Wikisage is op 1 na de grootste internet-encyclopedie in het Nederlands. Iedereen kan de hier verzamelde kennis gratis gebruiken, zonder storende advertenties. De Koninklijke Bibliotheek van Nederland heeft Wikisage in 2018 aangemerkt als digitaal erfgoed.
- Wilt u meehelpen om Wikisage te laten groeien? Maak dan een account aan. U bent van harte welkom. Zie: Portaal:Gebruikers.
- Bent u blij met Wikisage, of wilt u juist meer? Dan stellen we een bescheiden donatie om de kosten te bestrijden zeer op prijs. Zie: Portaal:Donaties.
Feynman-Kac-formalisme: verschil tussen versies
k (typo ---dAb +>) |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
(3 tussenliggende versies door 2 gebruikers niet weergegeven) | |||
Regel 2: | Regel 2: | ||
==Ingrediënten== | ==Ingrediënten== | ||
De formule vergelijkt enerzijds de werking van een [[Schrödinger-halfgroep]] op een gegeven meetbare functie | De formule vergelijkt enerzijds de werking van een [[Schrödinger-halfgroep]] op een gegeven meetbare functie {{math|f}}, met anderzijds een verwachtingswaarde ten opzichte van een [[stochastisch proces]], meer bepaald de [[Brownse beweging (wiskunde)|Brownse beweging]]. | ||
De | De hiernavolgende formulering heeft betrekking op een eendimensionale beweging in een conservatief krachtveld met [[potentiële energie]]functie {{math|V}} die wordt opgevat als vermenigvuldigingsoperator. | ||
Zij | Zij {{math|f}} een kwadratisch integreerbare, complexwaardige functie op de reële getallen: | ||
: | :{{math|f ∈ L<sup>2</sup> ( ℝ,ℂ )}} | ||
Zij | Zij {{math|H}} de [[Hamiltoniaan]] ([[Schrödinger-operator]]) die de totale energie van het kwantummechanisch systeem voorstelt. Hij is dus de som van de [[kinetische energie]], voorgesteld door min een halve keer de [[Laplace-operator]], en de gegeven functie {{math|V}}, opgevat als vermenigvuldigingsoperator | ||
: | :{{math|H {{=}} −{{vbreuk|1|2}} Δ + V}} | ||
Noteer exp( | Noteer {{math|exp(−tH)}} voor de [[eenparameter-halfgroep van operatoren|halfgroep]] van operatoren met infinitesimale generator ''H'': | ||
: | :{{math|{{vbreuk|d|dt}} ( exp( −tH ) f ) {{!}}<small><sub>t {{=}} 0</sub></small> {{=}} −Hf}} | ||
Zij | Zij {{math|X<sub>t</sub>}} de eendimensionale Brownse beweging. Noteer {{math|E<sup>0</sup>}}[…] voor een verwachtingswaarde ten opzichte van dit proces. Noteer {{math|E<sup>x</sup>}}[…] voor een verwachtingswaarde ten opzichte van de Brownse beweging, verschoven over een lengte {{math|x}}. | ||
==Formulering== | ==Formulering== | ||
: | :{{math|( exp( −tH ) f ) ( x ) {{=}} E<sup>x</sup><big>[</big> exp( −<big><big>∫</big><sub><small>s</small></sub><sup><small>t</small></sup><sub><small>{{=}} 0</small></sub></big> V ( X<sub>s</sub> ) ds) f ( X<sub>t</sub> )<big>]</big>}} | ||
In het linkerlid werkt de operator exp( | In het linkerlid werkt de operator {{math|exp(−tH)}} op de functie {{math|f}}. Het resultaat daarvan is een nieuwe functie, gegarandeerd continu voor {{math|t > 0}}. Het linkerlid is de waarde van die continue functie in het punt {{math|x}}. | ||
In het rechterlid evolueert de Brownse beweging gedurende tijd | In het rechterlid evolueert de Brownse beweging gedurende tijd {{math|t}} vanaf het startpunt {{math|x}}. Voor elke mogelijke evolutie wordt de integraal van de potentiële energie uitgerekend. De negatieve exponentieel van die integraal wordt gewogen met de functiewaarde van {{math|f}} in het eindpunt van de Brownse beweging op tijdstip {{math|t}}. Het rechterlid is het gewogen gemiddelde. | ||
==Voorbeeld== | ==Voorbeeld== | ||
Zelfs als | Zelfs als {{math|V}} constant 0 is, levert dit een interessant resultaat. In het rechterlid staat dan het gemiddelde van {{math|f (X)}}, waarbij {{math|X}} een [[normale verdeling]] heeft met gemiddelde {{math|x}} en [[variantie]] {{math|t}}. Dit is een [[convolutie]] van {{math|f}} met een klokfunctie van Gauss. We krijgen dus een expliciete uitdrukking voor de halfgroep die wordt voortgebracht door de [[Laplace-operator]]. | ||
==Uitbreidingen== | ==Uitbreidingen== | ||
Om de integralen absoluut sommeerbaar te maken, wordt meestal verondersteld dat | Om de integralen absoluut sommeerbaar te maken, wordt meestal verondersteld dat {{math|V}} lokaal integreerbaar en langs onder begrensd is. Er bestaan echter sterkere resultaten die onder meer de (negatieve) Coulomb-[[potentiaal]] van het waterstofatoom toelaten. | ||
De formule kan zonder meer worden uitgebreid tot hogere dimensies. Ze blijft ook gelden op ruimere klassen van toestandsruimten, bijvoorbeeld gekromde [[Riemann-variëteit]]en, onder voorwaarde van een correcte definitie van de Hamiltoniaan en de Brownse beweging. | De formule kan zonder meer worden uitgebreid tot hogere dimensies. Ze blijft ook gelden op ruimere klassen van toestandsruimten, bijvoorbeeld gekromde [[Riemann-variëteit]]en, onder voorwaarde van een correcte definitie van de Hamiltoniaan en de Brownse beweging. | ||
Ze kan ook worden uitgebreid tot systemen waarin een magnetische vector[[potentiaal]] | Ze kan ook worden uitgebreid tot systemen waarin een magnetische vector[[potentiaal]] {{math|A}} optreedt. Naar die uitbreiding wordt soms verwezen met de naam [[Feynman-Kac-Ito-formalisme]], omdat binnen de haken van de verwachtingswaarde een [[stochastische integraal]] ([[Ito-integraal]]) optreedt. | ||
==Alternatieve formulering== | ==Alternatieve formulering== |
Huidige versie van 26 apr 2017 om 15:38
Het Feynman-Kac-formalisme is een wiskundige formule die een bijzonder verband legt tussen kwantummechanica en kansrekening. Ze is genoemd naar de theoretisch natuurkundige Richard Feynman en de wiskundige Mark Kac. Ze vormt een rigoureuze wiskundige interpretatie van het door Feynman gelanceerde begrip padintegralen.
Ingrediënten
De formule vergelijkt enerzijds de werking van een Schrödinger-halfgroep op een gegeven meetbare functie f, met anderzijds een verwachtingswaarde ten opzichte van een stochastisch proces, meer bepaald de Brownse beweging.
De hiernavolgende formulering heeft betrekking op een eendimensionale beweging in een conservatief krachtveld met potentiële energiefunctie V die wordt opgevat als vermenigvuldigingsoperator.
Zij f een kwadratisch integreerbare, complexwaardige functie op de reële getallen:
- f ∈ L2 ( ℝ,ℂ )
Zij H de Hamiltoniaan (Schrödinger-operator) die de totale energie van het kwantummechanisch systeem voorstelt. Hij is dus de som van de kinetische energie, voorgesteld door min een halve keer de Laplace-operator, en de gegeven functie V, opgevat als vermenigvuldigingsoperator
- H = − 1 2 Δ + V
Noteer exp(−tH) voor de halfgroep van operatoren met infinitesimale generator H:
- d dt ( exp( −tH ) f ) |t = 0 = −Hf
Zij Xt de eendimensionale Brownse beweging. Noteer E0[…] voor een verwachtingswaarde ten opzichte van dit proces. Noteer Ex[…] voor een verwachtingswaarde ten opzichte van de Brownse beweging, verschoven over een lengte x.
Formulering
- ( exp( −tH ) f ) ( x ) = Ex[ exp( −∫st= 0 V ( Xs ) ds) f ( Xt )]
In het linkerlid werkt de operator exp(−tH) op de functie f. Het resultaat daarvan is een nieuwe functie, gegarandeerd continu voor t > 0. Het linkerlid is de waarde van die continue functie in het punt x.
In het rechterlid evolueert de Brownse beweging gedurende tijd t vanaf het startpunt x. Voor elke mogelijke evolutie wordt de integraal van de potentiële energie uitgerekend. De negatieve exponentieel van die integraal wordt gewogen met de functiewaarde van f in het eindpunt van de Brownse beweging op tijdstip t. Het rechterlid is het gewogen gemiddelde.
Voorbeeld
Zelfs als V constant 0 is, levert dit een interessant resultaat. In het rechterlid staat dan het gemiddelde van f (X), waarbij X een normale verdeling heeft met gemiddelde x en variantie t. Dit is een convolutie van f met een klokfunctie van Gauss. We krijgen dus een expliciete uitdrukking voor de halfgroep die wordt voortgebracht door de Laplace-operator.
Uitbreidingen
Om de integralen absoluut sommeerbaar te maken, wordt meestal verondersteld dat V lokaal integreerbaar en langs onder begrensd is. Er bestaan echter sterkere resultaten die onder meer de (negatieve) Coulomb-potentiaal van het waterstofatoom toelaten.
De formule kan zonder meer worden uitgebreid tot hogere dimensies. Ze blijft ook gelden op ruimere klassen van toestandsruimten, bijvoorbeeld gekromde Riemann-variëteiten, onder voorwaarde van een correcte definitie van de Hamiltoniaan en de Brownse beweging.
Ze kan ook worden uitgebreid tot systemen waarin een magnetische vectorpotentiaal A optreedt. Naar die uitbreiding wordt soms verwezen met de naam Feynman-Kac-Ito-formalisme, omdat binnen de haken van de verwachtingswaarde een stochastische integraal (Ito-integraal) optreedt.
Alternatieve formulering
In de stochastische analyse kan het Feynman-Kac-Ito-formalisme elegant worden geformuleerd in termen van stochastische differentiaalvergelijkingen.
Referenties
- Michael Reed en Barry Simon, "Methods of Modern Mathematical Physics" deel 2: "Fourier Analysis and Self-Adjointness," Academic Press - 1975. ISBN 0125850026.
- Barry Simon, "Functional Integration and Quantum Physics", Academic Press - 1979. ISBN 01-26442509
- Lieven Smits, "Licentiaat\dissertatie": http://www.ster.be/padint/hst2.html
wp:de:Feynman-Kac-Formel
wp:en:Feynman-Kac formula
wp:it:Formula di Feynman-Kac