Vermoeden van Goldbach

Het Vermoeden van Goldbach is een van de oudste onopgeloste problemen in de getaltheorie en in de hele wiskunde. Het vermoeden werd ruw beschreven in een brief die Christian Goldbach aan Leonhard Euler, gedateerd op 7 juni 1742. Het vermoeden luidt:

Elk even getal groter dan 2 kan geschreven worden als de som van twee priemgetallen (een priemgetal mag hierbij twee keer gebruikt worden).

In prenex-normaalvorm:

"n $p $q "a, b, c, d[(n > 1, a, b, c, d > 1) Þ ((p + q = 2n) Ù (ab ≠ p) Ù (cd ≠ q))]

Dit vermoeden werd reeds door vele theoretici onderzocht, maar bleef tot op heden zonder een definitief wiskundig bewijs. Op 5 juni 2006 werd door Oliveira e Silva. Met behulp van computers is het vermoeden gecontroleerd voor even getallen tot 4 × 10¹⁸

De meeste mathematici geloven dat het vermoeden waar is. Meestal baseren ze zich op waarschijnlijkheidsberekeningen in verband met de priemgetallen. Grote even getallen kunnen meestal op vele manieren als de som van twee priemgetallen worden geschreven.

Een even getal kan worden geschreven als de som van ten hoogste 6 priemgetallen. In 1966 toonde Chen Jingrun aan dat elk voldoende groot even getal geschreven kan worden als de som van een priemgetal en een getal met ten hoogste twee priemfactoren. 'Voldoende groot' betekent in dit geval dat er hoogstens een eindig aantal uitzonderingen is, maar dat niet bekend is hoe groot de grootste uitzondering is, als er al een uitzondering bestaat.

Vermeldenswaard in dit verband is ook de bewezen stelling van Vinogradov, die stelt, dat elk 'voldoende groot' oneven getal geschreven kan worden als de som van 3 priemgetallen.

Weblinks

• Goldbach Conjecture op primes.utm.edu
• http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/number/goldbach.en verdeelt een door de bezoeker ingevoerd even getal in twee priemtermen