Gebruiker:Franciscus/kladblok

Voorlopig neem ik deze pagina om nieuwe artikelen even op te bergen en te bewerken, vóórdat ik ze als bijdrage op Wikisage zet.
Franciscus 4 feb 2009 14:55 (UTC)

---

Deze afbeelding van Johan Wolfgang von Goethe is afkomstig van Wikipedia en dient als illustratie bij een artikel over Goethe. 13 feb 2009 13:26 (UTC)wil deze afbeelding gebruiken in zijn artikel: De Tovernaarsleerling. A¹⁾

Alexis Carrel in 1913

---

Deze vorm wordt meestal de isoperimetrische ongelijkheid genoemd.

Verhouding tussen oppervlak en omtrek bij regelmatige veelhoeken

Regelmatige veelhoeken zijn tweedimensionale meetkundige figuren, bestaande uit een eindig aantal lijnstukken die alle dezelfde lengte hebben. Voorbeelden hiervan zijn:

• de gelijkzijdige driehoek
• het vierkant
• de vijfhoek
• de regelmatige zeshoek

De cirkel, hoewel niet onder de regelmatige veelhoeken gerekend, hoort in dit rijtje thuis. De cirkel is is in ieder geval een tweedimensionale meetkundige figuur.
Ook bij de regelmatige veelhoeken kan het isoperimetrisch quotiënt worden bepaald, uitgaande van de cirkel. De cirkel blijkt namelijk van alle meetkundige figuren de figuur te zijn met de grootste oppervlakte/omtrek- verhouding, of anders gezegd: de cirkel bezit bij een gegeven oppervlak van alle meetkundige figuren de kleinste omtrek.
Net zoals bij de ruimtelijke figuren wordt het quotiënt dimensieloos gemaakt, in dit geval door het oppervlak en de omtrek van de cirkel plus een getalwaarde in de vorm te betrekken. Dit gaat als volgt:
Het oppervlak A_cirkel is:

<math>A_{cirkel} = {\pi\ r^2} </math>

en de omtrek O_cirkel is:

<math>O_{cirkel} = {2\pi\ r}</math>

Door het oppervlak A te delen door de omtrek O in het kwadraat, vallen de dimensies van de lengte ( l ) tegen elkaar weg. Verder is er door invoering van een getalwaarde ( 4π ) voor gezorgd, dat het isoperimetrisch quotiënt bij de cirkel op 1 uitkomt.
Wiskundig gezien, ziet het isoperimetrisch quotiënt ( IQ ) van een cirkel er als volgt uit:

<math>IQ ={4\pi A\over O^2}</math> <math> = {4\pi (\pi r^2)\over(2\pi r)^2}= 1</math>

Het isoperimetrisch quotiënt IQ voor alle andere regelmatige veelhoeken wordt verder berekend volgens:

<math>IQ ={4\pi A\over O^2} < 1</math>

Deze vorm wordt ook hier de isoperimetrische ongelijkheid genoemd.
In bijgaande tabel is deze berekening voor een aantal regelmatige veelhoeken met oplopende IQ en kleiner wordende omtrek O uitgevoerd.
Om inzicht te krijgen in de onderlinge verhoudingen tussen de diverse figuren, wordt bij het berekenen uitgegaan van een oppervlak A van 1000 cm², waar dan weer de omtrek O uit kan worden afgeleid.

Sjabloon:Galerijbestand

Sjabloon:Galerijbestand

Sjabloon:Galerijbestand

Regelmatige veelhoek	Omtrek O (cm)	IQ
Gelijkzijdige driehoek	144	0,605
Vierkant	127	0,785
Vijfhoek	121	0,865
Zeshoek	118	0,907
Achthoek	115	0,948
Tienhoek	114	0,967
Twaalfhoek	113	0,977
Zeventienhoek	112,75	0,988
Cirkel1)	112	1

¹⁾Al in de oudheid was men verrukt over de cirkel.
Proclus ( 411 - 485 ), een Grieks Neo-Platonisch filosoof en wiskundige, zei over de cirkel het volgende:
De cirkel is de eerste, de eenvoudigste en de meest volmaakte figuur.
Later zei Dante ( 1265 - 1321 ) over de cirkel: Lo cerchio è perfetissima figura ( De cirkel is de meest volmaakte figuur ).

Rondom de cirkel

Dante Alighieri heeft ooit geschreven: Lo cerchio è perfettisima figura, ofwel: De cirkel is de meest volmaakte figuur.
Als we in het woordenboek bij het woord cirkel kijken, dan zien we daar staan: gesloten kromme lijn, waarvan alle punten op eenzelfde afstand van één punt, het middelpunt liggen. Dat laat dus weinig speelruimte over. Bij het woord volmaakt zien we vervolgens staan: voortreffelijk, uitmuntend, voltooid, volledig, volkomen.
Al is de cirkel volgens Dante dan het meest volmaakte figuur, hij kent toch ook een zekere begrenzing. Anders dan rond kan een cirkel namelijk niet zijn, anders houdt deze figuur op een cirkel te zijn. Een cirkel kan wel oneindig klein of oneindig groot zijn maar zal voor praktische doeleinden meestal hier ergens tussenin liggen, waaruit dan weer blijkt, dat je ook bij de cirkel grenzen moet stellen.
Het bijzondere bij een cirkel is, dat er bij berekeningen een bijzonder getal aan te pas moet komen, namelijk de wiskundige constante π. Deze constante is een getal, dat geen begrenzing kent, intrigreert al duizenden jaren menig wiskundige.
Het getal π kom je in de wiskunde, de natuurkunde en in de techniek vaak tegen.

Benadering van de constante π

Om enig inzicht in het getal π te krijgen, is een klein uitstapje naar de eenvoudige wiskunde nodig. Op de eerste afbeelding is een willekeurige cirkel weergegeven met de straal r. Eén zijde a van een gelijkzijdige driehoek die precies in een cirkel past, heeft een lengte van r√3, zodat dus de drie zijden van de driehoek samen 3√3r groot zijn ofwel dat de omtrek = 5,196r. Je zou ook voor het gemak kunnen schrijven dat de omtrek = 5,196r/2 = 2,598d, aangezien d ( =2r ) de middellijn van de cirkel is. Dit rekent wat eenvoudiger. br/>Als je een vierkant neemt en deze in een cirkel plaatst, dan geldt, dat één zijde ervan = r√2, zodat de vier zijden van het vierkant samen 4r√2r zijn of in d uitgedrukt: 2,828d. Bij een regelmatige vijfhoek blijkt de omtrek hiervan 2,94d te zijn. Ga je nog verder met regelmatige veelhoeken als een zeshoek, een achthoek, een tienhoek, een twaalfhoek, een vierentwintighoek, een zesendertighoek, een tweeënzeventighoek, een driehonderdzestighoek, een zevenhondertwintighoek, tot een zesendertighonderdhoek, dan blijkt, dat naarmate het aantal hoeken groter wordt, de constante nadert naar het getal 3,14159..Voor het gemak is men deze wiskundige constante maar π gaan noemen.
In de tabel is bij een aantal regelmatige veelhoeken nagegaan hoe het met die constante staat.

Regelmatige veelhoek	Omtrek (n . a)	Wiskundige constante
Gelijkzijdige driehoek	2,598d	2,598
Vierkant	2,828d	2,828
Vijfhoek	2,94d	2,94
Zeshoek	3,0d	3,0
Achthoek	3,06d	3,06
Tienhoek	3,09d	3,09
Twaalfhoek	3,108d	3,108
Vierentwintighoek	3,1326d	3,1326
Zesendertighoek	3,1376d	3,1376
Tweeënzeventighoek	3,1406d	3,1406…….
Driehonderzestighoek	3,14155d	3,14155…….
Zevenhonderdtwintighoek	3,14158d	3,14158………
Zesendertighonderdhoek	3,14159d	3,14159…… ( π )

Uit deze eenvoudige benadering blijkt, dat in het begin de constante vrij snel stijgt, maar dat na een 72-hoek de stijging nog maar gering is. Het constante getal 3,14….. gaat hierna langzaam naderen tot het ons bekende getal π, waarbij er steeds meer decimalen bijkomen.

Vergelijking met de cirkelboog

Uit de tabel blijkt al, dat naarmate het aantal hoeken van de veelhoek groter wordt, het constante getal π steeds meer in zicht komt. Dit houdt ook in, dat elk rechte lijnstukje van de veelhoek dat op de cirkel ligt, steeds meer op een cirkelboogje gaat lijken, waardoor uiteindelijk de zijden van de veelhoek samenvallen met de cirkelbogen. Bij een tweeënzeventighoek is, zoals de tabel laat zien, de constante al aardig op weg naar de wiskundige constante π.
In de afbeelding is één sector van deze veelhoek weergegeven. Als een zijde van die veelhoek en de bijbehorende cirkelboog wordt vergeleken met bijvoorbeeld een zijde van een vierkant of een regelmatige vijfhoek, dan is het verschil wel duidelijk: bij de tweeënzeventighoek valt een zijde ervan ongeveer samen met de cirkelboog, terwijl bij het vierkant of de vijfhoek nog een groot verschil aanwezig is.

Het irrationale getal π

In wiskundige termen uitgedrukt, is de wiskundige constante π is een irrationaal getal , dat zelfs transcendent is. Dit houdt in dat π niet als een verhouding van twee hele getallen te schrijven is en dat in de decimale voorstelling geen zich herhalend patroon voorkomt. De waarde van π kan daarom in decimale notatie alleen benaderd worden, want de reeks cijfers achter de komma is oneindig lang.
Met een computer is het tegenwoordig niet al te moeilijk een miljoen decimalen van π te berekenen. Of je daar veel mee kan doen, is natuurlijk weer heel iets anders. Voor praktische doeleinden is het rekenen met 3,14159….. voor de meeste toepassingen al ruim voldoende. Het is ook mogelijk een groot aantal van de vele decimalen van π = 3,14159.... zelf weer als de letter π uit te beelden, zoals hier weergegeven.

• L'apprent sorcier op Youtube