Wikisage is op 1 na de grootste internet-encyclopedie in het Nederlands. Iedereen kan de hier verzamelde kennis gratis gebruiken, zonder storende advertenties. De Koninklijke Bibliotheek van Nederland heeft Wikisage in 2018 aangemerkt als digitaal erfgoed.
- Wilt u meehelpen om Wikisage te laten groeien? Maak dan een account aan. U bent van harte welkom. Zie: Portaal:Gebruikers.
- Bent u blij met Wikisage, of wilt u juist meer? Dan stellen we een bescheiden donatie om de kosten te bestrijden zeer op prijs. Zie: Portaal:Donaties.
Gebruiker:O/ Oneindigheid van de priemgetallen: verschil tussen versies
(https://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Oneindigheid_van_de_priemgetallen&diff=cur&oldid=48722077 -1- Kabaalmaker 6 mrt 2017) |
(https://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Oneindigheid_van_de_priemgetallen&oldid=48896023) |
||
| Regel 1: | Regel 1: | ||
Er zijn oneindig veel priemgetallen. Het oudst bekende bewijs voor deze uitspraak, waaraan soms wordt gerefereerd als de stelling van Euclides, wordt toegeschreven aan de Oud-Griekse wiskundige Euclides. Euclides drukte zijn resultaat als volgt uit: "er zijn meer dan enig gegeven [eindig] aantal priemgetallen". | <!-- Waarschijnlijk is dit onderwerp wel relevant maar er wordt op dit moment op geen enkele manier gerefereerd aan literatuur waarin dit bewijs is uitgewerkt, noch naar literatuur waarin het wordt geaccepteerd als geldig. Dan mag "ne" hier gelezen worden als "niet encyclopedisch" beschreven. --> | ||
Er zijn '''oneindig''' veel '''priemgetallen'''. Het oudst bekende bewijs voor deze uitspraak, waaraan soms wordt gerefereerd als de stelling van Euclides, wordt toegeschreven aan de Oud-Griekse wiskundige Euclides. Euclides drukte zijn resultaat als volgt uit: "er zijn meer dan enig gegeven [eindig] aantal priemgetallen". | |||
{{Zie hoofdartikel|Stelling van Euclides}} | {{Zie hoofdartikel|Stelling van Euclides}} | ||
| Regel 18: | Regel 19: | ||
Uiteindelijk blijkt elk product van priemgetallen precies één keer voor te komen en door de hoofdstelling van de rekenkunde is de som gelijk aan de som over alle gehele getallen. | Uiteindelijk blijkt elk product van priemgetallen precies één keer voor te komen en door de hoofdstelling van de rekenkunde is de som gelijk aan de som over alle gehele getallen. | ||
De som aan de rechterkant is de [[ | De som aan de rechterkant is de [[harmonische reeks]], die oneindig doorgaat. Dus het product aan de linkerkant moet ook oneindig doorgaan. Aangezien elke term van het product eindig is, moet het aantal termen oneindig zijn; Daarom is er een oneindig aantal priemgetallen. | ||
{{Wikidata|}} | |||
[[Categorie:Priemgetal]] | |||
Huidige versie van 15 apr 2017 om 23:26
Er zijn oneindig veel priemgetallen. Het oudst bekende bewijs voor deze uitspraak, waaraan soms wordt gerefereerd als de stelling van Euclides, wordt toegeschreven aan de Oud-Griekse wiskundige Euclides. Euclides drukte zijn resultaat als volgt uit: "er zijn meer dan enig gegeven [eindig] aantal priemgetallen".
 Zie Stelling van Euclides voor het hoofdartikel over dit onderwerp. |
Euler's bewijs
Een ander bewijs, door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, is gebaseerd op de hoofdstelling van de rekenkunde: dat elk getal heeft een unieke priemfactorisatie. Als P is de verzameling van alle priemgetallen, Euler schreef dat:
- <math>\prod_{p\in P} \frac{1}{1-1/p}=\prod_{p\in P} \sum_{k\geq 0} \frac{1}{p^k}=\sum_n\frac{1}{n}.</math>
De eerste gelijkheid wordt berekend met de formule van een meetkundige reeks in elke term van het product. De tweede gelijkheid is een speciaal geval van de Euler product formule voor de Riemann Zeta-functie. Om dit aan te tonen, schrijven we het product uit:
- <math>
\begin{align} \prod_{p\in P} \sum_{k\geq 0} \frac{1}{p^k} & = \sum_{k\geq 0} \frac{1}{2^k} \times \sum_{k\geq 0} \frac{1}{3^k}\times\sum_{k\geq 0} \frac{1}{5^k}\times\sum_{k\geq 0} \frac{1}{7^k}\times\cdots \\[8pt] & =\sum_{k,\ell,m,n,\cdots \geq 0} \frac{1}{2^k 3^\ell 5^m 7^n \cdots}=\sum_n\frac{1}{n} \end{align} </math>
Uiteindelijk blijkt elk product van priemgetallen precies één keer voor te komen en door de hoofdstelling van de rekenkunde is de som gelijk aan de som over alle gehele getallen.
De som aan de rechterkant is de harmonische reeks, die oneindig doorgaat. Dus het product aan de linkerkant moet ook oneindig doorgaan. Aangezien elke term van het product eindig is, moet het aantal termen oneindig zijn; Daarom is er een oneindig aantal priemgetallen.
