van het elektron die de experimenteel gevonden waarde van de spin en alle details van het H-spectrum verklaart.

Zijn theorie voorspelde ook het bestaan van vrije elektronen met negatieve energie. Dat werd niet begrepen tot in 1932 positronen ontdekt werden, met dezelfde massa als elektronen maar positieve lading, en geïdentificeerd met elektronen met negatieve energie.

Onze kennis van het H-atoom is wiskundig. Hoe het er uitziet, wat er golft, is niet voorstelbaar.