Speciale relativiteitstheorie

De speciale relativiteitstheorie, in 1905 gepubliceerd door Albert Einstein, is de bewegingsleer (kinematica) voor het geval dat snelheden niet zeer klein zijn tov de lichtsnelheid c. Volgens deze theorie zijn lengte en tijd relatief, namelijk afhankelijk van het snelheidsverschil tussen waarnemers, en de energie van massa is evenredig met c².

Einstein gaat uit van twee postulaten:

1. De natuurwetten zijn dezelfde voor waarnemers die zich eenparig (niet versneld) bewegen tov elkaar.
2. De lichtsnelheid c in vacuüm is gelijk voor iedere waarnemer, onafhankelijk van de snelheid van de bron.

Laat twee waarnemers W en W' eenparig rechtlijnig bewegen met snelheidsverschil V. Laat op enig moment de oorsprongen van hun coordinaatsystemen met gelijkgerichte assen x,y,z en x',y',z' samenvallen en synchonizeer dan hun klokken t=t'=0. Ontsteek op dat moment een lichtpuls in de oorsprong. Volgens de postulaten hebben de vergelijkingen van de lichtgolf van die puls voor beide waarnemers de zelfde bolvorm

x²+y²+z² = c²t² en x'²+y'²+z'² = c²t'²

met straal ct en ct' en middelpunten in hun oorsprongen. Beide waarnemers, die zich steeds verder van elkaar verwijderen, zijn in de oorsprong van hun coordinaatsystemen in het middelpunt van dezelfde bolgolf. Hoe kan dat?

De oplossing van deze paradox is het vinden van de coordinatentransformatie. De transformatie van de y en z coordinaten is eenvoudig y=y' en z=z', maar die tussen x',t' en x,t zodanig dat

x²-c²t² = x'²-c²t'² = 0

is het probleem. De niet-relativistische translatie x'=x-Vt en t'=t is niet de oplossing. Dan is x'² niet gelijk aan c²t'² zodat de oorsprong x'=0 niet het middelpunt van de golf is.

De relativistische transformatie heeft een ingewikkelder vorm

x' = g(x-Vt) en t' = at+bx/c

met dimensieloze factoren g, a en b. Invullen in de golf vergeljkingen geeft

x²-c²t² = g²(x-Vt)²-c²(at+bx/c)² = (g²-b²)x²-2(g²V+abc)xt+(g²V²-a²c²)t² = 0.

Dit geldt voor alle x en t dus

g²-b² = 1, a²c²-g²V² = c² en g²V+abc = 0,

drie vergelijkingen voor g, a en b. Volgens de derde vergelijking is g⁴V²=a²b²c². Substitueer a² en b² volgens de eerste twee vergelijkingen. De g⁴V² term valt er uit en het resultaat is:

g²(1-V²/c²) = 1, a = g en b = -gV/c.

Met de gangbare notatie β=V/c en γ=g (griekse gamma) is de transformatie, genoemd naar Hendrik Lorentz,

x' = γ(x-βct), y' = y, z' = z, ct' = γ(ct-βx) met γ = 1/√(1-β²).

Met deze transformatie blijft ook waarnemer W' in het middelpunt van de bolgolf volgens zijn coordinatensysteem.

Stel dat W' een maatstok ter lengte L (bijv 1 meter) heeft parallel met de x' as. De coordinaten van de stokeinden zijn x'₁ en x'₂. Op tijd t is de stoklengte L = x'₂-x'₁ = γ(x₂-x₁). Volgens W is de stoklengte x₂-x₁ = L/γ, een factor γ korter. Dit heet Lorentz-FitzGerald contractie. De dikte van de stok is voor W en W' gelijk.

De omgekeerde transformatie, van x',t' naar x,t, is x = γ(x'+βct'), ct = γ(ct'+βx') met tegengesteld teken van β.

Stel dat W' een klok heeft op plaatscoordinaat x'=0 met tijdverschil T (bijv 1 seconde) tussen opeenvolgende tikken t'₁ en t'₂. T = t'₂-t'₁. Volgens W tikt de klok op ct₁ = γct'₁ en ct₂ = γct'₂ met tijdsverschil t₂-t₁ = γT, een factor γ langer, dus de klok van W' loopt langzamer. Dit heet tijddilatatie.

De W' klok beweegt volgens W tussen de tikken over een afstand x₂-x₁ = γβc(t'₂-t'₁) = γβcT = VγT.

Snelheden optellen

Laat een derde waarnemer W" eenparig rechtlijnig bewegen met snelheidsverschil V' tov W' in de x richting. Wat is de snelheid van W" tov W? De transformatie van de x" en t" coordinaten van W" naar x' en t' is

x" = γ'(x'-β'ct'), ct" = γ'(ct'-β'x') met β' = V'/c en γ' = 1/√(1-β'²).

Uitgedrukt in W coordinaten x,t is x" = γ'(γx-γβct-β'γct+γβ'βx) = γ'γ(x(1+β'β)-ct(β+β')). W" bevindt zich op x"=0, dat is op x = ct(β+β')/(1+β'β). De snelheid van W" is volgens W

x/t = c(β+β')/(1+β'β) = (V+V')/(1+β'β).

Dus niet V+V' maar een factor 1+β'β kleiner, en daardoor kleiner dan c zelfs als V+V' groter dan c is.

Mechanica

Relativistisch is de impuls van een massa m met snelheid v:

p = γmv met γ = 1/√(1-v²/c²)

Een kracht K op de massa in de bewegingsrichting verandert de impuls. Omdat dγ/dt = γ³(v/c²)dv/dt is

K = dp/dt = m(vdγ/dt+γdv/dt) = m(γ³v²/c²+γ)dv/dt = mγ³dv/dt

De energie E van de massa verandert door K volgens

dE/dt = Kv = mc²dγ/dt

dus zoals γmc² verandert. Relativistisch is de energie

E = γmc²

Als v veel kleiner dan c is, is γ=1+v²/2c² en dE/dt = d½mv²/dt, dus niet-relativistisch is de energie ½mv².

Bron

Bovenstaande formulering is ontleend aan Robert B Leighton, Principles of modern physics, ch.1. Dit boek beschrijft ook speciale relativiteit in 4-dimensionale ruimtetijd, met tensoranalyse, volgens Hermann Minkowski.

Andere notatie

Andere beschrijvingen van de relativistische mechanica, bijv in de Wikipedia, gebruiken andere notatie: de rustmassa m₀ en de relativistische massa m=γm₀ die afhankelijk is van de snelheid tov een waarnemer. Dan is de impuls p=mv en de energie E=mc². Natuurkunde leerboeken gebruiken deze andere notatie meestal niet.

  Zie ook de categorie met mediabestanden in verband met Special relativity op Wikimedia Commons.