Filosofie van de wiskunde

De filosofie van de wiskunde is de tak van wetenschapsfilosofie die zich bezighoudt met de wiskunde. Hierbij staan de vragen centraal wat het onderzoeksonderwerp van de wiskunde is en welke methoden geldige wiskundige resultaten opleveren. Dit gebied is opgekomen in de eerste helft van de 20e eeuw, en omvat wiskundige logica, modeltheorie, recursietheorie en axiomatische verzamelingenleer.

Verschillende stromingen

De eerste vraag, naar het onderzoeksonderwerp, leidt tot verschillende theorieën en stromingen aangaande de ontologische status van wiskundige objecten als getallen en verzamelingen.

• De platonische stroming gaat ervan uit dat deze een reëel bestaan leiden en slechts door wiskundigen ontdekt worden.
• Het cantorisme naar Georg Cantor wil de wiskunde baseren op de verzamelingenleer, en gelooft in het bestaan van oneindige verzamelingen en de transfiniete getallen.
• Het logicisme met Gottlob Frege en Bertrand Russell wil de wiskunde baseren op de logica.
• De constructivistische stroming, daarentegen, stelt dat wiskundige objecten door de menselijke geest geconstrueerd worden.
• Het intuïtionisme stelt nog radicaler, dat wiskundige objecten worden geconstrueerd in de menselijke geest en alleen hier intuïtief bestaan. L.E.J. Brouwer en Arend Heyting waren hier de belangrijke vertegenwoordigers.
• Een formalistische stroming ontzegt wiskundige objecten ieder zelfstandig bestaan; slechts de neerslag van wiskunde in formele systemen telde.

Elke stroming meende zelf de enige waarheid te bevatten, en begin 20e eeuw hebben de stromingen elkaar in een grondslagenstrijd flink bestreden. Het bewijs van Gödels onvolledigheidsstelling in 1931 maakte echter een eind aan deze strijd. Gödel bewees dat geen enkel formeel systeem ooit in staat zou zijn de volledige wiskundige werkelijkheid te kunnen bevatten.

De verschillen tussen de verschillende stromingen leiden soms tot onenigheid over de geldigheid van bewijsmethodes en stellingen. Dit gebeurt vooral in het domein van de oneindigheid.

Franse vertegenwoordigers

Binnen de Franse wetenschapsfilosofie bestaat er ook een hele traditie van filosofen die zich bezighielden met de wiskunde, vaak in combinatie met een historische insteek. Vertegenwoordigers hiervan zijn Gaston Milhaud, Léon Brunschvicg, Jean Cavaillès, Albert Lautman, Jean-Toussaint Desanti, Jean Ladrière en Suzanne Bachelard. Volgens deze auteurs moet men, om de wiskunde te begrijpen, ook de geschiedenis van de wiskunde onderzoeken. Vaak inspireren deze auteurs zich daarnaast op of zetten zich af van de fenomenologie van Edmund Husserl, een auteur die ook uitvoerig over de wiskunde heeft geschreven.

Volgens iemand als Cavaillès, die in zijn werk vele van de hierboven genoemde stromingen bekritiseerde, moest men de wiskunde niet onderzoeken vanuit de menselijke geest, maar vanuit een 'dialectiek van het concept'. Vanuit historisch perspectief zou het duidelijk worden dat er binnen de geschiedenis van de wiskunde steeds nieuwigheden opduiken die op voorhand niet te voorspellen waren, maar slechts achteraf zo gekaderd worden dat het duidelijk is dat deze uit het voorgaande volgen. Zo'n radicale nieuwheid die in de wiskunde verschijnt kan echter niet gedacht worden als men vertrekt vanuit een vast bewustzijn dat al reeds alle wiskundige waarheden zou bevatten of vanuit een vast formeel systeem. Er is echter nood aan een dynamische of dialectische benadering van de wiskunde. Door zijn vroege dood heeft Cavaillès dit echter niet verder kunnen uitwerken.

Zie ook

• Grondslagen van de wiskunde
• Modeltheorie

Externe links

• Kennislink over Filosofie der wiskunde (gearchiveerd op bibalex.org)