Gebruiker:Franciscus/kladblok

Deze pagina gebruik ik om nieuwe artikelen even op te bergen en te bewerken, vóórdat ik ze als bijdrage op Wikisage zet. Ook kan ik hier enkele geheugensteuntjes kwijt.
Franciscus 4 feb 2009 14:55 (UTC)

Edward Elgar omstreeks 1925

>> Paul Dukas ( 1865 - 1935 ) >

Franciscus 20 jul 2009 13:33 (UTC)

• sin α = BC / AB = ½ AB / AB = 0,5

Voor zijde AC wordt de stelling van Pythagoras toegepast, en wel als volgt:

• AC = √ ( AB ) ² – ( BC ) ² = √ ( AB ) ² – ( ½ AB ) ² = √ ¾ (AB) ² = ½ AB√3

Hieruit volgt dan :

• cos α = AC / AB = ½ AB √ 3 / AB = ½ √ 3 ( = 8,66 )

en :

• tg α = BC / AC = ½ AB / ½ AB√3 = 1/3 . √3 = 0,577

Quotiënt	Φ
1 : 1	1
2 : 1	2
3 : 2	1,5
5 : 3	1,67
8 : 5	1,6
13 : 8	1.62500
89 : 55	1,6181818
610 : 377	1,61537135
4181 : 2584	1,61803405
28657 : 17711	1,61803399
196418 : 121393	1,618033989

De kerstverlichting in ons land neemt bij elkaar een vermogen op van ruim 500 MW. Dit houdt in, dat hiervoor in een elektriciteitscentrale één grote generator extra moet worden ingezet, om aan de vraag te kunnen voldoen. ( 1 MW = 10 6 watt = 1 miljoen watt )

Rekenkunde ( 1 )

Rekenen blijkt bijna elke dag weer een noodzakelijke bezigheid te zijn. Ondanks het gemak dat we al lange tijd van onze calculators hebben, blijkt het – zeker voor wat de ingewikkelde problemen - nog steeds noodzakelijk inzicht te hebben in de grondslagen van het rekenen.
Het blijkt ook, dat studenten in het voortgezette onderwijs veelal niet in staat zijn te werken met breuken, kenmerken van deelbaarheid kleinste gemene veelvoud en grootste gemene deler.
Om hier enigszins aan tegemoet te komen, zullen in enkele artikelen de volgende bewerkingen van het rekenen worden behandeld, namelijk :

• Optellen en aftrekken
• Vermenigvuldigen en delen
• Machtsverheffen en worteltrekken
• Volgorde van de bewerkingen

De verschillende bewerkingen worden verder uitgebreid met Decimale getallen en met Breuken.
Het onderwerp rekenen wordt afgesloten met:

• Ontbinden in factoren
• Kenmerken van deelbaarheid
• Kleinste gemene veelvoud ( KGV )
• Grootste gemene deler ( GGD )
• Bijzondere onderwerpen

In de nu volgende hoofdstukken worden de bewerkingen Optellen en Aftrekken behandeld en waar nodig met voorbeelden verduidelijkt.

Optellen

Een van de eenvoudigste bewerkingen van het rekenen is natuurlijk het optellen, al kan dit soms lastig zijn als zeer veel getallen bij elkaar moeten worden opgeteld.

• Voorbeeld 1

733 + 12 + 56 + 11 + 345 + 24 + 67 + 134

Het optellen van zo’n reeks getallen gaat het eenvoudigste door de getallen onder elkaar te plaatsen en dan te beginnen met de rechtse rij, aldus:

733 12 56 11 345 24 67 134 ------- 1383

Als de rechtse rij wordt opgeteld, dan is de som hiervan = 32. Dat houdt in, dat onder de streep het cijfer 2 wordt geplaatst en dat de 3 moet worden onthouden om bij de 2 ^e rij te worden opgeteld, wat het getal 28 oplevert. Hierdoor komt er onder de streep het getal 8 te staan en moet het getal 2 worden onthouden. Opgeteld met de cijfers uit de 3 ^e rij levert dat 13 op, zodat de uitkomst van deze optelling = 1383.
Als de getallen van deze optelling in een andere volgorde zouden staan, dan levert dat geen verschil op!

Aftrekken

Net als bij het optellen kunnen de getallen bij deze bewerking onder elkaar geplaatst, maar dat kan verwarring opleveren. Het aftrekken gaat eenvoudiger, als het af te trekken gedeelte eerst wordt opgeteld en vervolgens van het eerste cijfer wordt afgetrokken.waardoor een vlotte berekening mogelijk wordt gemaakt.

• Voorbeeld 2

733 - 12 - 56 - 11 - 24 - 67

De af te trekken cijfers bij elkaar optellen : 12 + 56 + 11 + 24 + 67 = 170
Onder elkaar plaatsen van de cijfers:

733 170 ----- 563

De rechtse rij levert een 3 op. Bij de 2e rij moet ‘geleend’ worden van de 3 ^e rij, waardoor het cijfer 7 van die rij verandert in een 6, zodat de uitkomst van de 3 ^e rij een 5 wordt. De uitkomst van deze aftreksom levert dus het getal 563 op.
Ook hier geldt, dat de volgorde van de cijfers die moeten worden afgetrokken niet belangrijk is.

Combinatie van optellen en aftrekken

Soms komt het voor, dat er getallen moeten worden opgeteld en in dezelfde bewerking ook weer getallen moeten worden afgetrokken.

• Voorbeeld 3

8 – 3 + 2 – 7 + 5 = 5 + 2 – 7 + 5 = 7 – 7 + 5 = 0 + 5 = 5

Bij deze bewerking gaat optellen en aftrekken ná elkaar!

Vermenigvuldigen

Bij het vermenigvuldigen worden de te vermenigvuldigen getallen onder elkaar geplaatst en verder bewerkt, waarbij het kleinste getal onder wordt gezet. Als de uitkomst van een bewerking 10 is of groter is dan 10, dan moet het linker deel hiervan worden onthouden en bij de volgende bewerking worden gevoegd.

• Voorbeeld 1

567 • 34

Eerst onder elkaar zetten":

567 34 ----

Dan 567 met 4 vermenigvuldigen:

567 4 ---- 2268

4 • 7 = 28. Hiervan de 8 noteren en de 2 onthouden. 4 • 6 = 24 + de onthouden 2 = 26. Dit noteren en de 2 onthouden. 4 • 5 = 20 + de onthouden 2 = 22. Het totaal is dus 2268. Daarna op gelijke wijze 567 met 30 vermenigvuldigen:

567 30 -------- 17010

Tenslotte beide uitkomsten optellen:

2268 17010 --------- 19278

In de praktijk vallen de tussenbewerkingen samen, aldus:

567 34 ------- 2268 17010 --------- 19278

Delen

Bij het delen worden de getallen naast elkaar geplaatst, waarbij meestal het grootste getal links komt te staan. Soms komen combinaties van vermenigvuldigen en delen voor .

• Voorbeeld 2

Als een voorwerp van 90 mm in drie gelijke delen moet worden verdeeld, dan wordt ieder stuk van dat voorwerp het derde gedeelte ervan, dus 30 mm. Aldus:

Deze bewerking wordt zo geschreven

90 : 3 = 30.

Niet alle delingen zijn zó eenvoudig op te lossen, zoals uit het volgende voorbeeld blijkt:

• Voorbeeld 3

3471 : 13

Dit wordt aldus genoteerd:

13 | 267 ----------- 3471 26 ------- 87 78 ------- 91 91 ------- 0

Eerst wordt gekeken, welk veelvoud van 13 het dichts bij 34 komt. Dit blijkt 26 = 2 • 13 te zijn. Dit getal wordt onder 34 geplaatst en afgetrokken, zodat de rest 8 is die moet worden onthouden. De 2 van de uitkomst wordt met streep naast 13 geplaatst.
Dan wordt de 7 naar beneden gehaald en achter de 8 geplaatst waardoor dit dan 87 wordt. Dit getal kan worden gedeeld door 78 = 6 • 13, waarbij een rest van 9 overblijft. Het getal 6 wordt boven bijgeschreven. Als laatste wordt de 1 naar beneden gehaald en achter de 9 geplaatst. Het getal wordt nu 91. Het getal 91 = 7 • 13, zodat er geen rest overblijft. Het blijkt dus, dat:

3471 : 13 = 267.

Als het te delen getal bijvoorbeeld 3481 was geweest, dan was er een rest overgebleven van 10.

Combinaties van delen en vermenigvuldigen

De combinatie van delen en vermenigvuldigen wordt aldus genoteerd:

• Voorbeeld 4

256 • 30 • 125 -------------------- 8

Deze vorm kan eerst worden vereenvoudigd, door na te gaan of één van de getallen boven de streep deelbaar is door 8. Dat blijkt zo te zijn, namelijk het getal 256. Hierdoor wordt de vorm als volgt:

32 • 30 • 125 = 120