Rekenkunde ( 6 )

In Rekenkunde ( 5 ) werden de Breuken behandeld met hun specifieke eigenschappen.
In dit artikel wordt met de nodige voobeelden aandacht besteed aan:

• Samengestelde breuken
• Herleiden van breuken naar decimale getallen
• Herleiden van decimale getallen naar breuken
• Vereenvoudiging van breuken met de Grootste Gemene Deler ( GGD )
• Ontbinden in factoren
• Vereenvoudiging van breuken met het Kleinste Gemene Veelvoud ( KGV )

Samengestelde breuken

Twee samengestelde breuken zijn te vinden in :
Voorbeeld 1

3 / 4 ------ 5 / 8 en : 5 5 / 6 ------ 5 1 / 4

Deze samengestelde breuken kunnen door deling worden herleid tot gewone breuken.
Voorbeeld 2

3 / 4 ------- = 3 / 4 : 5 / 8 = 3 / 4 • 8 / 5 5 / 8 Na vereenvoudiging wordt dit : 3 • 2 / 5 = 6 / 5 = 1 1 / 5

Door de 2 ^e breuk om te keren, wordt de deling een vermenigvuldiging!
Voorbeeld 3

5 5 / 6 -------- = 35 / 6 : 21 / 4 = 35 / 6 • 4 / 21 5 1 / 4 Na vereenvoudiging wordt dit : 5 / 3 • 2 / 3 = 10 / 9 = 1 1 / 9

Herleiden van breuken naar decimale getallen

Sommige breuken kunnen eenvoudig worden herleid naar decimale breuken.
Twee samengestelde breuken zijn te vinden in :
Voorbeeld 4

4 / 5 en: 3 3 / 5

Uitgewerkt geeft dit:

4 / 5 Vermenigvuldig teller en noemer met 2 : 8 / 10 = 0,8

En ook:

3 3 / 5 Vermenigvuldig teller en noemer met 2 : 3 6 / 10 = 3,6

Herleiden van decimale getallen naar breuken

Sommige decimale getallen kunnen eenvoudig worden herleid naar breuken.
Voorbeeld 5

7,5 = 7 5 / 10 = 7 1 / 2

Voorbeeld 6

8,225 = 8 225 / 1000 Teller en noemer delen door 25 : 8 9 / 40

Grootste gemene deler ( GGD )

Voor het vereenvoudigen van grote breuken, wordt gebruik gemaakt van de grootste gemene deler. Hierbij worden zowel de teller als de noemer door het grootst mogelijke getal gedeeld.
Voorbeeld 7

315 / 420 Delen door 5 = 63 / 84 Delen door 3 = 21 / 28 Delen door 7 = 3 / 4 = 0,75 De grootste gemene deler = 5 • 3 • 7 = 105

Ontbinden in factoren

Alvorens met het kleinste gemene veelvoud aan de slag te gaan, is het nodig even een uitstapje te maken naar het ontbinden in factoren.
Bij het ontbinden in factoren wordt een getal ontleed in de kleinst mogelijke factoren, die alleen door zich zelf deelbaar zijn. Dit worden ook wel priemgetallen genoemd.
De priemgetallen tussen 1 en 20 zijn :

• 1
• 2
• 3
• 5
• 7
• 11
• 13
• 17
• 19

Voorbeeld 8

150 = 2 • 75 150 = 2 • 3 • 25 150 = 2 • 3 • 5 • 5 150 = 2 • 3 • 5 2

Ook zeer grote getallen kunnen worden ontbonden in factoren.
Voorbeeld 9

8820 = 2 • 4410 8820 = 2 • 2 • 2205 8820 = 2 2 • 3 • 735 8820 = 2 2 • 3 • 3 • 245 8820 = 2 2 • 3 2 • 5 • 49 8820 = 2 2 • 3 2 • 5 • 7 2

Kleinste gemene veelvoud ( KGV )

Als een aantal breuken met verschillende noemers moet worden opgeteld, dan moeten deze noemers aan elkaar gelijk worden gemaakt.
Voorbeeld 10

1 / 2 + 2 / 3 + 4 / 5 Het KGV = 30, zodat: 15 / 30 + 20 / 30 + 24 / 30 = 59 / 30 = 1 29 / 30

Met deze relatief kleine noemers is het vrij eenvoudig het KGV vast te stellen. Anders wordt het, als de noemers groot worden.
Voorbeeld 11

5 / 8 - 3 / 7 + 31 / 120 De eerste noemer 8 wordt ontbonden in : 2 3 De tweede noemer 7 kan niet verder worden ontbonden De derde noemer 120 wordt ontbonden in : 2 3 • 3 • 5 Het KGV is opgebouwd uit de grootste gevonden elementen : 2 3 • 3 • 5 • 7 = 840 De uitkomst van de breuk wordt nu : 525 / 840 - 315 / 840 + 217 / 840 = 382 / 840 = 191 / 420

Links

• Rekenkunde ( 1 ) : Optellen en aftrekken
• Rekenkunde ( 2 ) : Vermenigvuldigen en delen
• Rekenkunde ( 3 ) : Machtsverheffen en worteltrekken
• Rekenkunde ( 4 ) : Volgorde van de bewerkingen; decimale getallen
• Rekenkunde ( 5 ) : Bewerkingen met breuken
• Rekenkunde ( 7 ) : Kenmerken van deelbaarheid; procent en promille; evenredigheden