Over het minimum oppervlak van een kegel

Dit is een gebruikersessay geschreven door Franciscus 8 oktober 2016 16:59 (UTC)

Wat merk je op, als je op een veld in Zeeland - vlakbij de Oosterschelde - een aantal kegelvormige, stroachtige gewassen aantreft, afgedekt met zeildoek? De een zal er even naar kijken, en daarna gewoon verder lopen. De ander zal wat meer belangstelling tonen en er nadere bijzonderheden van willen weten.

De gewassen bleken bloemzaden te zijn, die aan de lucht worden gedroogd. Het is een oude, maar nog steeds efficiënte manier van drogen.
Al kijkend naar deze opstellingen, kwam de herinnering aan een onderwerp naar boven, waar de schrijver van dit essay ooit een artikel over maakte, namelijk dat een kegel een zeer bijzondere eigenschap bezit.
Het blijkt namelijk, dat bij het groter of kleiner worden van de straal R – bij een gegeven inhoud V - niet alleen het oppervlak A groter of kleiner wordt, maar dat ook een kleinste oppervlak aanwezig is, of met andere woorden: Het oppervlak bereikt - bij een gelijkblijvende inhoud - een limiet bij wijziging van de straal en de hoogte.
Deze stelling vraag natuurlijk om een nadere toelichting.

Oppervlak en inhoud van de kegel

Een Kegel is een ruimtelijke figuur, en bestaat uit een plat en een gekromd vlak. Het platte vlak is de bodem in de vorm van een cirkel. Het gekromde vlak is de mantel van de kegel.
Voor de berekening van de inhoud V en het oppervlak A moeten de hoogte h en de straal R bekend zijn.
De afmetingen van kegelvormige opstellingen op het veld waren ongeveer als volgt:
R = 0,5 m en h = 0,9 m.
( Om het rekenen met al te grote of te kleine getallen te vermijden, worden de meters verder vervangen door decimeters: 1 dm = 0,1 m = 10 ^-1 m )

De inhoud V en het oppervlak A van de kegel worden uitgedrukt in de volgende formules:

Minimum oppervlak

Zoals in de inleiding al werd opgemerkt, blijkt bij een kegel bij een constant blijvende inhoud V en variëren van de straal R een kleinste oppervlak A tevoorschijn te komen. Als dit wordt uitgevoerd bij de kegelvormige constructies op het veld - door de oorspronkelijke straal R = 5 dm van de kegel te variëren - dan ontstaan er steeds andere oppervlakken, waaronder ook een minimum oppervlak. Dat leidt tot het inzicht, dat van alle kegels met inhoud V en ook deze met V = 235,6 dm ³ er maar één kegel voldoet aan deze eigenschap.
Voor het berekenen van het wisselende oppervlak A is het noodzakelijk de daarbij behorende hoogte h te weten. Deze kan worden berekend uit de inhoud V , namelijk:

In bijgaande tabel zijn de resultaten van de bijbehorende berekeningen opgenomen.

Straal R ( dm )	Hoogte h ( dm )	Oppervlak A ( dm 2 )
1	225	710
1,5	100	491
2	56,24	366
2,5	36,3	305
3	25,0	265,6
3,5	18,36	243,98
4	14,06	234,0
4,5	11,11	233
5	9,03	240,6
5,5	7,437	254,8
6	6,27	276,7
6,5	5,325	304
7	4,61	338,2
7,5	4,0	377
8	3,53	420,83
8,5	3,1139	468,7
9	2,7775	521
9,5	2,493	577
10	2,2498	636
10,5	2,04	700

Bij bestudering van de resultaten van deze berekeningen wordt het al snel duidelijk, dat het kleinste oppervlak A aanwezig is bij een straal R = 4,5 dm en een hoogte h = 11,11dm.
In de grafische voorstelling komt dit fenomeen nog duidelijker naar voren.

Uit de grafiek en uit de tabel blijkt verder, dat:

• naarmate R groter wordt dan de gegeven afmeting, de kegel steeds meer naar een platte schijf gaat naderen
• naarmate h groter wordt dan de gegeven afmeting, de kegel steeds meer naar een slanke cilinder gaat naderen.
• tussen de getalwaarden R = 4,5 dm en de hoogte h = 11,11 dm blijkt een verhouding te bestaan van 2 • 1,234.

Nadere beschouwing

Uit de berekeningen kan worden vastgesteld, dat bij de kegelvormige opstellingen op het land ongeveer het minimum oppervlak aanwezig is. Voor het drogen van het gewas lijkt dit minder geschikt te zijn. Aan de andere kant is het ook niet eenvoudig hier van af te wijken, hoewel met een eenvoudige wijziging al een redelijke verbetering zal optreden. Als bijvoorbeeld van een straal R = 5 dm wordt overgegaan naar een straal R = 7 dm, dan neemt het oppervlak A al met ca 40% toe en bij R = 9 dm leidt dit al tot meer dan een verdubbeling. Hetzelfde geldt voor verkleining van de straal R tot bijvoorbeeld 2,5 dm. Dit levert een bijna 30% groter oppervlak A op. Deze optie heeft bovendien nog het voordeel, dat bij regen het gewas wat minder nat zal worden.

Nawoord

De simpele waarneming van een aantal kegelvormige, stroachtige gewassen op een veld heeft geleid tot een nadere beschouwing, waarbij gebleken is, dat bij een constante inhoud V en bij wijziging van de straal R, het oppervlak A groter of kleiner wordt. Het blijkt verder dat dit stijgen en dalen van het oppervlak A uitmondt in een minimum oppervlak, of anders geformuleerd:
* Het oppervlak A van een kegel bereikt bij een gelijkblijvende inhoud V een limiet bij wijziging van de straal R en de hoogte h.