Speciale relativiteitstheorie

De speciale relativiteitstheorie, in 1905 gepubliceerd door Albert Einstein, is de bewegingsleer (kinematica) voor het geval dat snelheden niet zeer klein zijn tov de lichtsnelheid c. Volgens deze theorie zijn lengte en tijd relatief, namelijk afhankelijk van het snelheidsverschil tussen waarnemers, en de energie van massa is evenredig met c².

De volgende beschrijving van de theorie is ontleend aan Robert B Leighton, Principles of modern physics, ch.1.

Einstein gaat uit van twee postulaten:

1. De natuurwetten zijn dezelfde voor waarnemers die zich eenparig (niet versneld) bewegen tov elkaar.
2. De lichtsnelheid c in vacuüm is gelijk voor iedere waarnemer, onafhankelijk van de snelheid van de bron.

Laat twee waarnemers W en W' eenparig rechtlijnig bewegen met snelheidsverschil V. Laat op enig moment de oorsprongen van hun coordinaatsystemen met gelijkgerichte assen x,y,z en x',y',z' samenvallen en synchonizeer dan hun klokken t=t'=0. Ontsteek op dat moment een lichtpuls in de oorsprong. Volgens de postulaten hebben de vergelijkingen van de lichtgolf van die puls voor beide waarnemers de zelfde bolvorm

x²+y²+z² = c²t² en x'²+y'²+z'² = c²t'²

met straal ct en ct' en middelpunten in hun oorsprongen. Beide waarnemers, die zich steeds verder van elkaar verwijderen, zijn in de oorsprong van hun coordinaatsystemen in het middelpunt van dezelfde bolgolf. Hoe kan dat?

De oplossing van deze paradox is het vinden van de coordinatentransformatie. De transformatie van de y en z coordinaten is eenvoudig y=y' en z=z', maar die tussen x',t' en x,t zodanig dat

x²-c²t² = x'²-c²t'² = 0

is het probleem. De niet-relativistische translatie x'=x-Vt en t'=t is niet de oplossing. Dan is x'² niet gelijk aan c²t'² zodat de oorsprong x'=0 niet het middelpunt van de golf is.

De relativistische transformatie heeft een ingewikkelder vorm

x' = g(x-Vt) en t' = at+bx/c

met dimensieloze factoren g, a en b. Invullen in de golf vergeljkingen geeft

x²-c²t² = g²(x-Vt)²-c²(at+bx/c)² = (g²-b²)x²-2(g²V+abc)xt+(g²V²-a²c²)t² = 0.

Dit geldt voor alle x en t dus

g²-b² = 1, a²c²-g²V² = c² en g²V+abc = 0,

drie vergelijkingen voor g, a en b. Volgens de derde vergelijking is g⁴V²=a²b²c². Substitueer a² en b² volgens de eerste twee vergelijkingen. De g⁴V² term valt er uit en het resultaat is:

g²(1-V²/c²) = 1, a = g en b = -gV/c.

Met de gangbare notatie 𝛽=V/c en 𝛾=g is de transformatie, genoemd naar Hendrik Lorentz,

x' = 𝛾(x-𝛽ct), y' = y, z' = z, ct' = 𝛾(ct-𝛽x) met 𝛾 = 1/√(1-𝛽²).

Met deze transformatie blijft ook waarnemer W' in het middelpunt van de bolgolf volgens zijn coordinatensysteem.

Stel dat W' een maatstok ter lengte L (bijv 1 meter) heeft parallel met de x' as. De coordinaten van de stokeinden zijn x'₁ en x'₂. Op tijd t is de stoklengte L = x'₂-x'₁ = 𝛾(x₂-x₁). Volgens W is de stoklengte x₂-x₁ = L/𝛾, een factor 𝛾 korter. Dit heet Lorentz-FitzGerald contractie. De dikte van de stok is voor W en W' gelijk.

De omgekeerde transformatie, van x',t' naar x,t, is x = 𝛾(x'+𝛽ct'), ct = 𝛾(ct'+𝛽x') met tegengesteld teken van 𝛽.

Stel dat W' een klok heeft op plaatscoordinaat x'=0 met tijdverschil T (bijv 1 seconde) tussen opeenvolgende tikken t'₁ en t'₂. T = t'₂-t'₁. Volgens W tikt de klok op ct₁ = 𝛾ct'₁ en ct₂ = 𝛾ct'₂ met tijdsverschil t₂-t₁ = 𝛾T, een factor 𝛾 langer, dus de klok van W' loopt langzamer. Dit heet tijddilatatie.

De W' klok beweegt volgens W tussen de tikken over een afstand x₂-x₁ = 𝛾𝛽c(t'₂-t'₁) = 𝛾𝛽cT = V𝛾T.

Snelheden optellen

Laat een derde waarnemer W" eenparig rechtlijnig bewegen met snelheidsverschil V' tov W' in de x richting. Wat is de snelheid van W" tov W? De transformatie van de x" en t" coordinaten van W" naar x' en t' is

x" = 𝛾'(x'-𝛽'ct'), ct" = 𝛾'(ct'-𝛽'x') met 𝛽' = V'/c en 𝛾' = 1/√(1-𝛽'²).

Uitgedrukt in W coordinaten x,t is x" = 𝛾'(𝛾x-𝛾𝛽ct-𝛽'𝛾ct+𝛾𝛽'𝛽x) = 𝛾'𝛾[x(1+𝛽'𝛽)-ct(𝛽+𝛽')]. W" bevindt zich op x"=0, dat is op x = ct(𝛽+𝛽')/(1+𝛽'𝛽). De snelheid van W" is volgens W

x/t = c(𝛽+𝛽')/(1+𝛽'𝛽) = (V+V')/(1+𝛽'𝛽).

Dus niet V+V' maar een factor 1+𝛽'𝛽 kleiner, en daardoor kleiner dan c zelfs als V+V' groter dan c is.

Mechanica

Relativistisch is de impuls van een massa m met snelheid v:

p = 𝛾mv met 𝛾 = 1/√(1-v²/c²)

Een kracht K op de massa in de bewegingsrichting verandert de impuls. Omdat d𝛾/dt = 𝛾³(v/c²)dv/dt is

K = dp/dt = m(vd𝛾/dt+𝛾dv/dt) = m(𝛾³v²/c²+𝛾)dv/dt = m𝛾³dv/dt

De energie E van de massa verandert door K volgens

dE/dt = Kv = mc²d𝛾/dt

dus zoals 𝛾mc² verandert. Relativistisch is de energie

E = 𝛾mc²

Als v veel kleiner dan c is, is 𝛾=1+v²/2c² en dE/dt = d½mv²/dt, dus niet-relativistisch is de energie ½mv².

Andere notatie

Andere beschrijvingen van de relativistische mechanica, bijv in de Wikipedia, gebruiken andere notatie: de rustmassa m₀ en de relativistische massa m=𝛾m₀ die afhankelijk is van de snelheid tov een waarnemer. Dan is de impuls p=mv en de energie E=mc². Natuurkunde leerboeken gebruiken deze andere notatie meestal niet.

Ruimtetijd

De relativiteitstheorie toont dat lengte en tijd niet eenduidig te meten zijn, want ze zijn ongelijk voor verschillende waarnemers. Hermann Minkowski bedacht in 1907 dat deze theorie beter te formuleren is in ruimtetijd met 3 ruimte coordinaten x,y,z en als vierde coordinaat ct (zodat deze ook dimensie lengte heeft). In dat stelsel is het mogelijk de eigentijd dτ tussen twee gebeurtenissen met verschillende coordinaten x,y,z,ct te definiëren die voor verschillende waarnemers wel gelijk is:

dτ² = dt² - (dx²+dy²+dz²)/c²

waarin d coordinaatverschil aanduidt. Voor de bovenvermelde klok van W' is de eigentijd tussen kloktikken T, ook volgens W. Voor de maatstok van W' is de eigentijd dτ=iL/c imaginair, ook volgens W. De eenheid van lengte uitgedrukt in eigentijd is de lichtseconde, 299 792 458 meter.

Einstein formuleerde in 1915 de algemene relativiteitstheorie in ruimtetijd die gekromd is door massa.

  Zie ook de categorie met mediabestanden in verband met Special relativity op Wikimedia Commons.