Gebruiker:Franciscus/kladblok

Voorlopig neem ik deze pagina om nieuwe artikelen even op te bergen en te bewerken, vóórdat ik ze als bijdrage op Wikisage zet.
Franciscus 4 feb 2009 14:55 (UTC)

Deze afbeelding van Johan Wolfgang von Goethe is afkomstig van Wikipedia en dient als illustratie bij een artikel over Goethe. 13 feb 2009 13:26 (UTC)wil deze afbeelding gebruiken in zijn artikel: De Tovernaarsleerling. A¹⁾

Alexis Carrel in 1913

Deze vorm wordt meestal de isoperimetrische ongelijkheid genoemd.

Verhouding tussen oppervlak en omtrek bij regelmatige veelhoeken

Regelmatige veelhoeken zijn tweedimensionale meetkundige figuren, bestaande uit een eindig aantal lijnstukken die alle dezelfde lengte hebben. Voorbeelden hiervan zijn:

• de gelijkzijdige driehoek
• het vierkant
• de vijfhoek
• de regelmatige zeshoek

De cirkel, hoewel niet onder de regelmatige veelhoeken gerekend, hoort in dit rijtje thuis. De cirkel is is in ieder geval een tweedimensionale meetkundige figuur.
Ook bij de regelmatige veelhoeken kan het isoperimetrisch quotiënt worden bepaald, uitgaande van de cirkel. De cirkel blijkt namelijk van alle meetkundige figuren de figuur te zijn met de grootste oppervlakte/omtrek- verhouding, of anders gezegd: de cirkel bezit bij een gegeven oppervlak van alle meetkundige figuren de kleinste omtrek.
Net zoals bij de ruimtelijke figuren wordt het quotiënt dimensieloos gemaakt, in dit geval door het oppervlak en de omtrek van de cirkel plus een getalwaarde in de vorm te betrekken. Dit gaat als volgt:
Het oppervlak A_cirkel is:

<math>A_{cirkel} = {\pi\ r^2} </math>

en de omtrek O_cirkel is:

<math>O_{cirkel} = {2\pi\ r}</math>

Door het oppervlak A te delen door de omtrek O in het kwadraat, vallen de dimensies van de lengte ( l ) tegen elkaar weg. Verder is er door invoering van een getalwaarde ( 4π ) voor gezorgd, dat het isoperimetrisch quotiënt bij de cirkel op 1 uitkomt.
Wiskundig gezien, ziet het isoperimetrisch quotiënt ( IQ ) van een cirkel er als volgt uit:

<math>IQ ={4\pi A\over O^2}</math> <math> = {4\pi (\pi r^2)\over(2\pi r)^2}= 1</math>

Het isoperimetrisch quotiënt IQ voor alle andere regelmatige veelhoeken wordt verder berekend volgens:

<math>IQ ={4\pi A\over O^2} < 1</math>

Deze vorm wordt ook hier de isoperimetrische ongelijkheid genoemd.
In bijgaande tabel is deze berekening voor een aantal regelmatige veelhoeken met oplopende IQ en kleiner wordende omtrek O uitgevoerd.
Om inzicht te krijgen in de onderlinge verhoudingen tussen de diverse figuren, wordt bij het berekenen uitgegaan van een oppervlak A van 1000 cm², waar dan weer de omtrek O uit kan worden afgeleid.

Sjabloon:Galerijbestand

Sjabloon:Galerijbestand

Sjabloon:Galerijbestand

Regelmatige veelhoek	Omtrek O (cm)	IQ
Gelijkzijdige driehoek	144	0,605
Vierkant	127	0,785
Vijfhoek	121	0,865
Zeshoek	118	0,907
Achthoek	115	0,948
Tienhoek	114	0,967
Twaalfhoek	113	0,977
Zeventienhoek	112,75	0,988
Cirkel1)	112	1

¹⁾Al in de oudheid was men verrukt over de cirkel.
Proclus ( 411 - 485 ), een Grieks Neo-Platonisch filosoof en wiskundige, zei over de cirkel het volgende:
De cirkel is de eerste, de eenvoudigste en de meest volmaakte figuur.
Later zei Dante ( 1265 - 1321 ) over de cirkel: Lo cerchio è perfetissima figura ( De cirkel is de meest volmaakte figuur ).

Regelmatige veelhoek	Omtrek (n . a)	Wiskundige constante
Gelijkzijdige driehoek	2,598d	2,598
Vierkant	2,828d	2,828
Vijfhoek	2,94d	2,94
Zeshoek	3,0d	3,0
Achthoek	3,06d	3,06
Tienhoek	3,09d	3,09
Twaalfhoek	3,108d	3,108
Vierentwintighoek	3,1326d	3,1326
Zesendertighoek	3,1376d	3,1376
Tweeënzeventighoek	3,1406d	3,1406…….
Driehonderzestighoek	3,14155d	3,14155…….
Zevenhonderdtwintighoek	3,14158d	3,14158………
Zesendertighonderdhoek	3,14159d	3,14159…….( π )

• L'apprent sorcier op Youtube