Gebruiker:Franciscus/kladblok 2

Wat merk je op, als je op een veld in Zeeland - vlakbij de Oosterschelde - een aantal piramidevormige, stroachtige gewassen aantreft? De een zal er even naar kijken, en daarna gewoon verder lopen. De ander zal wat meer belangstelling tonen en wat meer daar van willen weten.

De gewassen bleken bloemzaden te zijn, die aan de lucht worden gedroogd. Het is een oude, maar nog steeds efficiënte manier van drogen. Al kijkend naar deze opstellingen, kwam de herinnering weer boven, aan iets waar de schrijver van dit essay ooit een artikel over maakte, namelijk dat een kegel een zeer bijzondere eigenschap bezit.
Het blijkt namelijk, dat bij het groter of kleiner worden van de straal R – bij een gegeven inhoud V - niet alleen het oppervlak A groter of kleiner wordt, maar dat ook een kleinste oppervlak aanwezig is, of met andere woorden: Het oppervlak nadert een limiet bij wijziging van de hoogte en de straal.
Deze stelling vraag natuurlijk om een nadere toelichting.

Oppervlak en inhoud van de kegel

Een Kegel is een ruimtelijke figuur, en bestaat uit een plat en een gekromd vlak. Het platte vlak is de bodem in de vorm van een cirkel. Het gekromde vlak is de mantel van de kegel.
De inhoud V en het oppervlak A van een kegel worden uitgedrukt in de volgende formules:

De afmetingen van kegelvormige opstellingen op het veld waren ongeveer als volgt: R = 0,5 m en h = 0,9 m.
( Om het rekenen met al te grote of te kleine getallen te vermijden, worden de meters vervangen door decimeters:
1 dm = 0,1 m = 10 ^-1 m

Minima en maxima

Zoals in de inleiding al werd opgemerkt, blijkt bij een kegel bij een constant blijvende inhoud V een kleinste oppervlak A te kunnen optreden. Dit gebeurt, door de straal R = 5 dm van de kegel te variëren, waardoor steeds andere oppervlakken ontstaan. Dat houdt in, dat van alle kegels met inhoud V = 235,6 dm ³ er maar één kegel voldoet aan deze voorwaarde.
Voor het berekenen van het wisselende oppervlak A is het noodzakelijk de daarbij behorende hoogte h te weten. Deze kan worden berekend uit de inhoud V , namelijk:

In bijgaande tabel zijn de resultaten van de bijbehorende berekeningen opgenomen.

Straal R ( dm )	Hoogte h ( dm )	Oppervlak A ( dm 2 )
1	225	710
1,5	100	491
2	56,24	366
2,5	36,3	305
3	25,0	265,6
3,5	18,36	243,98
4	14,06	234,0
4,5	11,11	233
5	9,03	240,6
5,5	7,437	254,8
6	6,27	276,7
6,5	5,325	304
7	4,61	338,2
7,5	4,0	377
8	3,53	420,83
8,5	3,1139	468,7
9	2,7775	521
9,5	2,493	577
10	2,2498	636
10,5	2,04	700

Kijkend naar de resultaten van de berekeningen, wordt het al snel duidelijk, dat het kleinste oppervlak A aanwezig is bij een straal R = 4,5 dm. , zoals uit de tabel blijkt.
In de grafische voorstelling komt dit fenomeen nog duidelijker naar voren. Uit de tabel blijkt ook, dat:

• naarmate R groter wordt dan de gegeven afmeting, zal de kegel steeds meer naar een platte schijf naderen
• naarmate h groter wordt dan de gegeven afmeting, zal de kegel steeds meer naar een slanke cilinder naderen