Algemene relativiteitstheorie

Algemene relativiteitstheorie is in de natuurkunde de uitbreiding die Albert Einstein in 1915 gaf aan zijn relativiteitstheorie van 1905, namelijk voor zwaartekracht. De verandering van zwaartekrachtvelden van bewegende massa's kan niet onmiddelijk zijn, dus oneindige voortplantingssnelheid hebben zoals in Newton's theorie. In Einstein's theorie is zwaartekracht kromming van de vierdimensionale ruimtetijd, een wiskundig model dat Hermann Minkowski - ooit een van de professoren van de jonge Einstein in Zürich - had geïntroduceerd in 1908.

De reden voor het samenvoegen van ruimte en tijd is dat deze afzonderlijk niet invariant zijn, zie speciale relativiteitstheorie. Verschillende waarnemers zijn het oneens over de afstand tussen twee gebeurtenissen (vanwege lengtecontractie) of de tijdsduur tussen twee gebeurtenissen (vanwege tijddilatatie). In ruimtetijd wordt daarom een invariant Δs gedefinieerd, interval genaamd, dat afstand en tijdsduur combineert.

Δs² = c²Δt² - (Δx²+Δy²+Δz²)

waarin Δ coordinaatverschil aanduidt, Δs²=(Δs)², niet Δ(s²). Alle waarnemers die de tijd en afstand tussen twee gebeurtenissen meten, zullen hetzelfde interval berekenen. Of eigentijd Δτ = Δs/c.

In de algemene relativiteitstheorie is niet alleen tijd toegevoegd als vierde dimensie aan de ruimte, maar deze is bovendien gekromd door materie en elektromagnetisme. Einstein gebruikte daarvoor differentiaal geometrie van gekromde ruimte, gepubliceerd door Bernhard Riemann en Elwin Christoffel in 1869.

De volgende beschrijving van deze zwaartekracht theorie is ontleend aan Lev Landau en Evgeny Lifshitz, The classical theory of fields. De § nummers verwijzen naar de 4de editie.

§81. Een versneld systeem is equivalent met een niet-versneld systeem met zwaartekrachtveld. Bijv valbeweging door zwaartekracht op de Aarde is hetzelfde als valbeweging ver van de Aarde in een ruimteschip dat door raketaandrijving 9,8 m/s² versneld wordt.

Kromme ruimtetijd

Gekromde ruimte is niet voor te stellen, maar wiskundig net zo te beschrijven als gekromd oppervlak. Op een gekromd oppervlak, bijv van een bol, is het niet mogelijk een cartesisch (rechtlijnig) coordinatenstelsel te leggen; een xy coordinatenstelsel is kromlijnig. Dat is ook zo voor 3-dimensionale gekromde ruimte; een xyz coordinatenstelsel is kromlijnig. Slechts in een infinitesimaal gebiedje is een coordinatenstelsel mogelijk cartesisch.

Voor de basisvectors zijn er dan verschillende mogelijkheden, bijv de x-vector staat loodrecht op het vlak x = constant, of wijst in de richting van de lijn die in beide vlakken y = constant en z = constant ligt. In een cartesisch stelsel vallen deze mogelijkheden samen, maar in een gekromde ruimte zijn er gelijkwaardige basisvector stelsels, contra- en co-variant genoemd.

§83. In 4-dimensionale ruimtetijd wordt een willekeurig coordinaten stelsel x⁰,x¹,x²,x³ beschouwd en de transformatie naar een ander stelsel x^,0,x^,1,x^,2,x^,3. De xⁱ zijn bepaalde functies van de x^,k.

Een contravariant vectorveld Aⁱ transformeert per definitie net zo als coordinaat differentialen dxⁱ = ∑_k(∂xⁱ/∂x^,k)dx^,k, dus Aⁱ = ∑_k(∂xⁱ/∂x^,k)A^,k. Somtekens worden weggelaten (sommatie conventie).

Aⁱ = (∂xⁱ/∂x^,k)A^,k

Een vectorveld Bⁱ dat transformeert als de afgeleiden van een scalar ∂φ/∂xⁱ = (∂φ/∂x^,k)(∂x^,k/∂xⁱ), dus

B_i = (∂x^,k/∂xⁱ)B'_k

heet covariant. Contra- en co-variante vectors worden genoteerd met respectievelijk super- en sub-scripts.

Een 4x4 matrix A^ik die transformeert als het product van twee contravariante vectors

A^ik = (∂xⁱ/∂x^,l)(∂x^k/∂x^,m)A^,lm

is een contravariante tensor. Een matrix A_ik die transformeert als het product van twee covariante vectors

A_ik = (∂x^,l/∂xⁱ)(∂x^,m/∂x^k)A'_lm

is een covariante tensor. Een gemengde tensor Aⁱ_k transformeert volgens

Aⁱ_k = (∂xⁱ/∂x^,l)(∂x^,m/∂x^k)A^,l_m

Het interval ds is in het algemeen alleen te definiëren voor infinitesimaal gescheiden gebeurtenissen en het kwadraat heeft dan de vorm

ds² = g_ikdxⁱdx^k

De matrix elementen g_ik zijn functies van de xⁱ coordinaten. Gewoonlijk zijn x¹, x², x³ ruimtecoordinaten en x⁰ de tijdcoordinaat. Deze matrix heet de metrische tensor en bepaalt de ruimtetijd metriek. De tensor is covariant en symmetrisch, g_ik=g_ki, dus van de 16 termen van ds² zijn er 6 dubbel. De inverse matrix is de contravariante metrische tensor g^ik:

g_ikg^kl = δ^l_i

met de eenheidstensor

δⁱ_k = 0 voor i≠k en 1 voor i=k

Hetzelfde natuurkundige veld kan beschreven worden als contra- en co-variant vectorveld. Het verband tussen deze vormen wordt bepaald door de metriek:

Aⁱ = g^ikA_k, A_i = g_ikA^k

Hetzelfde geldt voor tensorvelden, bijv

A^ik = g^ilg^kmA_lm, Aⁱ_k = g^ilA^kl

In een cartesisch coordinatenstelsel zijn de componenten van g_ik en g^ik hetzelfde.

g₀₀=1, g₁₁=g₂₂=g₃₃= -1, g_ik=0 voor i≠k

Energie-impuls tensor

§32,33. De energie-impuls tensor T^ik is contravariant en symmetrisch met componenten (α en β = 1,2,3)

T⁰⁰ is de energiedichtheid (ook electromagnetisch)

T^0α = T^α0 is de α component van de impulsdichtheid (ook de Poynting vector)

T^αβ is de flux van de α component van de impuls door het oppervlak van constante β (ook de Maxwell spanningtensor), voor α≠β is dat de schuifspanning en voor α=β is het de druk

De covariante vorm van de energie-impuls tensor is

T_ik = T^lmg_ilg_km

en de gemengde vorm

Tⁱ_k = T^ilg_kl

Covariante afgeleide

§85,86. In kromlijnige coordinaten is de differentiaal dA_i geen covariante vector. Omdat de g_ik niet constant zijn maar functies van x^l, verandert gaande van x^l naar x^l+dx^l ook het coordinatenstelsel. Gecorrigeerd is de covariante differentiaal

DA_i = (∂A_i/∂x^l - Γ^k_ilA_k)dx^l

DA_i/dx^l is de covariante afgeleide, een tensor. Het Γ symbool, genoemd naar Elwin Christoffel, is

Γⁱ_kl = (g^im/2)(∂g_mk/∂x_l + ∂g_ml/∂x_k - ∂g_kl/∂x_m)

Christoffel introduceerde deze symbolen in 1869 in de differentiaal geometrie van gekromde ruimte.

De covariante afgeleide van een tensor is

DA_ik/dx^l = ∂A_ik/∂x^l - Γ^m_ilg_mk - Γ^m_klg_im

De covariante afgeleide van g_ik is nul.

In cartesische coordinaten zijn de componenten van g_im en g^im hetzelfde, en constant dus de Γⁱ_kl nul.

Constante versnelling

§88. Bij constante versnelling tussen waarnemers, equivalent met een statisch zwaartekrachtveld, zijn alle g_ik onafhankelijk van de tijd x⁰ en g₀₁=g₀₂=g₀₃=0. Dan is voor waarnemers de eigentijd τ hetzelfde in de hele ruimte.

τ = (x⁰/c)√g₀₀

De snelheid van een massa in dit systeem is, gemeten in eigentijd,

v = dl/dτ met dl² = -g_αβdx^αdx^β gesommeerd over α en β van 1 tot 3.

De energie van de massa is behouden:

E = 𝛾mc²√g₀₀ met 𝛾 = 1/√(1-v²/c²)

Als v veel kleiner is dan c, en de zwaartekracht zwak, is g₀₀ = 1+2U/c² en

E = mc²+½mv²+mU

waarin U de potentiaal van het zwaartekracht veld is.

Ruimtekromming tensor

§91. Bernhard Riemann vond rond 1850 de tensor die ruimtekromming beschrijft. Het werd pas gepubliceerd in 1868, twee jaar na de dood van Riemann, door Richard Dedekind.

Rⁱ_klm = ∂Γⁱ_km/∂x_l - ∂Γⁱ_kl/∂x_m + Γⁱ_nlΓⁿ_km - Γⁱ_nmΓⁿ_kl

In vlakke (niet gekromde) ruimte is de Riemann tensor nul, en omgekeerd, als Rⁱ_klm = 0 dan is de ruimte vlak.

§92. De Ricci tensor is R_ik = R^l_ilk

De invariant R = g^ikR_ik heet de scalaire ruimtekromming.

Einstein vergelijkingen

§95. De Einstein vergelijkingen bepalen de Ricci krommingtensor R_ik als functie van de energie-impuls tensor T_ik.

Rik = (8π𝓖/c⁴)(Tik - gikTll/2)

𝓖 = 6,674 x 10⁻¹¹ m³ s⁻² kg⁻¹ is de Newtonse gravitatie constante. De Ricci tensor is

R_ik = ∂Γ^l_ik/∂x_l - ∂Γ^l_il/∂x_k + Γ^l_ikΓ^m_lm - Γ^m_ilΓ^l_km

De Einstein vergelijkingen kunnen in veel andere vormen geschreven worden, bijv

G_ik = R_ik - g_ikR/2 = (8π𝓖/c⁴)T_ik

G_ik heet de Einstein tensor.

§99. Als snelheden veel kleiner zijn dan c, en de zwaartekracht zwak, is g₀₀ = 1+2U/c² met de zwaartekracht potentiaal U. Van Tⁱ_k resteert alleen de tijd component

T⁰₀ = μc² met massadichtheid μ,

alle andere componenten zijn te verwaarlozen. Ook T=μc². Van R_ik blijft ook alleen

R₀₀ = (4π𝓖/c²)μ

over. De Einstein vergelijkingen zijn dan

ΔU = 4π𝓖μ met de Laplace operator Δ = ∂²/∂x^α∂x^α

Dit is de niet-relativistische vergelijking van de zwaartekracht potentiaal (analoog aan de vergelijking van de elektrische potentiaal van ladingsdichtheid).

Schwarzschild oplossing

§100. De zwaartekracht rond (niet in) een massa M (bijv een ster) wordt beschreven met een interval in bolcoordinaten ct,r,θ,φ

ds² = (1-r_g/r)c²dt² - r²(sin²θ dφ²+dθ²) - dr²/(1-r_g/r)

waarin r_g=2𝓖M/c². Karl Schwarzschild vond in 1916 deze oplossing van de Einstein vergelijkingen in de ruimte buiten de materie die de zwaartekracht veroorzaakt, dus waar R_ik=0.

§101. Van de Zon is de gravitatie straal r_g = 3 km en de straal r = 7.10⁵ km. Voor planeten is de relativistische correctie op hun ellips banen zeer gering vergeleken met Newtons theorie omdat hun snelheid veel kleiner is dan c. Voor Mercurius is deze correctie 43" per eeuw.

§102. In de Schwarzschild metriek gaat g_tt naar nul en g_rr naar oneindig als r=r_g. Dit betekent dat een voldoende grote massa niet in evenwicht kan blijven en implodeert tot een zwart gat. Een ster die veel zwaarder is dan de Zon, kan als alle waterstof gefuseerd is instorten tot de straal r de gravitatie straal r_g nadert, en dan een zwart gat vormen. De ster concentreert alle massa in het centrum in eindige eigentijd, en straalt niets meer uit. In de omgeving werkt alleen zijn zwaartekracht.

Zwaartekracht golven

§107. Sterren die zich versneld bewegen tov elkaar veranderen hun gravitatieveld. Volgens Newton is die verandering instantaan overal in de ruimte, maar volgens Einstein plant die zich niet oneindig snel maar met de lichtsnelheid voort als een golf. Zwaartekracht golven zijn een verstoring (rimpel) van een zwaartekrachtveld, dus van de metrische tensor. Gravitatiegolven zijn transversaal.

§110. Twee massa's die om hun gemeenschappelijk zwaartepunt draaien, stralen zwaartekrachtgolven uit. Van twee dicht om elkaar draaiende zwarte gaten die daardoor energie verloren en fuseerden, is de golf in 2016 gemeten op Aarde.

Friedmann oplossing

§111, 112. Alexander Friedmann vond in 1922 een oplossing van de Einsteinvergelijkingen voor een model van het universum waarin materie niet geconcentreerd is in sterren maar als gas gelijkmatig verdeeld is. De oplossing is singulier: het universum begint met oneidige massadichtheid en expandeert.

Het interval in dit model van het universum is

ds² = c²dt² - dr²/(1-r²/a²) - r²(sin²θ dφ²+dθ²)

in bolcoordinaten. De parameter a is de kromtestraal van het universum die groeit van nul tot een maximum

a_max = 4𝓖M/3πc²

en dan weer afneemt tot nul. M is de totale massa in het universum. De tijdsduur van dit proces is πa_max/c.

Het gekromde universum bevat alle ruimte in een eindig volume (en heeft dus geen grenzen met omringende ruimte).

V = 2π²a³

(Dat is niet visueel voorstelbaar, maar het beeld van een analoge tweedimensionale ruimte helpt: het oppervlak van een bol is gekromd, het heeft geen grenzen en het is eindig; eigenschappen die een driedimensionale ruimte ook kan hebben.) V verschilt van het volume (4/3)πa³ van een bol met straal a die begrensd is in omringende ruimte.

§113. Friedmann vond ook in 1924 een oplossing met krommming a² die van nul steeds meer negatief wordt. Er is ook de oplossing met oneindige kromtestraal a, dus de niet-gekromde ruimte. In deze oplossingen is het volume van het universum oneindig. Het is niet bekend of het universum eindig of oneindig is, massa M en volume V zijn onbekend omdat maar een klein deel van het universum op Aarde waarneembaar is.

Oerknal

§114. De expansie van het universum werd bevestigd toen Edwin Hubble in 1929 de roodverschuiving van de spectra van verre sterrenstelsels publiceerde. Hij vond dat deze sterren zich verwijderen met een snelheid v evenredig met hun afstand l

v = Hl, H = 7.10^-11 per jaar

H is de Hubble constante. 1/H is de ouderdom van het universum, 14 miljard jaar.

De expansie begon niet op een tijdstip ergens in de ruimte. Met de oerknal ontstond tijd en ruimte. Volgens Stephen Hawking ontstond toen ook de positieve energie van elementaire deeltjes en de evengrote negatieve energie van zwaartekracht (ruimtekromming). Naar een bevredigende verklaring wordt nog gezocht in een combinatie van quantummechanica en relativiteitstheorie tot een quantumveldentheorie. Zie ook Oerknal.