Goniometrie

De goniometrie^*) wordt toegepast om bij vraagstukken uit de diverse vakgebieden als de elektrotechniek, bij bouwwerken, in de wegenbouw, bij landmetingen of bij tunnelbouw de nodige wiskundige berekeningen te kunnen uitvoeren.
In de volgende verhandeling worden de belangrijkste goniometrische verhoudingen uiteengezet en worden rekenvoorbeelden gegeven.

---

^*) Goniometrie = hoekmeting . Gonio is afgeleid van het Griekse woord Goonia, wat hoek betekent.

Goniometrische verhoudingen

De afgebeelde rechthoekige driehoek ABC bevat een aantal goniometrische verhoudingen, die ongeacht de afmetingen van de zijden van de driehoek geldig zijn. Deze goniometrische verhoudingen dienen onder meer om de hoeken van de driehoek te bepalen, maar worden ook voor andere doeleinden gebruikt.
De eerste en meest bekende verhouding wordt aangeduid met de sinus van de hoek α meestal afgekort tot sin α.
De sinus van hoek α wordt als volgt omschreven:

• sin α = overliggende rechthoekszijde / schuine zijde = BC / AB.

De tweede goniometrische verhouding, de cosinus α, afgekort tot cos α , wordt als volgt omschreven:

• cos α = aanliggende rechthoekszijde / schuine zijde = AC / AB.

Er zijn nog twee goniometrische verhoudingen aan te wijzen,
namelijk tangens α ( tan α ) en cotangens α ( cotan α ). Deze twee verhoudingen worden als volgt omschreven:.

• tan α = overliggende rechthoekszijde / aanliggende rechthoekszijde = BC / AC

en:

• cotan α = aanliggende rechthoekszijde / overliggende rechthoekszijde = AC / BC.

Behalve de vier genoemde verhoudingen, zijn er nog twee goniometrsiche verhoudingen bekend, namelijk secans α ( sec α ) en cosecans α ( cosec α ) .
Aangezien deze twee verhoudingen zelden worden gebruikt, zullen ze in deze verhandeling verder niet worden behandeld

Rekenvoorbeelden ( 1 )

Rekenvoorbeeld 1

In de eerder afgebeelde driehoek ABC hebben de zijden de volgende afmetingen:

• AB = 5 cm
• AC = 4 cm
• BC = 3 cm

Hieruit volgt :

• sin α = BC / AB = 0,6
• cos α = AC / AB = 0,8
• tg α = BC / AC = 0,75
• cotg α = AC / BC = 1,333

In dit voorbeeld werd nog met afmetingen gewerkt. In het andere voorbeeld zullen deze worden weggelaten, waardoor een meer algemener beeld ontstaat. Verder wordt ook de berekening van cotg α niet meer uitgevoerd.

Rekenvoorbeeld 2

De driehoek ABC in bijgaande afbeelding – als helft van een gelijkzijdige driehoek - heeft de volgende hoeken :

• hoek α = 30 ⁰
• hoek γ = 90 ⁰

Aangezien in een driehoek de som van de hoeken 180 ⁰bedraagt, volgt hieruit, dat hoek β = 60 ⁰.

Gesteld werd, dat de driehoek de helft is van een gelijkzijdige driehoek, zodat zijde BC = ½ AB.

Hoek	Sinus	Cosinus	Tangens
00	0	1	0
300	½	½√3	⅓√3
450	½ √2	½ √2	1
600	½√3	½	√3
900	1	0	± ∞

Tabel I. Goniometrische verhoudingen van enkele hoeken

Verdere afleidingen

Op dezelfde wijze als in Rekenvoorbeeld 2, kunnen op eenvoudige wijze de goniometrische verhoudingen worden afgeleid van hoek α = 60 ⁰, hoek α = 45 ⁰, hoek α = 90 ⁰ en 0 ⁰. De resultaten hiervan zijn ondergebracht in Tabel I.
Het zal duidelijk zijn, dat men ooit van alle hoeken van 0 ⁰ tot 90 ⁰de goniometrische verhoudingen heeft berekend en dat daar tabellen van zijn gemaakt. Deze tabellen staan in alle handboeken over goniometrie vermeld, waarbij meestal ook ook de verhoudingen genoemd worden van de hoeken die met een hoek van 10 minuten opklimmen. Tussenliggende hoeken - bijvoorbeeld de sinus van een hoek α = 63 ⁰38'24" - kunnen hierdoor met behulp van interpolatie worden bepaald uit de gegeven waarden. In dit geval is de uitkomst 0,89597.
Het is namelijk zó, dat 1 ⁰ kan worden onderverdeeld in minuten en seconden, en wel als volgt.

• 1 ⁰ = 60 minuten ( 60' )

en

• 1' = 60 seconden ( 60" )

Op de meeste calculators kunnen goniometrische functies worden gevonden voor alle hoeken, behalve voor hoeken die naast graden ook nog in minuten of seconden zijn gegegeven. Met een ' trucje ' - in feite een 'veredelde vorm van interpoleren - lukt dit echter wel, door van de minuten en seconden graden te maken. Dit gaat als volgt:

• Gevraagd de sinus van hoek α = 32 ⁰18'44".

Dit levert op :

• sin α = sin 32 ⁰ + 18 + [ ( 44 ) / 60 ) / 60 ] = sin 32,3122 ⁰ = 0,5345

  

Een afleiding van geheel andere orde is een formule, die de betrekking tussen dezelfde hoek geeft, bijvoorbeeld hoek α.
In de afgebeelde driehoek ABC is:

• BC / AB = sin α

en dus ook:

• BC = AB sin α

Verder is:

• AC / AB = cos α

en dus ook:

• AC = AB cos α

Als nu een loodlijn CD op zijde AB wordt neergelaten, dan ontstaan de driehoeken ACD en BCD, die gelijkvormig zijn aan driehoek ABC.
Hieruit volgt dan:

• BD / BC = sin α

en dus ook:

• BD = BC sin α

waaruit dan weer volgt:

• BD = AB sin α · sin α = AB sin ²α

Verder is:

• AD / AC = cos α

en dus ook:

• AD = AC cos α

waaruit dan weer volgt:

• AD = AB cos α · cos α = AB cos ²α

Uit de afbeelding blijkt, dat:

• BD + AD = AB

zodat dus:

• AB sin ²α + AB cos ²α = AB

Als hierna alle termen van deze vergelijking worden gedeeld door AB, dan is dus:

• sin ²α + cos ²α = 1

Dit is een belangrijke formule, die vaak wordt toegepast in allerlei berekeningen.
Als bijvoorbeeld sin α = 0,8, dan is dus cos α af te leiden uit:

• cos ²α = 1 - sin ²α = 1 - 0,64 = 0,36.

Hieruit volgt dan:

• cos α = √ 0,36 = 0,6

Sinus- en cosinuslijn

In bijgaande afbeeldingen komt nog beter tot uitdrukking, hoe alle getalwaarden van sinus α en cosinus α in een vloeiende gebogen lijn tot een sinus- of cosinuslijn kunnen worden omgezet.
Begonnen wordt in het 1^e kwadrant bij een hoek α = 0 ⁰, waarna de straal van de cirkel verder draait en onderweg de getekende hoek α = 60 ⁰ ( sin α = ½√3 ) passeert. Merk op, dat bij hoek α = 90 ⁰ de sinuslijn maximaal is ( = 1 ).
Verder valt op, dat in het 2^e kwadrant - tussen hoek α = 90 ⁰ en 180 ⁰ - sinus α nog steeds positief is. Pas in het 3^e en 4^e kwadrant krijgt sinus α een - teken.
De cosinuslijn wordt op soortgelijke wijze opgebouwd als de sinuslijn.
Begonnen wordt in het 1^e kwadrant bij een hoek α = 0 ⁰ waarbij dus cos α = 1, waarna de straal van de cirkel verder draait. Merk op, dat bij hoek α = 90 ⁰ de cosinuslijn minimaal is ( = 0 ).
Verder valt op, dat in het 2^e en 3^e kwadrant - tussen
hoek α = 90 ⁰ en 270 ⁰ - cosinus α negatief is. Pas in het 4^e kwadrant, dus tussen hoek α = 270 ⁰ en 360 ⁰, krijgt cosinus α weer een + teken.
Om een en ander nog te verduidelijken en om te zien hoe de hoeken in de verschillende kwadranten worden berekend, dient Tabel II.

Hoek	Sinus	Cosinus	Kwadrant
900 - α	cos α	sin α	1
900 + α	cos α	- sin α	2
1800 - α	sin α	- cos α	2
1800 + α	- sin α	- cos α	3
2700 - α	- cos α	- sin α	3
2700 + α	- cos α	sin α	4
3600 - α	- sin α	cos α	4
3600 + α	sin α	cos α	1

Tabel II. Goniometrische verhoudingen voor hoeken van 90 ⁰tot 360 ⁰
in de vier kwadranten

Rekenvoorbeelden ( 2 )

Rekenvoorbeeld 3

De sinus van een hoek van 120⁰ wordt als volgt berekend:

• Sinus 120⁰ = sin 90⁰+ α = cos α = cos 30⁰ = ½√3

Rekenvoorbeeld 4

De cosinus van een hoek van 120⁰ wordt als volgt berekend:

• Cosinus 120⁰ = cos 90⁰+ α = - sin α = - sin 30⁰ = - ½

Niet-rechthoekige driehoeken

Alle tot nu toe gegeven beschouwingen en voorbeelden hadden betrekking op hoeken en de daarbij behorende goniometrische verhoudingen. Hierbij werd uitgegaan van rechthoekige driehoeken.
Het blijkt mogelijk te zijn met goniometrie ook allerlei berekeningen aan de driehoeken zelf uit te voeren.
Alle beschouwingen en afleidingen die bij dit rekenen voor rechthoekige driehoeken gelden, zijn - met enige aanpassing - ook van toepassing op niet-rechthoekige driehoeken. Voorbeelden van niet-rechthoekige driehoeken zijn de afgebeelde stompe driehoek ABC, waarvan één hoek > 90⁰ is, en de scherpe driehoek waarvan alle hoeken < 90⁰ zijn.
Om het rekenen aan driehoeken enigszins te onderscheiden van het rekenen aan hoeken - zoals dat in de goniometrie gebeurt - heeft men hiervoor de naam trigonometrie ingevoerd.
( Trigonometrie = driehoeksmeting )

Omvorming

Om in de trigonometrie al te lastige berekeningen te vermijden, laat men - zoals afgebeeld - bij niet-rechthoekige driehoeken vaak een loodlijn op een zijde neer, waardoor deze niet-rechthoekige driehoek wordt omgevormd tot twee rechthoekige driehoeken, waardoor het rekenen eenvoudiger wordt. Een voorbeeld hiervan, is de afleiding van de zogenaamde sinusregel, die hierna wordt behandeld.
Met deze regel is men in staat is allerlei wiskundige problemen op te lossen zoals ze zich aandienen bij bouwwerken, in de wegenbouw, bij landmetingen of bij tunnelbouw en andere discipines.

Sinusregel

In de laatst afgebeelde driehoek ABC zijn ook de rechthoekige driehoeken ABD en CBD te onderscheiden. Voor driehoek ABD geldt:

• BD = c sin α

en voor driehoek CBD geldt:

• BD = a sin γ

hieruit volgt dus:

• c sin α = a sin γ

wat ook geschreven kan worden als:

• a : c = sin α : sin γ

of als:

• a : sin α = c : sin γ

Door ook een hoogtelijn op de zijde c neer te laten, wordt op dezelfde wijze als hiervoor gevonden:

• a : sin α = b : sin β

zodat dus:

• a : sin α = b : sin β = c : sin γ

Deze regel heet de sinusregel.
In woorden luidt deze regel:

• In een driehoek zijn de zijden evenredig met de sinussen van de overliggende hoeken.

De sinusregel is ook geldig voor stompe driehoeken. Met behulp van enkele hulplijnen kan namelijk op dezelfde manier worden aangetoond, dat ook hier geldt:

• a : sin α = b : sin β = c : sin γ

Met de afleiding van de sinusregel formule wordt nogmaals aangegeven, hoe de werkwijze van zo'n afleiding is. Op overeenkomstige wijze zijn nog andere goniometrische formules af te leiden.
Het zou te ver voeren dit hier uit te voeren. In alle handboeken over wiskunde worden deze formules - meestal zonder de bijbehorende afleiding - vermeld.

Rekenvoorbeelden ( 3 )

Rekenvoorbeeld 5

• Van de afgebeelde driehoek ABC is hoek α = 25⁰, hoek β = 85⁰en hoek γ = 70⁰.

De lengte van zijde b = 5 cm.

Voor de lengte van zijde a geldt nu volgens de sinusregel:

• a : sin 25⁰ = 5 : sin 85⁰

Hieruit volgt:

• a = ( 5 · sin 25⁰ ) / sin 85⁰

waaruit dan volgt:

• a = ( 5 · 0,4226 ) / 0,9962 = 2,121 cm

Voor de zijde c geldt:

• c : sin 70⁰ = 5 : sin 85⁰

wat uitgewerkt oplevert:

• c = ( 5 · 0,9397 ) / 0,9962 = 4,716 cm