Magisch vierkant

Een magisch vierkant of tovervierkant is een is een ordening van getallen in een vierkant waarin getallen zodanig zijn ingevuld, dat de kolommen, de rijen en de diagonalen alle dezelfde som opleveren.

Diezelfde som – een constant getal dus – wordt ook wel de magische constante genoemd..
Magische vierkanten zijn een fascinerende manier om getallen te rangschikken, en zijn enorm in populariteit gegroeid, zeker sinds de opkomst van op wiskunde gebaseerde denkspelletjes als Sudoku.

Oorsprong

Magische vierkanten behoren tot de oudst bekende wiskundige objecten. Als voorbeeld dient het beroemde 3 × 3 magische vierkant, wat volgens Chinese legenden uit 2800 voor Christus stamt. Volgens deze legenden stroomde de rivier Lo geregeld over. Men geloofde dat er offers aan de riviergod gebracht moesten worden om de rivier te kalmeren, maar ieder offer bleek tevergeefs.

Na weer zo’n overstroming merkte een kind op, dat er een schildpad op het land aanspoelde, met negen opmerkelijke tekens op haar schild, in een drie bij drie raster. Op het allereerste gezicht zag men niet echt iets opvallends aan dat vierkant.

Bij nadere beschouwing bleek echter, dat er getallen op het schild stonden, en dat de kolommen, de rijen en de diagonalen in het vierkante patroon alle dezelfde som opleverden, namelijk 15. Dit werd als een duidelijke opdracht beschouwd en leidde uiteindelijk tot het brengen van 15 offers aan de riviergod, om de rivier te kalmeren. Het getal 15 had nu een zeer speciale betekenis gekregen. Dit vierkant werd voortaan Lo Shu genoemd, wat betekent: Boek van de rivier Lo.

De magische constante van dit Lo Shu vierkant is 15, waarbij het cijfer 1 aan de onderkant en de 2 in de rechterbovenhoek aanwezig is. De som van alle getallen in het vierkant is 45.
Het Lo Shu vierkant wordt in astrologische kringen ook wel het Saturnusvierkant genoemd.
Dit vierkant heeft nog een hogere magische eigenschap, namelijk: 4² + 9² + 2 ² = 8²+ 1² + 6² = 101,
en 4² + 3² + 8² = 2² + 7² + 6² = 89.

Variaties

Elk magisch vierkant met drie velden kan worden verkregen uit het Lo Shu vierkant door rotatie of spiegeling. Er zijn namelijk op het Lo Shu vierkant enkele variaties mogelijk. Door kanteling van de rijen verschuiven deze, maar blijft de magische constante = 15 gelijk.

Middeleeuwen en Verlichting

Ook de Europeanen raakten geïnteresseerd in de magische vierkanten uit het Oosten. Tot de zestiende eeuw werden de magische vierkanen hier nog beschouwd als figuren met toverkracht. Ze werden gebruikt voor het bezweren van geesten. In de eeuw van de verlichting werden magische vierkanten de geliefkoosde onderwerpen van de rekenkunstenaars en wiskundigen.

Een uit die tijd bekend magisch vierkant komt voor op de gravure Melencolia I (melancholie) van Albrecht Dürer ¹⁾ uit 1514.

Detail uit Dürers gravure: Merk op, dat het jaartal van de gravure (1514) verwerkt zit in de onderste rij van het vierkant.

Door de wiskundigen werd een magisch vierkant gedefinieerd als een vierkant, dat als een dambord verdeeld is in n² velden. In die n² velden zet men de getallen 1, 2,... n² zodanig, dat zij zowel horizontaal als verticaal, maar ook in de diagonalen steeds dezelfde som geven.

Als klassiek voorbeeld uit die tijd werd n = 4 gekozen. Het constante getal van dit vierkant is volgens de geldende rekenkundige reeks:

1/2n( n² + 1 )

waarbij n = aantal velden

Ingevuld wordt dit voor n = 4:

2( n² + 1 ) = 34

Op de afbeelding is het magische vierkant uit de gravure te zien. Duidelijk is, dat de magische constanten van de rijen en de kolommen en van de twee diagonalen allemaal = 34 zijn, en dat de som van het gehele vierkant volgens de hiervoor geldende rekenkundige reeks:

½ a( n² + 1 ) = 136

waarbij a = alle vierkantjes van het magisch vierkant zijn.

Extra eigenschappen

Ook bij dit vierkant zijn enkele variaties mogelijk. Door kanteling van de rijen verschuiven deze, maar blijft de magische constante gelijk = 34.

Er zijn nog meer bijzonderheden in het magisch vierkant aanwezig. Als namelijk het vierkant wordt verdeeld in vier vakken, dan is de som van die vier getallen ook steeds 34.

( 16 + 3 + 10 + 5 = 34, enz.)

Verdere mogelijkheden

De gegeven vierkanten zijn het begin van een reeks magische vierkanten, die steeds ingewikkelder worden. Zo is het eerstvolgende magische vierkant een vierkant met n = 5² velden.

Hierbij is de magische constante:

½ n ( n² + 1 ) = 2,5 ( 26 ) = 65,

en de som van alle getallen:

½ a ( n² + 1 ) = 12,5 ( 26 ) = 325

Ook bij dit magische vierkant zijn allerlei variaties mogelijk. Naarmate het aantal velden n toeneemt, wordt namelijk ook het aantal variaties groter. Er zijn zelfs magische vierkanten, die driedimensionaal zijn.
Het voert te ver om hier nader op in te gaan.

Constructie van een magisch vierkant

Het is mogelijk door een eenvoudige handeling, een magisch vierkant samen te stellen. Hiervoor wordt eerst een vierkant genomen met daarin op volgorde de cijfers 1 t/m 16.

Vervolgens worden de diagonalen aangebracht en worden de cijfers op de diagonalen gespiegeld -> dus 1 wordt 16, 4 wordt 13, 6 wordt 11 en 7 wordt 10. Er heeft nu een omzetting plaats gevonden, waardoor er een magisch vierkant is ontstaan.

Bronvermelding

Bronnen, noten en/of referenties:

• Geraadpleegde literatuur: Diverse bronnen en Quadrivium, Rekenkunde, Meetkunde, Muziek en Astronomie voor iedereen. Librero, ISBN 978-90-8998-303-9
• Zie ook: Magische ring
• ¹⁾ Albrecht Dürer (21 mei 1471 – 6 april 1528), was een Duits kunstschilder, tekenaar, maker van houtsneden en kopergravures, kunsttheoreticus en humanist uit de Noordelijke renaissance, en had kennis van de wiskunde.