|
|
| Regel 19: |
Regel 19: |
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
| {{essay|Franciscus 1 augustus 2009 16:00 (UTC)}}
| |
| =Over kwadraten=
| |
| Het woord '''kwadraat''' stamt af van het Latijnse woord ''quadratus'', dat weer afkomstig is van ''quadrus''. Quadrus betekent zoveel als ''vierkantig maken''.
| |
| <br/>In onze beleving heeft het woord kwadraat de betekenis gekregen van een getal, dat met zichzelf wordt vermenigvuldigd. Dit zou geschreven kunnen worden als:
| |
| *'''''n . n'''''
| |
| waarbij '''''n''''' het getal voorstelt, dat wordt gekwadrateerd. Men heeft er echter voor gekozen het kwadraat van '''''n''''' weer te geven, als:
| |
| *'''''n<sup>2</sup>'''''
| |
| ==Kwadraten==
| |
| [[Afbeelding:Kwadraten.jpg|400px|right]]
| |
| De kwadraten '''''1 <sup>2</sup>, 2 <sup>2</sup>, 3 <sup>2</sup>''''' en zo voorts, kunnen op een eenvoudige wijze grafisch worden weergegeven, zoals op de afbeeldingen is te zien. Over '''''1 <sup>2</sup>''''' valt niet veel te vertellen, aangezien '''''1 . 1 = 1'''''. Bij '''''2 <sup>2</sup>, 3 <sup>2</sup>''''' en zo voorts, wordt dit anders. De ''twee'' groene stippen stellen het getal '''''2''''' voor. Aangezien '''''2 <sup>2</sup>''''' = '''''2 . 2 = 4''''', komt er dus ''een'' rij met groene stippen bij, en ontstaat er een ''vierkant''.
| |
| <br/>We komen hiermee weer uit bij ''quadrus'', dus het vierkantig maken van een getal.
| |
| <br/>Bij het getal''' ''3''''' gaat het precies zo. Het getal '''''3''''' wordt hier weergegeven door ''drie'' groene stippen. Aangezien '''''3 <sup>2</sup>''''' = '''''3 . 3 = 9''''', komen er dus ''twee'' rijen met groene stippen bij. Hetzelfde verhaal gaat op voor elk ander getal, ook voor halve getallen of breuken.
| |
| <br/>In principe kan elk getal grafisch worden weergegeven, al is dit bij halve getallen of breuken wat gecompliceerder dan bij hele getallen.
| |
| <br/>In het verdere betoog zal vanwege de eenvoud, daarom steeds met hele getallen worden gewerkt.
| |
| ==Het verband tussen de kwadraten==
| |
| [[Afbeelding:Kwadraten 2.jpg|350px|right]]
| |
| Het blijkt, dat bij de reeks kwadraten, gerekend vanaf '''''1 <sup>2</sup>, 2 <sup>2</sup>, 3 <sup>2</sup>''''' en zo voorts, tussen twee opvolgende kwadraten een samenhang bestaat. Tussen twee opvolgende kwadraten blijkt namelijk de volgende betrekking aanwezig te zijn:
| |
| *'''''n <sup>2</sup> = ( n – 1 ) <sup>2</sup> + ( n – 1 ) + n'''''
| |
| Voor bijvoorbeeld '''''3 <sup>2</sup>''''' ( dus '''''n = 3''''' ) in betrekking tot '''''n - 1 = 2''''', geldt dus:
| |
| *'''''3 <sup>2</sup> = ( 3 – 1 ) <sup>2</sup> + ( 3 – 1 ) + 3 = 4 + 2 + 3 = 9'''''
| |
| In bijgaande afbeelding is dit verband op een grafische manier weergegeven.
| |
| <br/>De term '''''( n – 1 ) <sup>2</sup>''''' - weergegeven in groen - is gelijk aan '''''( 3 – 1 ) <sup>2</sup> = 4'''''.
| |
| <br/>De term '''''( n – 1 )'' ''' - weergegeven in rood – is gelijk aan '''''( 3 – 1 ) = 2''''' en tenslotte is de term '''''n = 3''''' weergegeven in geel. Het geheel levert de som '''''= 9''''' op.
| |
| <br/>Ook voor bijvoorbeeld '''''4 <sup>2</sup>''''' in betrekking tot '''''n - 1 = 3''''', gaat de vergelijking op, zoals blijkt uit het volgende.
| |
| Voor '''''4 <sup>2</sup>'' ''' ( dus '''''n = 4''''' ) geldt dus:
| |
| *'''''4 <sup>2</sup> = ( 4 – 1 ) <sup>2</sup> + ( 4– 1 ) + 4 = 9 + 3 + 4 = 16'''''
| |
| De term '''''( n – 1 ) <sup>2</sup>''''' is gelijk aan '''''( 4 – 1 ) <sup>2</sup> = 9'''''. De term '''''( n – 1 )'' ''' is gelijk aan '''''( 4 – 1 ) = 3''''' en tenslotte de term '''''n = 4'''''.
| |
| <br/>Het geheel levert de som '''''= 16''''' op.
| |
| <br/>Ook als de reeks kwadraten ''tegengesteld'' loopt, kan na verandering van '''-''' in '''+''' in een vergelijking het verband tussen twee opvolgende kwadraten worden weergegeven, namelijk:
| |
| *'''''n <sup>2</sup> = ( n + 1 ) <sup>2</sup> - ( n + 1 ) - n'''''
| |
| Toegepast op de getallen '''''3''''' en '''''4''''' volgt hieruit:
| |
| *'''''3 <sup>2</sup> = ( 3 + 1 ) <sup>2</sup> - ( 3 + 1 ) - 3 = 16 – 4 – 3 = 9'''''.
| |
| Overal verder in de reeks kwadraten blijkt de relatie met het voorgaande getal aanwezig te zijn. Neem als willekeurig voorbeeld :
| |
| '''''21 <sup>2</sup>.'''''
| |
| *'''''21 <sup>2</sup> = ( 21 – 1 ) <sup>2</sup> + ( 21– 1 ) + 21 = 400 + 20 + 21 = 441'''''
| |
| en neergaand:
| |
| *'''''20 <sup>2</sup> = ( 1 + 20 ) <sup>2</sup> – ( 1 + 20 ) – 20 = 441 – 21 – 20 = 400'''''
| |
| ==Tussenliggende kwadraten==
| |
| Er blijken nog meer verbanden te bestaan. Als bijvoorbeeld de reeks kwadraten met een interval van twee getallen - gerekend vanaf '''''1 <sup>2</sup>, 3 <sup>2</sup> , 5 <sup>2</sup>''''' enz., of '''''2 <sup>2</sup>, 4 <sup>2</sup>, 6 <sup>2</sup>''''' enz. - wordt bestudeerd, dan blijkt ook hier een onderlinge betrekking te bestaan.
| |
| <br/>Deze betrekking voor de reeks in de stijgende lijn wordt als volgt uitgedrukt:
| |
| *'''''n <sup>2</sup> = ( n – 2 ) <sup>2</sup> + 2 ( n – 2 ) + 2 n '''''
| |
| Als dit wordt toegepast op bijvoorbeeld het getal '''''5''''' in betrekking tot '''''5 - 2 = 3''''', dan wordt dit:
| |
| *'''''5 <sup>2</sup> = ( 5 – 2 )<sup>2</sup> + 2 ( 5 – 2 ) + 2 . 5'''''
| |
| wat dus oplevert:
| |
| *'''''5 <sup>2</sup> = 3 <sup>2</sup> + 2 . 3 + 2 . 5 = 25'''''
| |
| Ook in afbeelding 3 is dit verband op een grafische manier weergegeven. De term '''''( n – 2 ) <sup>2</sup>''''' - weergegeven in groen - is gelijk aan '''''( 5 – 2 ) <sup>2</sup> = 9'''''. De term '''''2 ( n – 1 )'' ''' - weergegeven in rood – is gelijk aan '''''2 ( 5 – 2 ) = 6''''' en tenslotte is de term '''''2 n = 10'''''. Het geheel levert de som = '''''25''''' op.
| |
| <br/>Als het getal '''''6''''' wordt genomen, dan levert dat op:
| |
| *'''''6 <sup>2</sup> = ( 6 – 2 ) <sup>2</sup> + 2 ( 6– 2 ) + 2 . 6'''''
| |
| wat dus oplevert:
| |
| *'''''6 <sup>2</sup> = 4 <sup>2</sup> + 2 . 4 + 2 . 6 = 36'''''
| |
| Voor de teruggaande reeks kwadraten wordt na aanpassing de formule aldus:
| |
| *'''''n <sup>2</sup> = ( n + 2 ) <sup>2</sup> - 2 ( n + 2 ) - 2 n'''''
| |
| Voor het kwadraat van '''''4''''' levert dit op:
| |
| *'''''4 <sup>2</sup> = ( 4 + 2 ) <sup>2</sup> - 2 ( 4 + 2 ) - 2 . 4 = 36 - 12 – 8 = 16'''''
| |
| ==Algemene regel==
| |
| Bij verder bestuderen van het verband tussen de kwadraten in stijgende lijn, kan een algemene formule worden opgesteld, en wel deze :
| |
| *'''''n <sup>2</sup> = ( n – n’ ) <sup>2</sup> + n’ ( n – n’ ) + n . n’ '''''
| |
| waarbij '''''n’''''' het vergelijkende getal is.
| |
| <br/>Bij kwadraten in neergaande lijn geldt dan de afgeleide van deze formule, namelijk:
| |
| *'''''n <sup>2</sup> = ( n + n’ ) <sup>2</sup> - n’ ( n + n’ ) - n . n’ '''''
| |
| Toegepast op de opeenvolgende kwadraten met de kwadraten van '''''5''''' en '''''6''''' wordt dit:
| |
| *'''''6 <sup>2</sup> = ( 6 - 5 ) <sup>2</sup> + 5 ( 6 – 5 ) + 5 . 6 = 36'''''
| |
| of :
| |
| *'''''5 <sup>2</sup> = ( 5 + 6 ) <sup>2</sup> - 6 ( 5 + 6 ) - 6 . 5 = 25'''''
| |
| Toegepast op de tussenliggende kwadraten '''''8 <sup>2</sup> en 10 <sup>2</sup>,''''' levert dit op:
| |
| *'''''10 <sup>2</sup> = ( 10 – 8 ) <sup>2</sup> + 8 ( 10 – 8 ) + 10 . 8 = 100'''''
| |
| of :
| |
| *'''''8 <sup>2</sup> = ( 8 + 10 ) <sup>2</sup> - 10 ( 8 + 10 ) - 8 . 10 = 64'''''
| |
| Ook voor grotere intervallen geldt de algemene regel, zoals bij '''''7 <sup>2</sup>''''' en '''''10 <sup>2</sup>''''' of bijvoorbeeld '''''7 <sup>2</sup>''''' en '''''20 <sup>2</sup>,''''' namelijk:
| |
| *'''''10 <sup>2</sup> = ( 10 – 7 ) <sup>2</sup> + 7 ( 10 – 7 ) + 7 . 10 = 100'''''
| |
| en neergaand:
| |
| *'''''7 <sup>2</sup> = ( 7 + 10 ) <sup>2</sup> – 10 ( 7 + 10 ) – 7 . 10 = 49'''''
| |
| Bij '''''7 <sup>2</sup> en 20 <sup>2</sup>'' ''' wordt dit:
| |
| *'''''20 <sup>2</sup> = ( 20 – 7 ) <sup>2</sup> + ( 20 – 7 ) + 20 . 7 = 400'''''
| |
| en neergaand:
| |
| *'''''7 <sup>2</sup> = ( 7 + 20 ) <sup>2</sup> – 20 ( 7 + 20 ) – 7 . 20 = 49'''''
| |
| ==Conclusies==
| |
| ::''Het blijkt, dat er tussen twee kwadraten een onderlinge betrekking bestaat, die in formulevorm is uit te drukken.''
| |
| ::''Het onderzoek naar zo'n direct verband werd zuiver door veronderstellingen en door nieuwsgierigheid ingegeven,''
| |
| ::''en had geen functie als oplossing voor een bestaand probleem.''
| |
| ::''Door een dergelijke beschouwing blijkt er echter een proces in werking te zijn gezet, dat na uitwerking van de basisgedachte''
| |
| ::''tot verassende uitkomsten heeft geleid. Als bijkomend voordeel van dit soort overpeinzingen geldt,''
| |
| ::''dat weer eens duidelijk wordt, dat getallen niet op zichzelf staan, maar onderling met elkaar zijn verbonden.''
| |
|
| |
|
|
| |
|
