Rekenkunde ( 5 )

In Rekenkunde ( 4 ) zijn Decimale getallen behandeld met hun specifieke eigenschappen. Naast de decimale getallen worden echter in de dagelijkse praktijk ook 'gewone' breuken gebruikt.
In dit artikel wordt met de nodige voobeelden aandacht besteed aan Breuken, met de bijbehorende bewerkingen.

Breuken

Het getal ¹ / ₃ wordt een breuk genoemd. Dit wordt aanschouwelijk gemaakt door de afbeelding. Het grijs gemaakte gedeelte is ¹ / ₃ deel van de rechthoek, en bij de tweede afbeelding maken de grijze vlakken ² / ₃ deel van de rechthoek uit.

Optellen en aftrekken

Voorbeeld 1

Als bij ¹ / ₃ het getal ² / ₃ wordt opgeteld, dan is de afgebeelde rechthoek compleet. Aldus:

1 / 3 + 2 / 3 = 3 / 3 = 1

In Voorbeeld 2 wordt getoond, dat optellen en aftrekken van breuken in één bewerking kunnen voorkomen:

3 / 8 - 5 / 8 + 4 / 8 = 2 / 8 = 1 / 4

Combinaties

Een ander voorbeeld laat zien, dat ook combinaties van hele getallen met breuken kunnen voorkomen.
Voorbeeld 3

3 2 / 9 - 4 5 / 9 + 7 8 / 9

Dit gaat als volgt:

3 - 4 + 7 = 6 2 / 9 - 5 / 9 + 8 / 9 = 5 / 9 6 + 5 / 9 = 6 5 / 9

Vermenigvuldigen en delen van breuken

Voorbeeld 4

3 / 5 • 3 / 6 = 9 / 30 = 3 / 10

De werkwijze is hier als volgt:

• De bovenste getallen met elkaar vermenigvuldigen ( teller • teller )
• De onderste getallen met elkaar vermenigvuldigen ( noemer • noemer )
• Nagaan of vereenvoudiging van de uitkomst mogelijk is

Een ander voorbeeld laat zien, dat ook combinaties van hele getallen met breuken kunnen voorkomen.
Voorbeeld 5

3 3 / 5 • 4 1 / 6

Om dit op te lossen, wordt als volgt te werk gegaan:

3 3 / 5 = 15 / 5 + 3 / 5 = 18 / 5 4 1 / 6 = 24 / 6 + 1 / 6 = 25 / 6

Door deze bewerking wordt dus:

3 3 / 5 • 4 1 / 6 = 18 / 5 • 25 / 6

• De gevonden vormen opzetten
• Noemers kruislings verwisselen ( uitkomst blijft gelijk )
• Nagaan of verwisselde tellers en noemers door elkaar te delen zijn
• Uitkomsten met elkaar vermenigvuldigen

18 / 5 • 25 / 6 = 18 / 6 • 25 / 5 18 : 6 = 3 25 : 5 = 5 3 • 5 = 15

Een onverwacht resultaat!
Bij het delen van breuken, wordt de 2 ^e breuk omgedraaid en daarna met de 1 ^e breuk vermenigvuldigd.
Voorbeeld 6

3 / 4 : 2 / 3 = 3 / 4 • 3 / 2 = 9 / 8 = 1 1 / 8

Ook bij de combinatie van hele getallen met breuken wordt de 2 ^e breuk omgedraaid en daarna met de 1 ^e breuk vermenigvuldigd.
Voorbeeld 7

4 3 / 8 : 2 4 / 5 = 35 / 8 : 14 / 5

De teller 35 = 5 • 7 en de noemer 14 = 2 • 7, zodat de vorm kan worden vereenvoudigd tot:

5 / 8 : 2 / 5 = 5 / 8 • 5 / 2 = 25 / 16 25 / 16 = 1 9 / 16

Machtsverheffen en worteltrekken van breuken

Voorbeeld 8
De vorm:

( 2 / 3 ) 3

betekent:

2 / 3 • 2 / 3 • 2 / 3 = 8 / 27

Bij combinatie met een heel getal, wordt een machtsverheffing zó genoteerd :
Voorbeeld 9

( 2 1 / 4 ) 2

Uitgewerkt wordt dit dan:

( 9 / 4 ) 2 = 81 / 16 = 5 1 / 16

Bij wortelvormen is de schrijfwijze :
Voorbeeld 10

√ 121 / 49

wat inhoudt:

√ 121 / √ 49 = 11 / 7

Voor samengestelde getallen geldt:
Voorbeeld 11

√ 2 1 / 8

Wat uitgewerkt oplevert:

√ 25 / √ 8 = 5 √ 1 / 8

Deze vorm kan worden omgezet naar :

5 √ 2 / 16 = 5 / 4 √ 2

De vorm :

5 / 4 √ 2

kan eventueel nog verder worden uitgewerkt.

Links

• Rekenkunde ( 1 ) : Optellen en aftrekken
• Rekenkunde ( 2 ) : Vermenigvuldigen en delen
• Rekenkunde ( 3 ) : Machtsverheffen en worteltrekken
• Rekenkunde ( 4 ) : Volgorde van de bewerkingen; decimale getallen
• Rekenkunde ( 6 ) : Samengestelde breuken; GGD en KGV; ontbinden in factoren; Hoofdstelling van de Rekenkunde
• Rekenkunde ( 7 ) : Kenmerken van deelbaarheid; procent en promille; evenredigheden