Gebruiker:H/nhoud (volume)

De inhoud of het volume van een voorwerp (lichaam, ruimtelijke figuur) is de grootte van het gebied in de ruimte (drie- (of hoger-) dimensionaal) dat door het voorwerp wordt ingenomen. Als basis in drie dimensies geldt dat de inhoud van een rechthoekig blok gelijk is aan lengte × breedte × hoogte. De inhoud van een voorwerp is nu bepaald door het aantal eenheden met lengte, breedte en hoogte elk 1 cm, dus inhoud 1 cm³, die in het voorwerp passen.

Men bepaalt het volume van een voorwerp V door de ruimte op te delen in volumes ΔV van 1 eenheid, en de eenheden die in V liggen op te tellen. Omdat niet elke eenheid precies wel of niet in V ligt geeft dit een benadering:

<math>I(V)\approx\sum_V \Delta V</math>.

Door de eenheden steeds kleiner te nemen wordt deze benadering nauwkeuriger. Dit limietproces leidt tot een ruimtelijke integraal die in de onderstaande formule is gegeven.

De SI-eenheid van inhoud is de kubieke meter, m³.

Formule

De inhoud van een willekeurig object kan berekend worden uit <math>\int\int\int_V dv</math>, waarbij de integraal loopt over het ruimelijk gebied V dat door het object wordt ingenomen.

Voorbeeld

Het volume I van de cilinder met hoogte h en straal r van het grondvlak, met de z-as als cilinderas en staande op het xy-vlak, berekenen we als:

<math>I=\int_{x=-r}^r \int_{y=-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}}\int_{z=0}^h dzdydx = 2h\int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}dx=\pi r^2h</math>

Generalisatie

De maattheorie levert een algemene definitie voor het begrip inhoud aan de hand van een maat, meer bepaald de Lebesgue-maat op <math>\mathbb{R}^3</math>.

De inhoud van enkele standaardobjecten:

• Kubus met ribbe r : r³
• Balk met lengte L, en breedte B, hoogte H : L×B×H
• Cilinder met straal r en lengte L : πLr²
• Kegel met hoogte h en straal r (van het cirkelvormige grondvlak): πhr²/3
• Piramide met oppervlakte van het grondvlak G en hoogte h : G×h/3
• Bol met straal r : 4πr³/3
• Ellipsoïde met 'stralen' r₁, r₂ en r₃ : 4πr₁r₂r₃/3

  Vrije mediabestanden over Volume op Wikimedia Commons