Wikisage is op 1 na de grootste internet-encyclopedie in het Nederlands. Iedereen kan de hier verzamelde kennis gratis gebruiken, zonder storende advertenties. De Koninklijke Bibliotheek van Nederland heeft Wikisage in 2018 aangemerkt als digitaal erfgoed.
- Wilt u meehelpen om Wikisage te laten groeien? Maak dan een account aan. U bent van harte welkom. Zie: Portaal:Gebruikers.
- Bent u blij met Wikisage, of wilt u juist meer? Dan stellen we een bescheiden donatie om de kosten te bestrijden zeer op prijs. Zie: Portaal:Donaties.
Fractal
 |
 |
 |
.jpg) |
Een fractal, soms ook fractaal genoemd, is een meetkundige figuur die zelfgelijkend is, dat wil zeggen opgebouwd is uit delen die min of meer gelijkvormig zijn met de figuur zelf. Het gevolg is dat de figuur op elke schaal een zeer onregelmatige structuur heeft. Fractals hebben een oneindige hoeveelheid details, en bij sommige fractals komen motieven voor die zich op steeds kleinere schaal herhalen. Doorgaans kunnen fractals gegenereerd worden door het herhaald toepassen van een bepaalde bewerking. De term fractal werd geïntroduceerd in 1975 door Benoît Mandelbrot en is afgeleid van het Latijnse fractus (gebroken).
Wiskundige objecten met fractale eigenschappen werden eind 19e en begin 20e eeuw ontdekt door wiskundigen als Karl Weierstrass, Helge von Koch, Georg Cantor, Henri Poincaré en Gaston Julia. De fractalmeetkunde is de tak van wiskunde die zich bezig houdt met de eigenschappen van fractals. Het is een aanvulling op de klassieke meetkunde, met toepassingen in wetenschap, technologie en computerkunst.
De bekendste fractals zijn de Mandelbrotverzameling en de Juliaverzameling.
De naar Jules Ruis genoemde Julius Ruisverzameling betreft een grafische presentatie van 400 Juliaverzamelingen, waarmee wordt aangetoond dat de Mandelbrotverzameling het parameterbassin vormt van alle gesloten Juliaverzamelingen.
Dimensies meten
Een fractal kan worden gekarakteriseerd door zijn Hausdorff-dimensie: in tegenstelling tot niet-fractale objecten is de dimensie van een fractaal object geen geheel getal. De dimensie van een punt is 0, en van een lijn 1. Een fractal bestaande uit een oneindige verzameling punten langs een lijn heeft een dimensie tussen 1 en 2 in, bijvoorbeeld 1,5.
De dimensionaliteit van sommige figuren is zo voor de hand liggend dat het niet nodig lijkt een methode bij de hand te hebben om de dimensie te bepalen. Zo is een rechte lijn 'duidelijk' eendimensionaal en een plat vlak tweedimensionaal. We zouden dat – als er enige twijfel was – als volgt kunnen bepalen:
Beschouw een begrensd object. We kiezen een straal R en bepalen hoeveel bolletjes met straal R nodig zijn om het object volledig te overdekken. We kijken nu wat er gebeurt met het aantal benodigde bolletjes als we de straal kleiner maken. Als we een lijnstuk hebben en de straal halveren, dan hebben we twee keer zo veel bolletjes nodig. Voor een begrensd vlak hebben we vier keer zo veel bolletjes nodig (4=22). In het algemeen definiëren we, dat als we de straal door S delen het aantal benodigde bolletjes met Sd toeneemt, d de dimensionaliteit van het object is.
Voor lijnen en vlakken lijkt dit een wat flauw spelletje, maar niet als de verzameling punten op bijvoorbeeld een wolk of een kustlijn lijkt. In dat geval is het mogelijk verzamelingen te definiëren waarbij het aantal bolletjes toeneemt met een factor S2,324 of S1,324. Dit soort figuren waarvoor de dimensie niet een geheel getal is, heten fractals.
Toepassingen
De fractale wiskunde heeft in de jaren 1980 - 1990 een te grote populariteit onder wetenschappers gekend. Men meende overal en in alles fractals te onderkennen en deze wiskunde werd te pas en te onpas toegepast; zo zeer zelfs dat anno 2004 fractals een beetje in diskrediet zijn in de wetenschap. Dit is des te merkwaardiger omdat een fractal net als een bol of een driehoek een wiskundig begrip is dat noch waar noch onwaar is, maar gewoon bij definitie geschapen.
Toch zijn er diverse toepassingen van fractals die niet meer weg te denken zijn. De beschrijving van chaos bijvoorbeeld is ondenkbaar zonder de achtergrond van fractals. De Poincaré-afbeelding van een chaotisch systeem vormt een fractal. Ook de karakterisatie van op het oog heel rommelige structuren, bijvoorbeeld deeltjes met een bijzonder ruw oppervlak of het karakteriseren van de bladvorm van varens of de takstructuur van bomen maakt dankbaar gebruik van fractale wiskunde. Met behulp van strooiing bij kleine hoeken zowel van röntgen- als van neutronenstraling (SAXS of SANS) kunnen fractale dimensies van bijvoorbeeld colloïdaal gesuspendeerde kleine deeltjes direct gemeten worden.
Programma's
Er zijn vele programma's die plaatjes via fractalberekeningen kunnen maken. Door een kleur toe te kennen aan de waarde ontstaan zo plaatjes. Door binnen zo'n programma een klein deel uit te vergroten, is te zien dat een fractal steeds verder doorgerekend kan worden (afhankelijk van de beperkingen van het programma).
Media
Zie ook
Vrije mediabestanden over Fractal op Wikimedia Commons
Bronvermelding
Bronnen, noten en/of referenties: