Wikisage is op 1 na de grootste internet-encyclopedie in het Nederlands. Iedereen kan de hier verzamelde kennis gratis gebruiken, zonder storende advertenties. De Koninklijke Bibliotheek van Nederland heeft Wikisage in 2018 aangemerkt als digitaal erfgoed.
- Wilt u meehelpen om Wikisage te laten groeien? Maak dan een account aan. U bent van harte welkom. Zie: Portaal:Gebruikers.
- Bent u blij met Wikisage, of wilt u juist meer? Dan stellen we een bescheiden donatie om de kosten te bestrijden zeer op prijs. Zie: Portaal:Donaties.
Gebruiker:Franciscus/kladblok
Voorlopig neem ik deze pagina om nieuwe artikelen even op te bergen en te bewerken, vóórdat ik ze als bijdrage op Wikisage zet.
Franciscus 4 feb 2009 14:55 (UTC)
Deze afbeelding van Johan Wolfgang von Goethe is afkomstig van Wikipedia en dient als illustratie bij een artikel over Goethe. 13 feb 2009 13:26 (UTC)wil deze afbeelding gebruiken in zijn artikel: De Tovernaarsleerling. A1)
Deze vorm wordt meestal de isoperimetrische ongelijkheid genoemd.
Verhouding tussen oppervlak en omtrek bij regelmatige veelhoeken
Regelmatige veelhoeken zijn tweedimensionale meetkundige figuren, bestaande uit een eindig aantal lijnstukken die alle dezelfde lengte hebben. Voorbeelden hiervan zijn:
- de gelijkzijdige driehoek
- het vierkant
- de vijfhoek
- de regelmatige zeshoek
De cirkel, hoewel niet onder de regelmatige veelhoeken gerekend, hoort in dit rijtje thuis. De cirkel is is in ieder geval een tweedimensionale meetkundige figuur.
Ook bij de regelmatige veelhoeken kan het isoperimetrisch quotiënt worden bepaald, uitgaande van de cirkel. De cirkel blijkt namelijk van alle meetkundige figuren de figuur te zijn met de grootste oppervlakte/omtrek- verhouding, of anders gezegd: de cirkel bezit bij een gegeven oppervlak van alle meetkundige figuren de kleinste omtrek.
Net zoals bij de ruimtelijke figuren wordt het quotiënt dimensieloos gemaakt, in dit geval door het oppervlak en de omtrek van de cirkel plus een getalwaarde in de vorm te betrekken. Dit gaat als volgt:
Het oppervlak Acirkel is:
- <math>A_{cirkel} = {\pi\ r^2} </math>
en de omtrek Ocirkel is:
<math>O_{cirkel} = {2\pi\ r}</math>
Door het oppervlak A te delen door de omtrek O in het kwadraat, vallen de dimensies van de lengte ( l ) tegen elkaar weg. Verder is er door invoering van een getalwaarde ( 4π ) voor gezorgd, dat het isoperimetrisch quotiënt bij de cirkel op 1 uitkomt.
Wiskundig gezien, ziet het isoperimetrisch quotiënt ( IQ ) van een cirkel er als volgt uit:
- <math>IQ ={4\pi A\over O^2}</math> <math> = {4\pi (\pi r^2)\over(2\pi r)^2}= 1</math>
Het isoperimetrisch quotiënt IQ voor alle andere regelmatige veelhoeken wordt verder berekend volgens:
- <math>IQ ={4\pi A\over O^2} < 1</math>
Deze vorm wordt ook hier de isoperimetrische ongelijkheid genoemd.
In bijgaande tabel is deze berekening voor een aantal regelmatige veelhoeken met oplopende IQ en kleiner wordende omtrek O uitgevoerd.
Om inzicht te krijgen in de onderlinge verhoudingen tussen de diverse figuren, wordt bij het berekenen uitgegaan van een oppervlak A van 1000 cm2, waar dan weer de omtrek O uit kan worden afgeleid.
| Sjabloon:Galerijbestand | Sjabloon:Galerijbestand | Sjabloon:Galerijbestand |
| Regelmatige veelhoek | Omtrek O (cm) | IQ |
|---|---|---|
| Gelijkzijdige driehoek | 144 | 0,605 |
| Vierkant | 127 | 0,785 |
| Vijfhoek | 121 | 0,865 |
| Zeshoek | 118 | 0,907 |
| Achthoek | 115 | 0,948 |
| Tienhoek | 114 | 0,967 |
| Twaalfhoek | 113 | 0,977 |
| Zeventienhoek | 112,75 | 0,988 |
| Cirkel1) | 112 | 1 |
1)Al in de oudheid was men verrukt over de cirkel.
Proclus ( 411 - 485 ), een Grieks Neo-Platonisch filosoof en wiskundige, zei over de cirkel het volgende:
De cirkel is de eerste, de eenvoudigste en de meest volmaakte figuur.
Later zei Dante ( 1265 - 1321 ) over de cirkel:
Lo cerchio è perfetissima figura ( De cirkel is de meest volmaakte figuur ).
| Regelmatige veelhoek | Omtrek (n . a) | Wiskundige constante |
|---|---|---|
| Gelijkzijdige driehoek | 2,598d | 2,598 |
| Vierkant | 2,828d | 2,828 |
| Vijfhoek | 2,94d | 2,94 |
| Zeshoek | 3,0d | 3,0 |
| Achthoek | 3,06d | 3,06 |
| Tienhoek | 3,09d | 3,09 |
| Twaalfhoek | 3,108d | 3,108 |
| Vierentwintighoek | 3,1326d | 3,1326 |
| Zesendertighoek | 3,1376d | 3,1376 |
| Tweeënzeventighoek | 3,1406d | 3,1406……. |
| Driehonderzestighoek | 3,14155d | 3,14155……. |
| Zevenhonderdtwintighoek | 3,14158d | 3,14158……… |
| Zesendertighonderdhoek | 3,14159d | 3,14159…….( π ) |