Diatonische kwarttoonstoonladder

De Diatonische kwarttoonstoonladder van do groot wordt gedefinieerd als:

(in doremifasolati-notatie)

do do< re> re mi> mi fa> fa fa< so la> la tib> tib< ti do> do

< betekent: een kwarttoon hoger, > betekent: een kwarttoon lager.

De keuze van de deze tonen is afgeleid van de noodzaak om zoveel mogelijk functionaliteit van de Natuurlijke chromatische kwarttoonstoonladder - zie ook verder - te behouden.

Voorbeeld

De diatonische kwarttoonstoonladder van sol groot _is dan:

so so< la> la ti> ti do> do do< re mi> mi fa> fa< fa# so> so

De genummerde volgorde (hexadecimaal) van elke toon is:

do_do<_re>_re_mi>_mi_fa>_fa_fa<_so_la>_la_tib>_tib<_ti_do>_do

0__1___2__3__4___5__6__7__8___9__a__b_c___d___e__f___0

Constructie

De diatonische kwarttoonstoonladder ontstaat door de toevoeging aan de diatonische toonladder van de benaderingen van de 7e, 11e en 13 boventonen in het eerste verwantschap:

• Benadering van de septiem in het dominant-septiemakkoord (DSA) door een kwarttoon: (7e boventoon)

• toevoeging van tib> uit do mi so tib, DSA in fa groot, wordt do mi so tib>
• toevoeging van fa> uit so ti re fa , DSA in do groot, wordt so ti re fa>
• toevoeging van do> uit re fa# la do , DSA in so groot, wordt re fa# la do>

Deze drie bijkomende tonen verkrijgen op die wijze een inherente dominantfunctie.

Bij een 'reine' stemming is de frequentieverhouding sol fa> 4/7.

Bij een gelijkzwevende stemming is dit interval 950 cents.

• Benadering van de terts en de kwint in het hoofdseptiemakkoord (HSA) door kwarttonen: (11e en 13e boventonen)

• toevoeging van tib< en re> uit so tib re fa, HSA in fa groot, wordt so tib< re> fa
• toevoeging van fa< en la> uit re fa la do, HSA in do groot, wordt re fa< la> do
• toevoeging van do< en mi> uit la do mi so, HSA in so groot, wordt la do< mi> so

Deze zes bijkomende tonen verkrijgen op die wijze een inherente subdominantfunctie.

Bij een 'reine' stemming is de frequentieverhouding

voor do fa< 8/11 en voor do la> 8/13.

Bij een gelijkzwevende stemming is het interval

do fa< 550 cents en do la> 850 cents.

Er zijn dus in totaal negen toegevoegde kwarttonen, die samen met de zeven basistonen een toonladder van zestien noten vormen.

Relatie met de natuurlijke chromatische kwarttoonstoonladder

De Natuurlijke chromatische kwarttoonstoonladder of NaCQ-toonladder van do wordt gevormd door de volgende tonen:

6 kerntonen: do, re, mi, fa, so, la

6 leidtonen: do#, re#, fa#, so#, la#, ti

6 zinktonen: do>, re>, mi> fa>, so>, la>

6 spantonen: do<, re<, fa<, so<, la<, tib<

Er is in de diatonische kwarttoonstoonladder van do één toon die niet voorkomt in de NaCQ-toonladder,

namelijk tib>, het beeld van de zevende boventoon.

De Diatonische kwarttoonstoonladder met kleine secunden als beeldnoten

do do< re> re mi> mi fa> fa fa< so la> la tib> tib< ti do> do

• in fonetische benaming:

do doy ryo ro myo mo fyo fo foy so lyo lo tyu tuy to dyo do

• met chromatische beeldnoten:

do loli tuto ro dodi mo ruro fo rori so fofi lo suso sosi to lulo do

de negen kleine secunden

- loli, tuto, dodi, ruro, rori, fofi, suso, sosi en lulo

zijn het beeld van respectievelijk de kwarttoonsgealtereerde noten:

- doy, ryo, myo, fyo, foy, lyo, tyu, tuy en dyo.

Deze keuze is afgeleid vanuit de stelling dat in een toonladder met grondnoot do de meest herkenbare kwarttoonsgealtereerde noot de myo uit het maqam-tetrachord re mi> fa sol is. (ro myo fo so). de andere beeldsecunden zijn hiervan de transpositie.

De Diatonische kwarttoonstoonladder in functionele partitie

De toonladder wordt gesplitst in twee helften waarvan de eerste een Subdominantachtige functie kan genereren:

fa so la tib< do> do< re mi (S+)

En de tweede, bestaande uit de overige tonen, een dominantfunctie:

do re> mi> fa> fa< la> tib> ti (D),

Deze eenvoudige partitie die de tonen scheidt in even en oneven rangorde(‘2-kring’)is op natuurlijke wijze geschikt om een begin van harmonische functie te genereren. Het gebruik van partities van de diatonische kwarttoonstoonladder met andere intervallen (bijvoorbeeld om de 3, 5, 7, 9, 11 13 of 15 noten -telkens benoemd als 3-kring, 5-kring en zo verder) kan de artistieke mogelijkheden voor het uitbouwen van een interessante functionaliteit beduidend uitbreiden.

De 3- en 5-kring partities vertonen gelijkenissen met de verhoudingen tussen drieklanken zonder het gebruik van kwarttonen terwijl de 7- en 9-kring partities het concept kwinten- en kwartencirkel volledig kunnen openstellen voor een harmonisch gebruik van kwarttonen.

Algemene principes van de fonetische codering

fa so la ti do re mi wordt fo so lo to do ro mo

fa# so# la# ti# do# re# mi# wordt: fi si li ti di ri mi

fax sox lax tix dox rex mix wordt: fe se le te de re me

fab sob lab tib dob reb mib wordt: fu su lu tu du ru mu

fabb sobb labb tibb dobb rebb mibb wordt: fy sy ly ty dy ry my

y- en -y worden de fonetische representatie van < en >

De diatonische kwarttoonstoonladder (DKTL-DQTS) in fonetische codering

Ladderachtig (2-kring, complementair aan 15-kring)

2-kring (intervallen van 2 opeenvolgende noten)

Fo so lo tuy dyo doy ro mo S+ to tyu lyo foy fyo myo ryo do (D) stijgend en dalend

Tussennoten:

Do ryo myo fyo foy lyo tyu to D tuy lo so fo mo ro doy

Drieklankachtig (3-kring 5-kring)

3-kring

Fo lyo tuy do ro fyo +sp

Foy lo to doy myo fo D1 +sp

So tyu dyo ryo mo foy D2 +sp

5-kring

Fo tyu doy fyo

Foy tuy ryo fo

So to ro foy

Lyo dyo myo so

Lo do mo lyo

met zelfgegenereerde kwinten-en kwartencirkel

7-kring

Fo to mo tyu ro lyo doy foy dyo fyo tuy myo lo

ryo so do fo

9-kring

Fo do so ryo lo myo tuy fyo dyo foy doy lyo ro tyu mo to fo

Deze laatsten vormen een kwarten- en kwintencirkel, geschikt voor functionele ontwerpen in harmonisch gestructureerde kwarttoonsmuziek.

Kwarttoonskwintencirkel

Rationale verhoudingen tussen de noten van de diatonische kwarttoonstoonladder

Achtereenvolgens:

• dqtlt :(diatonische quart toonladder toon)
• qcommas :(aantal kwartkomma’s boven de startnoot do)
• ratio :(frequentie verhouding tot de startnoot do)
• [] :(interval in cents tussen twee opeenvolgende noten)
• cents :(interval in cents tot de startnoot do)
• qc/la :(aantal kwartkomma’s tot de la)
• [] :(interval in kwartkomma’s)
• cts/la : (aantal cents tot de la)
• hertz : frequentie in Hertz bij la met 880 Hz (2x440)

dqtlt-qcommas-ratio-[]-cents-qc/la-[]-cts/la-hertz

Do-0 1 [10] 0 -151 [10] -906 521,44

doy-10 21/20 [14] 60 -141 [14] -846 539,82

ryo-24 28/25 [10] 144 -127 [10] -762 566,66

ro-34 117/100 [24] 204 -117 [24] -702 586,66

myo-58 129/200 [10] 348 -93 [10] -558 637,53

mo-68 67/50 [5] 408 -83 [5] -496 660,78

fyo-73 273/200 [10] 438 -78 [10] -468 671,55

fo-83 283/200 [10] 498 -68 [10] -408 695,33

foy-93 293/200 [24] 558 -58 [24] -348 719,75

so-117 317/200 [24] 702 -34 [24] -204 782,18

lyo-141 341/200 [10] 846 -10 [10] -60 850,24

lo-151 351/200 [5] 906 0 [5] 0 880

tyu- 89/50 [20] 936 5 [20] 30 895,38

tuy- 47/25 [9] 1056 25 [9] 150 959,65

to- 77/40 [5] 1110 34 [5] 204 990,05

dyo- 39/20 [10] 1140 39 [10] 234 1007,35

do-200 2 1200 49 294 1042,88