Wikisage is op 1 na de grootste internet-encyclopedie in het Nederlands. Iedereen kan de hier verzamelde kennis gratis gebruiken, zonder storende advertenties. De Koninklijke Bibliotheek van Nederland heeft Wikisage in 2018 aangemerkt als digitaal erfgoed.
- Wilt u meehelpen om Wikisage te laten groeien? Maak dan een account aan. U bent van harte welkom. Zie: Portaal:Gebruikers.
- Bent u blij met Wikisage, of wilt u juist meer? Dan stellen we een bescheiden donatie om de kosten te bestrijden zeer op prijs. Zie: Portaal:Donaties.
Gebruiker:Franciscus/kladblok
Deze pagina gebruik ik om nieuwe artikelen even op te bergen en te bewerken, vóórdat ik ze als bijdrage op Wikisage zet. Ook kan ik hier enkele geheugensteuntjes kwijt.
Franciscus 4 feb 2009 14:55 (UTC)
Franciscus 20 jul 2009 13:33 (UTC)
- sin α = BC / AB = ½ AB / AB = 0,5
- Voor zijde AC wordt de stelling van Pythagoras toegepast, en wel als volgt:
- AC = √ ( AB ) 2 – ( BC ) 2 = √ ( AB ) 2 – ( ½ AB ) 2 = √ ¾ (AB) 2 = ½ AB√3
- Hieruit volgt dan :
- cos α = AC / AB = ½ AB √ 3 / AB = ½ √ 3 ( = 8,66 )
- en :
- tg α = BC / AC = ½ AB / ½ AB√3 = 1/3 . √3 = 0,577
| Quotiënt | Φ |
|---|---|
| 1 : 1 | 1 |
| 2 : 1 | 2 |
| 3 : 2 | 1,5 |
| 5 : 3 | 1,67 |
| 8 : 5 | 1,6 |
| 13 : 8 | 1.62500 |
| 89 : 55 | 1,6181818 |
| 610 : 377 | 1,61537135 |
| 4181 : 2584 | 1,61803405 |
| 28657 : 17711 | 1,61803399 |
| 196418 : 121393 | 1,618033989 |
Rekenkunde ( 1 )
Rekenen blijkt bijna elke dag weer een noodzakelijke bezigheid te zijn. Ondanks het gemak dat we al lange tijd van onze calculators hebben, blijkt het – zeker voor wat de ingewikkelde
problemen - nog steeds noodzakelijk inzicht te hebben in de grondslagen van het rekenen.
Het blijkt ook, dat studenten in het voortgezette onderwijs veelal niet in staat zijn te werken met breuken, kenmerken van deelbaarheid kleinste gemene veelvoud en grootste gemene deler.
Om hier enigszins aan tegemoet te komen, zullen in een serie artikelen de volgende bewerkingen van het rekenen worden behandeld:
- Optellen en aftrekken
- Vermenigvuldigen en delen
- Machtsverheffen en worteltrekken
- Volgorde van de bewerkingen
De verschillende bewerkingen worden verder uitgebreid met Decimale getallen en met Breuken.
Het onderwerp rekenen wordt afgesloten met:
- Ontbinden in factoren
- Kenmerken van deelbaarheid
- Kleinste gemene veelvoud ( KGV )
- Grootste gemene deler ( GGD )
- Bijzondere onderwerpen
In de nu volgende hoofdstukken worden de bewerkingen Optellen en Aftrekken behandeld en waar nodig met voorbeelden verduidelijkt.
Optellen
Een van de eenvoudigste bewerkingen van het rekenen is natuurlijk het optellen, al kan dit soms lastig zijn als zeer veel getallen bij elkaar moeten worden opgeteld.
- Voorbeeld 1
|
733 + 12 + 56 + 11 + 345 + 24 + 67 + 134 |
Het optellen van zo’n reeks getallen gaat het eenvoudigste door de getallen onder elkaar te plaatsen en dan te beginnen met de rechter rij, aldus:
|
Als de rechter rij wordt opgeteld, dan is de som hiervan = 32. Dat houdt in, dat onder de streep het cijfer 2 wordt geplaatst en dat de 3 moet worden onthouden om bij de 2 e rij te worden opgeteld, wat het getal 28 oplevert. Hierdoor komt er onder de streep het getal 8 te staan en moet het getal 2 worden onthouden. Opgeteld met de cijfers uit de 3 e rij levert dat 13 op, zodat de uitkomst van deze optelling = 1383.
Als de getallen van deze optelling in een andere volgorde zouden staan, dan levert dat geen verschil op!
Aftrekken
Net als bij het optellen kunnen de getallen bij deze bewerking onder elkaar worden geplaatst, maar dat kan verwarring opleveren. Het aftrekken gaat eenvoudiger, als het af te trekken gedeelte eerst wordt opgeteld en vervolgens van het eerste cijfer wordt afgetrokken.waardoor een vlotte berekening mogelijk wordt gemaakt.
- Voorbeeld 2
|
733 - 12 - 56 - 11 - 24 - 67 |
De af te trekken cijfers bij elkaar optellen :
|
Onder elkaar plaatsen van de cijfers:
|
733
|
De rechter rij levert een 3 op. Bij de 2 e rij moet ‘geleend’ worden van de 3 e rij, waardoor het cijfer 7 van die rij verandert in een 6, zodat de uitkomst van de 3 e rij een 5 wordt.
De uitkomst van deze aftreksom levert dus het getal 563 op.
Ook hier geldt, dat de volgorde van de cijfers die moeten worden afgetrokken niet belangrijk is.
Combinatie van optellen en aftrekken
Soms komt het voor, dat er getallen moeten worden opgeteld en in dezelfde bewerking ook weer getallen moeten worden afgetrokken.
- Voorbeeld 3
|
8 – 3 + 2 – 7 + 5 = 5 + 2 – 7 + 5 = 7 – 7 + 5 = 0 + 5 = 5 |
Bij deze bewerking gaat optellen en aftrekken gewoon ná elkaar!
Rekenkunde ( 2 )
In Rekenkunde ( 1 ) werden de bewerkingen Optellen en Aftrekken behandeld. In Rekenkunde ( 2 ) komen Vermenigvuldigen en Delen aan de orde. Zowel vermenigvuldigen als delen vragen enige discipline van de bewerker, aangezien een bepaalde volgorde van de bijbehorende handelingen in acht moet worden genomen.
Vermenigvuldigen
Bij het vermenigvuldigen worden de te vermenigvuldigen getallen onder elkaar geplaatst en verder bewerkt, waarbij het kleinste getal onder wordt gezet. Als de uitkomst van een bewerking 10 is of groter is dan 10, dan moet het linker deel hiervan worden onthouden en bij de volgende bewerking worden gevoegd.
- Voorbeeld 1
|
567 • 34 |
Eerst onder elkaar zetten:
|
|
Dan 567 met 4 vermenigvuldigen:
|
567
|
4 • 7 = 28. Hiervan de 8 noteren en de 2 onthouden. 4 • 6 = 24 + de onthouden 2 = 26. Dit noteren en de 2 onthouden. 4 • 5 = 20 + de onthouden 2 = 22. Het totaal is dus 2268. Daarna wordt op gelijke wijze 567 met 30 vermenigvuldigd:
|
567
|
Tenslotte beide uitkomsten optellen:
|
2268
|
In de praktijk vallen de tussenbewerkingen samen, aldus:
|
567
|
Delen
Bij het delen worden de getallen naast elkaar geplaatst, waarbij meestal het grootste getal links komt te staan. Soms komen combinaties van vermenigvuldigen en delen voor .
- Voorbeeld 2
Als een voorwerp van 90 mm in drie gelijke delen moet worden verdeeld, dan wordt ieder stuk van dat voorwerp het derde gedeelte ervan, dus 30 mm. Aldus:
Deze bewerking wordt zo geschreven:
|
90 : 3 = 30 |
Niet alle delingen zijn zó eenvoudig op te lossen, zoals uit het volgende voorbeeld blijkt:
- Voorbeeld 3
|
3471 : 13 |
Dit wordt aldus genoteerd:
|
Eerst wordt gekeken, welk veelvoud van 13 het dichts bij 34 komt. Dit blijkt 26 = 2 • 13 te zijn. Dit getal wordt onder 34 geplaatst en afgetrokken, zodat de rest 8 is die moet worden onthouden. De 2 van de uitkomst wordt met streep naast 13 geplaatst.
Dan wordt de 7 naar beneden gehaald en achter de 8 geplaatst waardoor dit dan 87 wordt. Dit getal kan worden gedeeld door 78 = 6 • 13, waarbij een rest van 9 overblijft. Het getal 6 wordt boven bijgeschreven.
Als laatste wordt de 1 naar beneden gehaald en achter de 9 geplaatst. Het getal wordt nu 91. Het getal 91 = 7 • 13, zodat er geen rest overblijft. Het blijkt dus, dat:
|
3471 : 13 = 267 |
Als het te delen getal bijvoorbeeld 3481 was geweest, dan was er een rest overgebleven van 10.
Combinaties van delen en vermenigvuldigen
De combinatie van delen en vermenigvuldigen wordt aldus genoteerd:
- Voorbeeld 4
|
256 • 30 • 125
|
Deze vorm kan eerst worden vereenvoudigd, door na te gaan of één van de getallen boven de streep deelbaar is door 8. Dat blijkt zo te zijn, namelijk het getal 256. Hierdoor wordt de vorm als volgt:
|
32 • 30 • 125 = 120 |
Rekenkunde ( 3 )
In Rekenkunde ( 1 ) en ( 2 ) zijn Optellen, Aftrekken, Vermenigvuldigen en Delen behandeld. In Rekenkunde ( 3 ) worden de bewerkingen Machtsverheffen en Worteltrekken besproken.
Machtsverheffen
Bij het machtsverheffen wordt een getal één, twee of meer keren met zichzelf vermenigvuldigd.
- Voorbeeld 1
|
Als het getal 5 een drietal keren met zichzelf wordt vermenigvuldigd, dus:
|
Optellen en aftrekken van machten
Als machten moeten worden opgeteld of van elkaar worden afgetrokken, dan moeten de machten eerst worden uitgewerkt om daarna verder bewerkt te kunnen worden.
- Voorbeeld 2
|
3 3 + 3 2 = 3 • 3 • 3 + 3 • 3 = 36 |
Vermenigvuldigen en delen van machten
Als machten moeten worden vermenigvuldigd met andere machten of worden gedeeld door andere machten die hetzelfde grondtal hebben, dan moeten de exponenten van die machten bij elkaar worden opgeteld of afgetrokken.
- Voorbeeld 3
|
5 3• 5 4 = 5 3 + 2 = 5 5 = 3125 |
en ook:
|
5 4: 5 3 = 5 4 - 1 = 5 3 = 125 |
Een heel bijzondere deling van machten is de volgende:
|
5 1: 5 1 = 5 1 - 1 = 5 0 = 1 |
Voor elk ander getal dan 5 dus:
|
x 1: x 1 = x 1 - 1 = x 0 = 1 |
Voor alle getallen dus:
|
x n: x n = x n - n = x 0 = 1 |
Machtsverheffen van machten
Als machten zelf tot een macht verheven moeten worden, dan worden de exponenten met elkaar vermenigvuldigd.
- Voorbeeld 4
|
( 8 3 ) 2 = 8 3• 8 3 = 8 6 = 262144 |
Worteltrekken
Bij het machtsverheffen wordt een getal met zichzelf vermenigvuldigd. Bij het worteltrekken gebeurt deze handeling in omgekeerde volgorde.
- Voorbeeld 5
|
Als 5 2 = 25, dan wordt door worteltrekken het oorspronkelijke grondtal zonder exponent verkregen,
|
Aangezien dit de tweedemachtswortel of de vierkantswortel uit 25 is, zou eigenlijk boven het wortelteken een 2 gezet moet worden. Dit wordt in de praktijk echter nooit uitgevoerd. Zou het een hogere machtswortel betreffen, dan moet dit wel gebeuren.
Deze wortelvormen zullen hier niet behandeld worden.
Wortels uit grote getallen
- Voorbeeld 6
Uit:
|
7 2 = 49 volgt: √ 49 = 7 |
Dit is betrekkelijk eenvoudig en geeft geen moeilijkheden. Als de getallen niet al te groot zijn, is het nog goed doenlijk de wortel uit dat getal te trekken. De vorm:
|
√ 625 = 25 |
levert voor de meeste mensen nog geen problemen op.
Anders wordt het, als de wortel uit een groot getal als 6561 moet worden getrokken. Hier moet dan een bijzondere manier worden toegepast om achter de uitkomst te komen.
Om de vorm √ 6561 op te lossen, wordt als volgt te werk gegaan:
- Verdeel het getal vanaf de rechterkant in groepen van 2 cijfers, dus: 65 | 61
- Zoek het grootste getal, dat in het kwadraat zó dicht mogelijk bij het linker getal ligt,dus: 8 • 8 = 64. De 8 wordt als eerste getal van de uitkomst genoteerd.
- De verschil tussen 65 en 64 - de rest dus - is 1
- Plaats die 1 vóór de tweede groep cijfers, dus: 161
- Tel hierna de cijfers van de eerste bewerking op, dus: 8 + 8 = 16
- Zoek bij dit getal het cijfer - in dit geval 1 - dat vermenigvuldigd met zichzelf - zó dicht mogelijk bij het getal 161 ligt.
- Het gevonden cijfer - de 1 dus - wordt als tweede getal van de uitkomst genoteerd
- De uitkomst van de berekening blijkt te zijn: √ 6561 = 81
|
Bij nog grotere getallen, gaat de berekening nog even door.
- Voorbeeld 7
√ 4338889:
- Getal verdelen in groepen van twee cijfers, dus 4 | 33| 88 | 89
- De verdere bewerkingen als in Voorbeeld 6
- Bij de 2e bewerking aangekomen, blijkt het getal 33 kleiner te zijn, dan de kleinst mogelijke vermenigvuldiging ( 41 • 1 ). Dit gaat dus 0 keer. Om verder te kunnen, moet hiervoor de 0 achter de 4 worden geplaatst en het getal 88 naar beneden gehaald.
- De uitkomst van de berekening is dus: √ 4338889 = 2083
|
Bij de behandeling van de breuken en tiendelige breuken zullen ook wortels getrokken worden uit getallen die geen kwadraat van een geheel getal vormen, bijvoorbeeld √ 51.
Vermenigvuldigen van wortels
Bij het vermenigvuldigen van wortels wordt soms een vereenvoudigde schrijfwijze toegepast.
- Voorbeeld 8
|
√ 9 • √ 36 = √ ( 9 • 36 ) = √ 324 = 18 |
Rekenkunde ( 4 )
In Rekenkunde ( 1 ), ( 2 ) en ( 3 ) zijn de diverse basisbegrippen van de Rekenkunde behandeld.
Bij de diverse bewerkingen die daar aan de orde kwamen, moet - als ze in combinatie met elkaar optreden - altijd een bepaalde volgorde worden aangehouden. Wordt dit niet gedaan, dan ontstaan fouten in de bewerkingen.
Volgorde
De volgorde van de diverse bewerkingen moet altijd als volgt verlopen:
|
- Voorbeeld 1
|
12 3 • 3 : 9 - √ 36 + 5 - 3 =
|
Hulpmiddelen
Als van de normale volgorde moet worden afgeweken, dan worden soms hulpmiddelen gebruikt, en wel:
|
- Bij gebruik van deze hulpmiddelen wordt eerst uitegerekend wat binnen de haakjes staat. Daarna wordt vastgesteld, wat binnen de accoladen staat, en als laatste wordt nagegaan wat binnen de rechte haakjes staat.
- Nadat de berekeningen zijn gemaakt, worden achtereenvolgens de haakjes, de accoladen en de rechte haakjes weggelaten.
- Als de hulpmiddelen zijn verdwenen, wordt de berekening in de normale volgorde voortgezet.
- Voorbeeld 2
|
[ { ( 28 - 16 ) • 3 - ( 12 + 4 ) : 4 } • √ 25 - 10 ]:{( 4 + 3 )• 2 3 - 6 } =
|