Benadering van delta-functie

Benadering van deltafunctie

De delta-dirac functie :

De delta-dirac functie is niet een echte functie, het is een concept waarbij de "functie" gelijk is aan nul, overal behalve in het punt 0, waar deze oneindig is. Een fysische interpretatie hiervan komt vooral voor als men de fouriergetransformeerde bekijkt, dit is een constant functie y=1, dit stelt alle mogelijke frequenties voor.

Een deltafunctie toepassen betekent eigenlijk alle mogelijke frequenties aan een voorwerp aanbieden. Een deltafunctie op geluidsniveau is een korte impuls, bijvoorbeeld een hamertje, hierdoor gaat het voorwerp in resonantie komen en zendt het zijn eigen frequentie uit. Een deltafunctie op visueel niveau kan makkelijk worden voorgesteld als wit licht voor ons, dit bevat alle mogelijke frequenties die wij kunnen zien, als men dit door bijvoorbeeld een rood veld stuurt, dan zal er aan de andere kant rood licht uitkomen.

Met deze theorie kan je gaan kijken wat er gebeurt als men een groene laserlichtpuls kort genoeg licht laat uitzenden, het antwoord is, hoe contra-intuïtief ook, wit.

Fouriertransformatie en convolutie:

Fouriertransformatie is een methode om het frequentiespectrum te bepalen van een niet-periodieke functie, de fouriertransformatie wordt vanaf hier aangeduid met de hoofdletter F,

F[f(t)] = F(ω)

voor de formule van de fouriertransformatie zie Fouriertransformatie

Het convolutieproduct geeft een methode om input om te zetten naar output in een LTI-systeem, een LTI-systeem wordt later in dit artikel verder uitgelegd, de convolutiestelling geeft ons een integraal; om de integraal te zien, zie convolutie dit wordt ook wel het convolutieproduct genoemd en wordt vaak genoteerd als

h(t) (x) input(t)

Het convolutietheorema zegt dat de fouriertransformatie van het convolutieproduct gelijk is aan het gewone product tussen de twee fouriertransformaties, en vice versa

Lineair Tijdsinvariant Transmissiesysteem :

Om verder te kunnen gaan in het verhaal over de mogelijkheden van de deltafunctie moet er eerst het principe van een LTI systeem worden uitgelegd. Een LTI systeem kan eenvoudig worden beschouwd als een systeem dat input naar output verandert, bijna alle objecten kunnen als een LTI systeem worden beschouwd, een raam bijvoorbeeld, niet al het licht komt erdoor en niet al het licht komt in dezelfde hoek aan als het vertrok, dit komt door refractie en reflectie. Lineair staat voor proportionele input t.o.v. output, eenvoudiger gezegd, dubbel de input geeft dubbel de output. Tijdsinvariant houdt eigenlijk een standaard regel van de Fysica in zich, namelijk dat het niet mag uitmaken wanneer we het experiment uitvoeren.

Een impulsrespons [h(t)] is de output waarvan de deltafunctie de input was, dit is afhankelijk van het systeem. Om de output te berekenen nemen we het convolutieproduct van h(t) en de input, dat eerder in dat artikel besproken werd, maar in combinatie met de fouriertransformatie die ook eerder beschreven werd kan men de functie f(t) een tijdelijke periodieke functie over een tijd Δt gelijk stellen aan f(t)=rect*sin(2πct/λ) waarbij c de snelheid van het licht in vacuüm is en λ de golflengte.

Als men dan de fouriertransformatie neemt van deze functie, rekening houdend met de convolutiestelling, bekomt men dan

F(ω)=sinc(fπ)(x)F[sin(2πct/λ) 

met (x) het convolutieproduct. Als met deze cijfers verder gerekend wordt, kan men aantonen dat (ωx-ω0)=2π/Δt met ωx de laagst behaalde frequentie is, en ω0 de basis uitgezonden frequentie.

Mogelijkheden van de formule (ωx-ω0)=2π/Δt :

Als men naar deze formule kijkt kan men zich de vraag stellen of alle frequenties golven dus kunnen gemaakt worden door een laserpointer met een welbepaalde frequentie, het antwoord is inderdaad ja, als Δt maar klein genoeg is. bijvoorbeeld een laserpointer met golflengte 600 nm geeft perfect wit licht als de lichtpuls 4·10^-18 s bedraagt, en een groene laserpointer (550 nm) kan gammastralen uitzenden als Δt kleiner wordt dan 3,33·10^-27 s. Om een realistische waarde te gebruiken kunnen we de kortste gemeten laserlichtpuls (67·10^-18 s) gebruiken, dan bekomen we dat een groene laserpointer hierbij licht tussen 535 en 565 nm kan uitzenden.