Rekenkunde ( 3 )

In Rekenkunde ( 1 ) en ( 2 ) zijn Optellen, Aftrekken, Vermenigvuldigen en Delen behandeld. In Rekenkunde ( 3 ) worden de bewerkingen Machtsverheffen en Worteltrekken besproken.

Machtsverheffen

Bij het machtsverheffen wordt een getal één, twee of meer keren met zichzelf vermenigvuldigd.

• Voorbeeld 1

Als het getal 5 een drietal keren met zichzelf wordt vermenigvuldigd, dus: 5 • 5 • 5, dan wordt dit genoteerd als: 5 3. Deze vorm wordt uitgesproken als: 5 tot de derde. Het cijfer 3 – de exponent - in de vorm 53 geeft aan hoeveel keer het getal 5 – het grondtal – met zichzelf vermenigvuldigd moet worden. In dit geval is de uitkomst dus: 5 • 5 • 5 = 125

Optellen en aftrekken van machten

Als machten moeten worden opgeteld of van elkaar worden afgetrokken, dan moeten de machten eerst worden uitgewerkt om daarna verder te kunnen worden bewerkt.

• Voorbeeld 2

3 3 + 3 2 = 3 • 3 • 3 + 3 • 3 = 36

Vermenigvuldigen en delen van machten

Als machten moeten worden vermenigvuldigd met andere machten of worden gedeeld door andere machten die hetzelfde grondtal hebben, dan moeten de exponenten van die machten bij elkaar worden opgeteld of worden afgetrokken.

• Voorbeeld 3

5 3• 5 2 = 5 3 + 2 = 5 5 = 3125

en ook:

5 4: 5 3 = 5 4 - 1 = 5 3 = 125

Een heel bijzondere deling van machten is de volgende:

5 1: 5 1 = 5 1 - 1 = 5 0 = 1

Voor elk ander getal dan 5 dus:

x 1: x 1 = x 1 - 1 = x 0 = 1

Voor alle getallen x met exponent n dus:

x n: x n = x n - n = x 0 = 1

Machtsverheffen van machten

Als machten zelf tot een macht verheven moeten worden, dan worden de exponenten met elkaar vermenigvuldigd.

• Voorbeeld 4

( 8 3 ) 2 = 8 3• 8 3 = 8 6 = 262144

Worteltrekken

Bij het machtsverheffen wordt een getal met zichzelf vermenigvuldigd. Bij het worteltrekken gebeurt deze handeling in omgekeerde volgorde.

• Voorbeeld 5

Als 5 2 = 25, dan wordt door worteltrekken het oorspronkelijke grondtal zonder exponent verkregen, namelijk 5. Het getal 5 is de wortel uit 25. Dit wordt geschreven als √ 25.

Aangezien dit de tweedemachtswortel of de vierkantswortel uit 25 is, zou eigenlijk boven het wortelteken een 2 gezet moet worden. Dit wordt in de praktijk echter nooit uitgevoerd. Zou het een hogere machtswortel betreffen, dan moet dit wel gebeuren.
Deze wortelvormen zullen hier niet worden behandeld.

Wortels uit grote getallen

• Voorbeeld 6

Uit: 7 2 = 49 volgt: √ 49 = 7

Dit is betrekkelijk eenvoudig en geeft geen moeilijkheden. Als de getallen niet al te groot zijn, is het nog goed doenlijk de wortel uit dat getal te trekken. De vorm:

√ 625 = 25

levert voor de meeste mensen nog geen problemen op.
Anders wordt het, als de wortel uit een groot getal als 6561 moet worden getrokken. Hier moet dan een bijzondere manier worden toegepast om achter de uitkomst te komen.
Om de vorm √ 6561 op te lossen, wordt als volgt te werk gegaan:

• Verdeel het getal vanaf de rechterkant in groepen van 2 cijfers, dus: 65 | 61
• Zoek het grootste getal, dat in het kwadraat zó dicht mogelijk bij het linker getal ligt,dus: 8 • 8 = 64. De 8 wordt als eerste getal van de uitkomst genoteerd.
• De verschil tussen 65 en 64 - de rest dus - is 1
• Plaats die 1 vóór de tweede groep cijfers, dus: 161
• Tel hierna de cijfers van de eerste bewerking op, dus: 8 + 8 = 16
• Zoek bij dit getal het cijfer, dat achter het getal 16 wordt geplaatst - in dit geval 1 - dat met het ontstane getal vermenigvuldigd, zó dicht mogelijk bij 161 ligt.
• Het gevonden cijfer - de 1 dus - wordt als tweede getal van de uitkomst genoteerd
• De uitkomst van de berekening blijkt te zijn: √ 6561 = 81

65 | 61 | 81 ------------------------ 8 • 8 = 64 -------------------------- 1 161 8 + 8 = 16 161 • 1 = 161 --------------------------- 0

Bij nog grotere getallen, gaat de berekening nog even door.

• Voorbeeld 7

√ 4338889:

• Getal verdelen in groepen van twee cijfers, dus 4 | 33 | 88 | 89
• De verdere bewerkingen als in Voorbeeld 6
• Bij de 2e bewerking aangekomen, blijkt het getal 33 kleiner te zijn, dan de kleinst mogelijke vermenigvuldiging ( 41 • 1 ). Dit gaat dus 0 keer. Om verder te kunnen, moet hiervoor de 0 achter de 4 worden geplaatst en het getal 88 naar beneden gehaald.
• De uitkomst van de berekening is dus: √ 4338889 = 2083

4 | 33 | 88 | 89 | 2083 ------------------------------------- 2 • 2 = 4 ---------------------------- 3388 2 + 2 = 4 408 • 8 = 3264 ------------------------------------ 124 12489 408 + 8 = 416 4163 • 3 = 12489 ------------------------------------ 0

Bij de behandeling van de breuken en tiendelige breuken zullen ook wortels getrokken worden uit getallen die geen kwadraat van een geheel getal vormen, bijvoorbeeld √ 51.

Vermenigvuldigen van wortels

Bij het vermenigvuldigen van wortels wordt soms een vereenvoudigde schrijfwijze toegepast.

• Voorbeeld 8

√ 9 • √ 36 = √ ( 9 • 36 ) = √ 324 = 18